安徽省合肥市庐江县志成学校2021-2022学年中考四模数学试题含解析

这是一份安徽省合肥市庐江县志成学校2021-2022学年中考四模数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了下列图案中，是轴对称图形的是，花园甜瓜是乐陵的特色时令水果，下列交通标志是中心对称图形的为等内容，欢迎下载使用。

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（ ）
A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）
2．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DFB．AE=CFC．AF//CED．∠BAE=∠DCF
3．某同学将自己7次体育测试成绩（单位：分）绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．50和48B．50和47C．48和48D．48和43
4．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝的图象经过点D，则k值为（ ）
A．﹣14B．14C．7D．﹣7
5．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
6．在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ）
A．20B．25C．30D．35
7．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．＝（ ）
A．±4B．4C．±2D．2
9．花园甜瓜是乐陵的特色时令水果．甜瓜一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批甜瓜，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上甜瓜数量陡增，而自己的甜瓜卖相已不大好，于是果断地将剩余甜瓜以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进甜瓜的质量为（ ）kg．
A．180B．200C．240D．300
10．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数y=的图像交于E、F两点，若△DEF的面积为，则k的值_______ ．
12．安全问题大于天，为加大宣传力度，提高学生的安全意识，乐陵某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是_____．
13．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为_____．
14．已知点，在二次函数的图象上，若，则__________．（填“”“”“”）
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，P分别在x轴、y轴上，∠APO＝30°．先将线段PA沿y轴翻折得到线段PB，再将线段PA绕点P顺时针旋转30°得到线段PC，连接BC．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段BC的长为_____．
16．如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD且AB与CD不平行，AD=2，∠BCD=60°，对角线CA平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF，点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为__．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是_____；先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 4 的倍数的概率．
19．（5分）如图是某旅游景点的一处台阶，其中台阶坡面AB和BC的长均为6m，AB部分的坡角∠BAD为45°，BC部分的坡角∠CBE为30°，其中BD⊥AD，CE⊥BE，垂足为D，E．现在要将此台阶改造为直接从A至C的台阶，如果改造后每层台阶的高为22cm，那么改造后的台阶有多少层？（最后一个台阶的高超过15cm且不足22cm时，按一个台阶计算．可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）
20．（8分）计算：|﹣1|﹣2sin45°+﹣
21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．求证：DF是BF和CF的比例中项；在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
22．（10分）关于x的一元二次方程mx2+(3m﹣2)x﹣6＝1．
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.
(1)求证：FH＝ED；
(2)当AE为何值时，△AEF的面积最大？
24．（14分）（1）计算： ；
（2）解不等式组 ：
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
分析：根据题意，以A为对称中心作点P（0，1）的对称点P1，即A是PP1的中点，结合中点坐标公式即可求得点P1的坐标；同理可求得其它各点的坐标，分析可得规律，进而可得答案．
详解：根据题意，以A为对称中心作点P（0，1）的对称点P1，即A是PP1的中点，
又∵A的坐标是（1，1），
结合中点坐标公式可得P1的坐标是（1，0）；
同理P1的坐标是（1，﹣1），记P1（a1，b1），其中a1=1，b1=﹣1．
根据对称关系，依次可以求得：
P3（﹣4﹣a1，﹣1﹣b1），P4（1+a1，4+b1），P5（﹣a1，﹣1﹣b1），P6（4+a1，b1），
令P6（a6，b1），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b1），即P10（4×1+a1，b1），
∵1010=4×501+1，
∴点P1010的坐标是（1010，﹣1），
故选：B．
点睛：本题考查了对称的性质，坐标与图形的变化---旋转，根据条件求出前边几个点的坐标，得到规律是解题关键．
2、B
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
3、A
【解析】
由折线统计图，可得该同学7次体育测试成绩，进而求出众数和中位数即可.
【详解】
由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50，
7次测试成绩的众数为50，中位数为48，
故选：A．
【点睛】
本题考查了众数和中位数，解题的关键是利用折线统计图获取有效的信息.
4、B
【解析】
过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,
∴△AOB∽△DFA,∴OA：DF=OB：AF=AB：AD,
∵AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,6）,∴AB：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D的坐标为:（7,2）,∴k,故选B.
5、C
【解析】
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】
设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
6、B
【解析】
设可贷款总量为y，存款准备金率为x，比例常数为k，则由题意可得：
，，
∴，
∴当时，（亿），
∵400-375=25，
∴该行可贷款总量减少了25亿.
故选B.
7、B
【解析】
根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.
【详解】
A、C是中心对称图形，但不是轴对称图形；B是轴对称图形；D不是对称图形.
故选B.
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的定义.
8、B
【解析】
表示16的算术平方根，为正数，再根据二次根式的性质化简．
【详解】
解：，
故选B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，本题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数算术平方根有一个，而平方根有两个．
9、B
【解析】
根据题意去设所进乌梅的数量为，根据前后一共获利元，列出方程，求出x值即可.
【详解】
解：设小李所进甜瓜的数量为，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：小李所进甜瓜的数量为200kg．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用，解题关键在于对等量关系的理解，进而列出方程即可.
