山东专用高考物理一轮复习专题十五光学电磁波与相对论初步_模拟集训含解析

这是一份山东专用高考物理一轮复习专题十五光学电磁波与相对论初步_模拟集训含解析，共30页。

专题十五　光学、电磁波与相对论初步
【5年高考】
考点一　光的折射与全反射
1.(2020山东等级考,3,3分)双缝干涉实验装置的截面图如图所示。光源S到S1、S2的距离相等,O点为S1、S2连线中垂线与光屏的交点。光源S发出的波长为λ的光,经S1出射后垂直穿过玻璃片传播到O点,经S2出射后直接传播到O点,由S1到O点与由S2到O点,光传播的时间差为Δt。玻璃片厚度为10λ,玻璃对该波长光的折射率为1.5,空气中光速为c,不计光在玻璃片内的反射。以下判断正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.Δt=5λc　　B.Δt=15λ2c　　
C.Δt=10λc　　D.Δt=15λc
答案　A　
2.(2020山东等级考,9,4分)(多选)截面为等腰直角三角形的三棱镜如图甲所示。DE为嵌在三棱镜内部紧贴BB'C'C面的线状单色可见光光源,DE与三棱镜的ABC面垂直,D位于线段BC的中点。图乙为图甲中ABC面的正视图。三棱镜对该单色光的折射率为2,只考虑由DE直接射向侧面AA'C'C的光线。下列说法正确的是 (　　)

A.光从AA'C'C面出射的区域占该侧面总面积的12
B.光从AA'C'C面出射的区域占该侧面总面积的23
C.若DE发出的单色光频率变小,AA'C'C面有光出射的区域面积将增大
D.若DE发出的单色光频率变小,AA'C'C面有光出射的区域面积将减小
答案　AC　
3.(2020浙江7月选考,13,3分)如图所示,圆心为O、半径为R的半圆形玻璃砖置于水平桌面上,光线从P点垂直界面入射后,恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射;当入射角θ=60°时,光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行。已知真空中的光速为c,则 (　　)

A.玻璃砖的折射率为1.5
B.O、P之间的距离为22R
C.光在玻璃砖内的传播速度为33c
D.光从玻璃到空气的临界角为30°
答案　C　
4.[2018课标Ⅰ,34(1),5分]如图,△ABC为一玻璃三棱镜的横截面,∠A=30°。一束红光垂直AB边射入,从AC边上的D点射出,其折射角为60°,则玻璃对红光的折射率为　　　　。若改用蓝光沿同一路径入射,则光线在D点射出时的折射角　　　　(填“小于”“等于”或“大于”)60°。 

答案　3　大于
5.[2019课标Ⅲ,34(2),10分]如图,直角三角形ABC为一棱镜的横截面,∠A=90°,∠B=30°。一束光线平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜,然后垂直于AC边射出。
(ⅰ)求棱镜的折射率;
(ⅱ)保持AB边上的入射点不变,逐渐减小入射角,直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上入射角的正弦。

答案　(ⅰ)3　(ⅱ)3-22
6.[2019课标Ⅰ,34(2),10分]如图,一艘帆船静止在湖面上,帆船的竖直桅杆顶端高出水面3m。距水面4m的湖底P点发出的激光束,从水面出射后恰好照射到桅杆顶端,该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin53°=0.8)。已知水的折射率为43。

(ⅰ)求桅杆到P点的水平距离;
(ⅱ)船向左行驶一段距离后停止,调整由P点发出的激光束方向,当其与竖直方向夹角为45°时,从水面射出后仍照射在桅杆顶端,求船行驶的距离。
答案　(ⅰ)7m　(ⅱ)5.5m
7.[2020课标Ⅱ,34(2),10分]直角棱镜的折射率n=1.5,其横截面如图所示,图中∠C=90°,∠A=30°。截面内一细束与BC边平行的光线,从棱镜AB边上的D点射入,经折射后射到BC边上。
(ⅰ)光线在BC边上是否会发生全反射?说明理由;
(ⅱ)不考虑多次反射,求从AC边射出的光线与最初的入射光线夹角的正弦值。

答案　(ⅰ)见解析　(ⅱ)22-34
8.[2020课标Ⅲ,34(2),10分]如图,一折射率为3的材料制作的三棱镜,其横截面为直角三角形ABC,∠A=90°,∠B=30°。一束平行光平行于BC边从AB边射入棱镜,不计光线在棱镜内的多次反射,求AC边与BC边上有光出射区域的长度的比值。

