高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.4 数乘向量教案设计

数乘向量

【教学目标】

一、知识与技能

1．要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义。

2．了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。

3．要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

4．通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

二、过程与方法：

教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点） 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

三、情感态度价值观

通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神。

【教学重点】

1． 实数与向量积的定义及几何意义。

2．平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示

【教学难点】

1． 实数与向量积的几何意义的理解。

2． 平面向量基本定理的理解。

【教学准备】

电脑、投影机。

【教学过程】

[探究新知]

1．思考： （引入新课）已知非零向量 作出++和（）+（）+（）

==++=3

==（）+（）+（）=3

         讨论：① 3与方向相同且|3|=3||

               ② 3与方向相反且|3|=3||

2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ

定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

①|λ|=|λ|||

②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）

[展示投影]

思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）

结合律：λ（μ）=（λμ）           ①

第一分配律：（λ+μ）=λ+μ         ②

第二分配律：λ（+）=λ+λ        ③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立

如果λ0，μ0，有：|λ（μ）|=|λ||μ|=|λ||μ|||

|（λμ）|=|λμ|| |=|λ||μ|||

         ∴|λ（μ）|=|（λμ）|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；

如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。

          从而λ（μ）=（λμ）

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ0，μ0，

当λ、μ同号时，则λ和μ同向，

∴|（λ+μ）|=|λ+μ|||=（|λ|+|μ|）||

|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=（|λ|+|μ|）||

∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向

         即：|（λ+μ）|=|λ+μ|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向

当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向

还可证：|（λ+μ）|=|λ+μ|

∴②式成立

第二分配律证明：

如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当，且λ0，λ1时

1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，

作=   =    =λ   =λ   

则=+     λ+λ

由作法知：∥有OAB=OA1B1    ||=λ||

∴λ    ∴△OAB∽△OA1B1     

∴λ AOB= A1OB1  

因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ|   与λ方向也相同

λ（+）=λ+λ   

当λ<0时 可类似证明：λ（+）=λ+λ  

∴ ③式成立

[探究新知]

若有向量（）、，实数λ，使=λ   则由实数与向量积的定义知：与为共线向量

若与共线（）且||：||=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=μ

从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。

[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）

[探究新知、展示投影]

1．思考：

①是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？

②对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

2．教师引导学生分析

设，是不共线向量，是平面内任一向量

=           =λ1      ==+=λ1+λ2

=           =λ2

得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。

[注意几个问题]：

① 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底。

② 这个定理也叫共面向量定理。

③λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。

④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

[展示投影]例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补充；）

例4．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30， 60角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

=1 （kg）   P1OP=60     P2OP=30

∴=cos60=1•=0.5    （kg）

=cos30=1•=0.87    （kg）

 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg

例5．如图  ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，

用，表示，，和

解：在  ABCD中

     ∵=+=+

     ==

   ∴==（+）=

==（）=      ==+

===+