10、C
【解析】
根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】
解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1
【解析】
利用对称性可设出E、F的两点坐标，表示出△DEF的面积，可求出k的值．
【详解】
解：设AF＝a（a＜2），则F（a，2），E（2，a），
∴FD＝DE＝2−a，
∴S△DEF＝DF•DE＝＝，
解得a＝或a＝（不合题意，舍去），
∴F（，2），
把点F（，2）代入
解得：k＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与正方形和三角形面积的运用，表示出E和F的坐标是关键．
12、
【解析】
根据事件的描述可得到描述正确的有①②③⑥，即可得到答案.
【详解】
∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，
∴抽到内容描述正确的纸条的概率是，
故答案为：．
【点睛】
此题考查简单事件的概率的计算，正确掌握事件的概率计算公式是解题的关键.
13、-1或-4
【解析】
分析：
设“倍根方程”的一个根为，则另一根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，由此可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
详解：
由题意设“倍根方程”的一个根为，另一根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴，
∴，
化简整理得：，解得 .
故答案为：-1或-4.
点睛：本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为，则.
14、
【解析】
抛物线的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大.
∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .
故答案为>
15、2
【解析】
只要证明△PBC是等腰直角三角形即可解决问题.
【详解】
解：∵∠APO＝∠BPO＝30°，
∴∠APB＝60°，
∵PA＝PC＝PB，∠APC＝30°，
∴∠BPC＝90°，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∵OA＝1，∠APO＝30°，
∴PA＝2OA＝2，
∴BC＝PC＝2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△PBC是等腰直角三角形．
16、1
【解析】
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案．
【详解】
根据题意，作△EFC，
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，
易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，
有，即DC2=ED×FD，
代入数据可得DC2=31，
DC=1，
故答案为1．
17、2
【解析】
将PA+PB转化为PA+PC的值即可求出最小值．
【详解】
解：
E,F分别是底边AD,BC的中点,四边形ABCD是等腰梯形,
B点关于EF的对称点C点,
AC即为PA+PB的最小值,
∠BCD=, 对角线AC平分∠BCD,
∠ABC=, ZBCA=,
∠BAC=,
AD=2,
PA+PB的最小值=.
故答案为: .
【点睛】
求PA+PB的最小值, PA＋PB不能直接求, 可考虑转化PA＋PＣ的值,从而找出其最小值求解.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、 (1)；(2).
【解析】
（1）直接利用概率公式求解即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】
(1) 从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种，
∴P（牌面是偶数）＝=；
故答案为：；
(2)根据题意，画树状图：
可知，共有种等可能的结果，其中恰好是的倍数的共有种，
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19、33层．
【解析】
根据含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得到BD和CE的长，二者的和乘以100后除以20即可确定台阶的数．
【详解】
解：在Rt△ABD中，BD=AB•sin45°=3m，
在Rt△BEC中，EC=BC=3m，
∴BD+CE=3+3，
∵改造后每层台阶的高为22cm，
∴改造后的台阶有（3+3）×100÷22≈33（个）
答：改造后的台阶有33个．
【点睛】
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
20、﹣1
【解析】
直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】
原式=（﹣1）﹣2×+2﹣4
=﹣1﹣+2﹣4
=﹣1．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21、证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD，再根据∠BFD=∠DFC，证明△BFD∽△DFC，从而得BF：DF=DF：FC，进行变形即得；
（2）由已知证明△AEG∽△ADC，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG∥BC，继而得 ，
由（1）可得 ，从而得 ，问题得证.
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠A=∠EDA，∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD，
又∵∠BFD=∠DFC，
∴△BFD∽△DFC，
∴BF：DF=DF：FC，
∴DF2=BF·CF；
（2）∵AE·AC=ED·DF，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△AEG∽△ADC，
∴∠AEG=∠ADC=90°，
∴EG∥BC，
∴ ，
由（1）知△DFD∽△DFC，
∴ ，
∴ ，
∴EG·CF=ED·DF.
22、 (1) m≠1且m≠;(2) m=-1或m=-2.
【解析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，可得△＞1，列出关于m的不等式解之可得答案;
(2) 解方程,得:，，由m为整数,且方程的两个根均为负整数可得m的值.
【详解】
解:(1) △=-4ac=(3m-2)+24m=(3m+2)≥1
当m≠1且m≠时,方程有两个不相等实数根.
(2)解方程,得:，，
m为整数,且方程的两个根均为负整数,
m=-1或m=-2.
m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数
【点睛】
本题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数.
23、（1）证明见解析；（2）AE＝2时，△AEF的面积最大．
【解析】
（1）根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED；
（2）设AE=a，用含a的函数表示△AEF的面积，再利用函数的最值求面积最大值即可．
【详解】
(1)证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF.
∵∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，
∴∠FEH＝∠DCE.
在△FEH和△ECD中，
,
∴△FEH≌△ECD，
∴FH＝ED.
(2)解：设AE＝a，则ED＝FH＝4－a，
∴S△AEF＝AE·FH＝a(4－a)＝－ (a－2)2＋2，
∴当AE＝2时，△AEF的面积最大．
【点睛】
本题考查了正方形性质、矩形性质以及全等三角形的判断和性质和三角形面积有关的知识点，熟记全等三角形的各种判断方法是解题的关键．
24、（1）；（2）．
【解析】
（1）根据幂的运算与实数的运算性质计算即可.
（2）先整理为最简形式，再解每一个不等式，最后求其解集.
【详解】
（1）解：原式=
=
（2）解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
∴ 原不等式组的解集为
【点睛】
本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握和运用相关运算性质是解答关键.