答案　2
考点二　光的波动性
1.[2017课标Ⅱ,34(1),5分](多选)在双缝干涉实验中,用绿色激光照射在双缝上,在缝后的屏幕上显示出干涉图样。若要增大干涉图样中两相邻亮条纹的间距,可选用的方法是　(　　)
A.改用红色激光
B.改用蓝色激光
C.减小双缝间距
D.将屏幕向远离双缝的位置移动
E.将光源向远离双缝的位置移动
答案　ACD　
2.[2019课标Ⅱ,34(2),10分]某同学利用图示装置测量某种单色光的波长。实验时,接通电源使光源正常发光;调整光路,使得从目镜中可以观察到干涉条纹。回答下列问题:

(ⅰ)若想增加从目镜中观察到的条纹个数,该同学可　　　　; 
A.将单缝向双缝靠近
B.将屏向靠近双缝的方向移动
C.将屏向远离双缝的方向移动
D.使用间距更小的双缝
(ⅱ)若双缝的间距为d,屏与双缝间的距离为l,测得第1条暗条纹到第n条暗条纹之间的距离为Δx,则单色光的波长λ=　　　　; 
(ⅲ)某次测量时,选用的双缝的间距为0.300mm,测得屏与双缝间的距离为1.20m,第1条暗条纹到第4条暗条纹之间的距离为7.56mm。则所测单色光的波长为　　　　nm(结果保留3位有效数字)。 
答案　(ⅰ)B　(ⅱ)Δx·d(n-1)l　(ⅲ)630
考点三　电磁波、相对论初步
1.[2016课标Ⅱ,34(1),5分](多选)关于电磁波,下列说法正确的是 (　　)
A.电磁波在真空中的传播速度与电磁波的频率无关
B.周期性变化的电场和磁场可以相互激发,形成电磁波
C.电磁波在真空中自由传播时,其传播方向与电场强度、磁感应强度均垂直
D.利用电磁波传递信号可以实现无线通信,但电磁波不能通过电缆、光缆传输
E.电磁波可以由电磁振荡产生,若波源的电磁振荡停止,空间的电磁波随即消失
答案　ABC　
2.(2020浙江7月选考,4,3分)在抗击新冠病毒的过程中,广泛使用了红外体温计测量体温,如图所示。下列说法正确的是　(　　)

A.当体温超过37.3℃时人体才辐射红外线
B.当体温超过周围空气温度时人体才辐射红外线
C.红外体温计是依据体温计发射红外线来测体温的
D.红外体温计是依据人体温度越高,辐射的红外线强度越大来测体温的
答案　D　
3.[2020江苏单科,13B(1),4分](多选)电磁波广泛应用在现代医疗中。下列属于电磁波应用的医用器械有　　　　。 
A.杀菌用的紫外灯
B.拍胸片的X光机
C.治疗咽喉炎的超声波雾化器
D.检查血流情况的“彩超”机
答案　AB
[教师专用题组]
【5年高考】
考点一　光的折射与全反射
1.[2017海南单科,16(1),4分](多选)如图,空气中有两块材质不同、上下表面平行的透明玻璃板平行放置;一细光束从空气中以某一角度θ(0<θ<90°)入射到第一块玻璃板的上表面。下列说法正确的是 (　　)

A.在第一块玻璃板下表面一定有出射光
B.在第二块玻璃板下表面一定没有出射光
C.第二块玻璃板下表面的出射光方向一定与入射光方向平行
D.第二块玻璃板下表面的出射光一定在入射光延长线的左侧
E.第一块玻璃板下表面的出射光线一定在入射光延长线的右侧
答案　ACD　光线从第一块玻璃板的上表面射入,在第一块玻璃板中上表面的折射角和下表面的入射角相等,根据光的可逆原理可知,光在第一块玻璃板下表面一定有出射光,同理,在第二块玻璃板下表面也一定有出射光,故A正确,B错误;因为光在玻璃板中的上表面的折射角和下表面的入射角相等,根据光的可逆原理知,从下表面出射光的折射角和开始在上表面的入射角相等,即两光线平行,所以第二块玻璃板下表面的出射光方向一定与入射光方向平行,故C正确;根据光线在玻璃板中发生偏折,折射角小于入射角,可知第二块玻璃板下表面的出射光一定在入射光延长线的左侧,故D正确;同理可知,E错误。
2.(2017天津理综,2,6分)

明代学者方以智在《阳燧倒影》中记载:“凡宝石面凸,则光成一条,有数棱则必有一面五色”,表明白光通过多棱晶体折射会发生色散现象。如图所示,一束复色光通过三棱镜后分解成两束单色光a、b,下列说法正确的是 (　　)
A.若增大入射角i,则b光先消失
B.在该三棱镜中a光波长小于b光
C.a光能发生偏振现象,b光不能发生
D.若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应,则a光的遏止电压低
答案　D　本题考查色散、全反射、偏振、光电效应。当增大入射角i时,两单色光在左侧界面的折射角增大,但在右侧界面的入射角均减小,故不会发生全反射,A错误。由图知三棱镜对a光的折射率小于对b光的折射率,而同种介质对频率越大的光折射率越大,故νa<νb,光在三棱镜中的波长λ=vν=cnν,naλb,B错误。偏振是横波所特有的现象,故a、b两光都能发生偏振,C错误。由eUc=Ek=hν-W可知,在照射同一光电管即W相同的条件下,a光波长长、频率低,故a光的遏止电压Uc也低,D正确。
知识归纳　单色光的相关物理量(其他条件相同)

红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
相关公式
波长

λ=cν
频率

光子能量

E=hν
折射率

n·sinC=1
临界角

视深度

h'=h/n
最大初动能

Ek=hν-W
干涉条纹宽度

Δx=Ldλ
3.(2017北京理综,14,6分)如图所示,一束可见光穿过平行玻璃砖后,变为a、b两束单色光。如果光束b是蓝光,则光束a可能是 (　　
)
A.红光　　B.黄光
C.绿光　　D.紫光
答案　D　本题考查光的折射、色散。由题图可知,可见光穿过玻璃砖后,发生了色散,其中a光的侧移距离大于b光的侧移距离,说明玻璃对a光的折射率大于对b光的折射率,同种介质对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的折射率依次增大,由于b光是蓝光,故只有D选项符合题意。
知识归纳　色光中相关物理量的变化
　　　　　　色光
物理量　　　　　　
红橙黄绿青蓝紫
频率ν、对应同一介质的折
射率n、光子能量hν
小——变大大
波长λ和同一介质中的
光速v、临界角C
大——变小小
4.[2015重庆理综,11(1),6分]虹和霓是太阳光在水珠内分别经过一次和两次反射后出射形成的,可用白光照射玻璃球来说明。两束平行白光照射到透明玻璃球后,在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带,光路如图所示。M、N、P、Q点的颜色分别为 (　　)

A.紫、红、红、紫　　B.红、紫、红、紫
C.红、紫、紫、红　　D.紫、红、紫、红
答案　A　由题图可知,射到M点的光线进入玻璃球时的折射角小于射到N点的光线进入玻璃球时的折射角,所以玻璃对射到M点的光的折射率大于玻璃对射到N点的光的折射率,故M点的颜色为紫色,N点的颜色为红色;同理可得P点的颜色为红色,Q点的颜色为紫色,所以只有A项正确。
5.(2015安徽理综,18,6分)如图所示,一束单色光从空气入射到棱镜的AB面上,经AB和AC两个面折射后从AC面进入空气。当出射角i'和入射角i相等时,出射光线相对于入射光线偏转的角度为θ。已知棱镜顶角为α,则计算棱镜对该色光的折射率表达式为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.sinα+θ2sinα2　　B.sinα+θ2sinθ2
C.sinθsin(θ-α2)　　D.sinαsin(α-θ2)
答案　A
解析　由图可知,当出射角与入射角相等时,AB面上的折射角与AC面上的入射角相等,设为r,

由几何关系可知α+β=180°,2r+β=180°,得α=2r,而θ=2(i-r),得i=θ+α2,由折射定律得n=sinisinr=sinθ+α2sinα2,选项A正确。
6.(2014天津理综,8,6分)(多选)一束由两种频率不同的单色光组成的复色光从空气射入玻璃三棱镜后,出射光分成a、b两束,如图所示,则a、b两束光 (　　)

A.垂直穿过同一块平板玻璃,a光所用的时间比b光长
B.从同种介质射入真空发生全反射时,a光临界角比b光的小
C.分别通过同一双缝干涉装置,b光形成的相邻亮条纹间距小
D.若照射同一金属都能发生光电效应,b光照射时逸出的光电子最大初动能大
答案　AB　由图知na>nb,则由n=cv知vatb,A正确。由sinC=1n知Ca 7.(2014北京理综,20,6分)以往,已知材料的折射率都为正值(n>0)。现已有针对某些电磁波设计制作的人工材料,其折射率可以为负值(n<0),称为负折射率材料。位于空气中的这类材料,入射角i与折射角r依然满足sinisinr=n,但是折射线与入射线位于法线的同一侧(此时折射角取负值)。现空气中有一上下表面平行的负折射率材料,一束电磁波从其上表面射入,下表面射出。若该材料对此电磁波的折射率n=-1,正确反映电磁波穿过该材料的传播路径的示意图是 (　　)

　　解析　折射线与入射线应位于法线的同一侧,故选项A、D错误。因为材料折射率n=-1,在电磁波由空气进入介质时,sinα=-sin(-β),得α=β,则C项错。故正确选项为B。
答案　B

8.[2014重庆理综,11(1),6分]打磨某剖面如图所示的宝石时,必须将OP、OQ边与轴线的夹角θ切磨在θ1<θ<θ2的范围内,才能使从MN边垂直入射的光线,在OP边和OQ边都发生全反射(仅考虑如图所示的光线第一次射到OP边并反射到OQ边后射向MN边的情况),则下列判断正确的是 (　　)
A.若θ>θ2,光线一定在OP边发生全反射
B.若θ>θ2,光线会从OQ边射出
C.若θ<θ1,光线会从OP边射出
D.若θ<θ1,光线会在OP边发生全反射

答案　D　作出θ1<θ<θ2时的光路如图所示。由图中几何关系有i1=90°-θ,2θ+90°-i1+90°-i2=180°,即i1+i2=2θ。则有i2=3θ-90°。可见θ越大时i2越大、i1越小。要使光线在OP上发生全反射,应有i1≥C,即θ≤90°-C;要使光线在OQ上发生全反射,应有i2≥C,即θ≥30°+C3。可见在OP边和OQ边都发生全反射时应满足θ1<30°+C3≤θ≤90°-C<θ2。故当θ>θ2时一定有θ>90°-C,光线一定不会在OP边上发生全反射,同时也一定有θ>30°+C3,即光线若能射在OQ边上,一定会发生全反射,故A、B皆错误。当θ<θ1时,一定有θ<90°-C,即光线一定在OP边发生全反射,C错误D正确。
9.(2013天津理综,8,6分)(多选)固定的半圆形玻璃砖的横截面如图,O点为圆心,OO'为直径MN的垂线。足够大的光屏PQ紧靠玻璃砖右侧且垂直于MN。由A、B两种单色光组成的一束光沿半径方向射向O点,入射光线与OO'夹角θ较小时,光屏NQ区域出现两个光斑,逐渐增大θ角,当θ=α时,光屏NQ区域A光的光斑消失,继续增大θ角,当θ=β时,光屏NQ区域B光的光斑消失,则 (　　)

A.玻璃砖对A光的折射率比对B光的大
B.A光在玻璃砖中传播速度比B光的大
C.α<θ<β时,光屏上只有1个光斑
D.β<θ<π2时,光屏上只有1个光斑
答案　AD　因A光先消失,说明A光先发生全反射,所以玻璃对A光的折射率大于B光,A项正确。由v=cn可知折射率越大则速度v越小,B项错误。当α<θ<β时,A光发生全反射,只有反射光斑与B光的折射光斑,共2个,C项错误。当β<θ<π2时,A、B光均发生全反射,光屏上只剩下1个反射光斑,D项正确。
10.(2013浙江理综,16,6分)与通常观察到的月全食不同,小虎同学在2012年12月10日晚观看月全食时,看到整个月亮是暗红的。小虎画了月全食的示意图,并提出了如下猜想,其中最为合理的是 (　　)

A.地球上有人用红色激光照射月球
B.太阳照射到地球的红光反射到月球
C.太阳光中的红光经地球大气层折射到月球
D.太阳光中的红光在月球表面形成干涉条纹
答案　C　月全食是月亮、地球、太阳三者在同一直线且地球在中间时,地球将太阳光挡住而形成的,看到月亮是暗红的,原因是太阳光中的红光经地球大气层的折射到了月球表面,选项C正确。
11.(2013四川理综,3,6分)光射到两种不同介质的分界面,分析其后的传播情形可知 (　　)
A.折射现象的出现说明光是纵波
B.光总会分为反射光和折射光
C.折射光与入射光的传播方向总是不同的
D.发生折射是因为光在不同介质中的传播速度不同
答案　D　折射是横波、纵波共有的现象,光是一种电磁波,而电磁波是横波,A错误;当光从光密介质射向光疏介质而且入射角不小于临界角时,就只有反射光而无折射光,B错误;当入射角等于0°时折射光与入射光传播方向相同,C错误;由惠更斯原理对折射的解释可知D正确。
12.(2012北京理综,14,6分,0.77)一束单色光经由空气射入玻璃,这束光的 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.速度变慢,波长变短　　B.速度不变,波长变短
C.频率增高,波长变长　　D.频率不变,波长变长
答案　A　单色光从空气射入玻璃,光的频率f不变;波长λ=λ0n,其中λ0为光在空气中的波长,n为玻璃对空气的折射率,n>1,故波长变短;光速v=λf,故光的速度变慢,所以选项A正确。

13.(2011全国,16,6分)雨后太阳光入射到水滴中发生色散而形成彩虹。设水滴是球形的,图中的圆代表水滴过球心的截面,入射光线在过此截面的平面内,a、b、c、d代表四条不同颜色的出射光线,则它们可能依次是 (　　)
A.紫光、黄光、蓝光和红光
B.紫光、蓝光、黄光和红光
C.红光、蓝光、黄光和紫光
D.红光、黄光、蓝光和紫光
答案　B　由选项知四种光线红、黄、蓝、紫的频率为f红 14.[2019海南单科,16(2),8分]一透明材料制成的圆柱体的上底面中央有一球形凹陷,凹面与圆柱体下底面可透光,表面其余部分均涂有遮光材料。过圆柱体对称轴线的截面如图所示。O点是球形凹陷的球心,半径OA与OG夹角θ=120°。平行光沿轴线方向向下入射时,从凹面边缘A点入射的光线经折射后,恰好由下底面上C点射出。已知AB=FG=1cm,BC=3cm,OA=2cm。
(ⅰ)求此透明材料的折射率;
(ⅱ)撤去平行光,将一点光源置于球心O点处,求下底面上有光出射的圆形区域的半径(不考虑侧面的反射光及多次反射的影响)。

答案　(ⅰ)3　(ⅱ)6+22cm
解析　(ⅰ)平行光沿轴线方向向下入射时,折射后恰好由下底面上的C点射出,光图如图所示:

由图可知入射角i=60°
折射角的正切值为tanr=ABBC=33
所以折射角r=30°
根据折射定律可得透明材料的折射率为:
n=sinisinr=sin60°sin30°=3
(ⅱ)撤去平行光,将一点光源置于球心O点处,光路图如图所示:

由题意及几何关系可得:
DH=OH=(3+1)cm
所以∠DOH=∠COH
由于射到圆弧面上的光线不会发生折射,设全反射的临界角为α,则有:
sinα=1n=33 则tanα=sinα1-sin2α=22
所以下底面上有光射出的圆形区域的半径为:
EH=OHtanα=(3+1)×22cm=6+22cm
解题思路　(ⅰ)画出光路图,由几何关系得出入射角与折射角,根据折射定律求解折射率;
(ⅱ)画出光路图,结几何关系及全反射的条件找出边缘光线,根据几何关系即可求出有光射出的区域的半径。
素养考查　本题考查了折射定律、全反射知识,以及理解能力、推理能力、应用数学处理物理问题的能力,体现了科学思维中科学推理、科学论证的要素。
15.[2018课标Ⅱ,34(2),10分]如图,△ABC是一直角三棱镜的横截面,∠A=90°,∠B=60°。一细光束从BC边的D点折射后,射到AC边的E点,发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G,D恰好是CG的中点。不计多次反射。
(ⅰ)求出射光相对于D点的入射光的偏角;
(ⅱ)为实现上述光路,棱镜折射率的取值应在什么范围?

答案　(ⅰ)60°　(ⅱ)233≤n<2
解析　本题考查光的折射和全反射、折射率。
(ⅰ)光线在BC边上折射,由折射定律有
sini1=nsinr1 ①
式中,n为棱镜的折射率,i1和r1分别是该光线在BC边上的入射角和折射角。

光线在AC边上发生全反射,由反射定律有
r2=i2 ②
式中i2和r2分别是该光线在AC边上的入射角和反射角。
光线在AB边上发生折射,由折射定律有
nsini3=sinr3 ③
式中i3和r3分别是该光线在AB边上的入射角和折射角。
由几何关系得
i2=r2=60°,r1=i3=30° ④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ=(r1-i1)+(180°-i2-r2)+(r3-i3) ⑤
由①②③④⑤式得
δ=60° ⑥
(ⅱ)光线在AC边上发生全反射,光线在AB边上不发生全反射,有
nsini2≥nsinC>nsini3 ⑦
式中C是全反射临界角,满足
nsinC=1 ⑧
由④⑦⑧式知,棱镜的折射率n的取值范围应为
233≤n<2 ⑨
解题关键　画图是解决物理问题的基本功
对于几何光学题,画好光路图是解题的关键。充分利用几何知识便可顺利解题。
16.[2018海南单科,16(2),8分]如图,由透明介质构成的半球壳的内外表面半径分别为R和2R。一横截面半径为R的平行光束入射到半球壳内表面,入射方向与半球壳的对称轴平行,所有的入射光线都能从半球壳的外表面射出。已知透明介质的折射率为n=2。求半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径。不考虑多次反射。

答案　3+12R
解析　设光从半球壳内表面边沿上的A点入射,入射角为90°、折射角为α(全反射临界角也为α),在半球壳外表面内侧的B点发生折射,入射角为β,如图所示。

由全反射临界角的定义得1=nsinα　①
由正弦定理得
Rsinβ=2Rsinα　②
OD为对称轴,设∠BOD=γ,由几何关系可知
γ=π2-(α-β)　③
设B点到OD的距离为r,即为所求的半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径,由几何关系有
r=2Rsinγ　④
由①②③④式及题给数据解得r=3+12R　⑤
解题思路　(1)光从半球壳内表面边沿上的A点入射,入射角为90°,折射角为α,α等于全反射临界角,根据全反射临界角公式求出α;(2)画出光路图,根据几何关系求出半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径。
17.[2017课标Ⅰ,34(2),10分]如图,一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体,O点为球心;下半部是半径为R、高为2R的圆柱体,圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入,该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。

答案　1.43
解析　如图,根据光路的对称性和光路可逆性,与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行。这样,从半球面射入的折射光线,将从圆柱体底面中心C点反射。

设光线在半球面的入射角为i,折射角为r。由折射定律有
sini=nsinr ①
由正弦定理有
sinr2R=sin(i-r)R ②
由几何关系,入射点的法线与OC的夹角为i。由题设条件和几何关系有
sini=LR ③
式中L是入射光线与OC的距离。由②③式和题给数据得
sinr=6205 ④
由①③④式和题给数据得
n=2.05≈1.43 ⑤
18.[2017课标Ⅱ,34(2),10分]一直桶状容器的高为2l,底面是边长为l的正方形;容器内装满某种透明液体,过容器中心轴DD'、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料,其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源,已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直,求该液体的折射率。

答案　1.55
解析　设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1,折射角为r1。在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C,连接C、D,交反光壁于E点,由光源射向E点的光线,反射后沿ED射向D点。光线在D点的入射角为i2,折射角为r2,如图所示。设液体的折射率为n,由折射定律有

nsini1=sinr1 ①
nsini2=sinr2 ②
由题意知r1+r2=90° ③
联立①②③式得n2=1sin2i1+sin2i2 ④
由几何关系可知sini1=l24l2+l24=117 ⑤
sini2=32l4l2+9l24=35 ⑥
联立④⑤⑥式得n=1.55 ⑦
解题关键　正确画出光路图,由数学知识找出相关角的关系。
19.[2017江苏单科,12B(3)]人的眼球可简化为如图所示的模型。折射率相同、半径不同的两个球体共轴。平行光束宽度为D,对称地沿轴线方向射入半径为R的小球,会聚在轴线上的P点。取球体的折射率为2,且D=2R。求光线的会聚角α。(示意图未按比例画出)

答案　见解析
解析　由几何关系sini=D2R,解得i=45°,则由折射定律sinisinγ=n,解得γ=30°
且i=γ+α2,解得α=30°
友情提醒　对折射率的理解
注意:折射率n=sinisinγ中,入射角i是光在真空或空气中的入射角度。
20.[2016课标Ⅰ,34(2),10分]如图,在注满水的游泳池的池底有一点光源A,它到池边的水平距离为3.0m。从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角,水的折射率为43。

(ⅰ)求池内的水深;
(ⅱ)一救生员坐在离池边不远处的高凳上,他的眼睛到池面的高度为2.0m。当他看到正前下方的点光源A时,他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°。求救生员的眼睛到池边的水平距离(结果保留1位有效数字)。
答案　(ⅰ)2.6m　(ⅱ)0.7m
解析　(ⅰ)如图,设到达池边的光线的入射角为i。依题意,水的折射率n=43,光线的折射角θ=90°。由折射定律有

nsini=sinθ ①
由几何关系有
sini=ll2+h2 ②
式中,l=3m,h是池内水的深度。联立①②式并代入题给数据得
h=7m≈2.6m③
(ⅱ)设此时救生员的眼睛到池边的水平距离为x。依题意,救生员的视线与竖直方向的夹角为θ'=45°。由折射定律有
nsini'=sinθ' ④
式中,i'是光线在水面的入射角。设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a。由几何关系有
sini'=aa2+h2 ⑤
x+l=a+h' ⑥
式中h'=2m。联立③④⑤⑥式得
x=3723-1m≈0.7m⑦
解题关键　几何光学一定要注意几何关系的应用,关键是要根据题意,画出正确的光路图,根据光路图找出需要的各种几何关系,比如本题中的sini=ll2+h2、sini'=aa2+h2、x+l=a+h'等。
21.[2016课标Ⅲ,34(2),10分]如图,玻璃球冠的折射率为3,其底面镀银,底面的半径是球半径的32倍;在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内,有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点,该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点。求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。

答案　150°
解析　设球半径为R,球冠底面中心为O',连接OO',则OO'⊥AB。令∠OAO'=α,有
cosα=O'AOA=32RR ①
即α=30° ②
由题意MA⊥AB
所以∠OAM=60° ③
设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点,所考虑的光线的光路图如图所示。设光线在M点的入射角为i、折射角为r,在N点的入射角为i',反射角为i″,玻璃折射率为n。由于△OAM为等边三角形,有

i=60° ④
由折射定律有sini=nsinr ⑤
代入题给条件n=3得r=30° ⑥
作底面在N点的法线NE,由于NE∥AM,有i'=30° ⑦
根据反射定律,有i″=30° ⑧
连接ON,由几何关系知△MAN≌△MON,故有∠MNO=60° ⑨
由⑦⑨式得∠ENO=30° ⑩
于是∠ENO为反射角,NO为反射光线。这一反射光线经球面再次折射后不改变方向。所以,经一次反射后射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角β为
β=180°-∠ENO=150°
方法技巧　(1)因底面的半径R底=32R,所以∠OAB=30°,∠OAM=60°,而OM=OA=R,所以△OAM为等边三角形,且在M点的入射角i=∠OMA。
(2)从AB面反射的光线经过圆心O,故该反射光线会垂直球面射出球冠。
22.[2015山东理综,38(2)]半径为R、介质折射率为n的透明圆柱体,过其轴线OO'的截面如图所示。位于截面所在平面内的一细束光线,以角i0由O点入射,折射光线由上边界的A点射出。当光线在O点的入射角减小至某一值时,折射光线在上边界的B点恰好发生全反射。求A、B两点间的距离。

答案　1n2-1-n2-sin2i0sini0R
解析　当光线在O点的入射角为i0时,设折射角为r0,由折射定律得

sini0sinr0=n ①
设A点与左端面的距离为dA,由几何关系得
sinr0=RdA2+R2 ②
若折射光线恰好发生全反射,则在B点的入射角恰好为临界角C,设B点与左端面的距离为dB,由折射定律得
sinC=1n ③
由几何关系得
sinC=dBdB2+R2 ④
设A、B两点间的距离为d,可得
d=dB-dA ⑤
联立①②③④⑤式得
d=1n2-1-n2-sin2i0sini0R ⑥
23.[2015海南单科,16(2),8分]一半径为R的半圆柱形玻璃砖,横截面如图所示。已知玻璃的全反射临界角为γ(γ<π3)。与玻璃砖的底平面成(π2-γ)角度且与玻璃砖横截面平行的平行光射到玻璃砖的半圆柱面上。经柱面折射后,有部分光(包括与柱面相切的入射光)能直接从玻璃砖底面射出。若忽略经半圆柱内表面反射后射出的光,求底面透光部分的宽度。

答案　R2cosγ
解析　如图所示,设光线从A沿半径方向进入半圆柱形玻璃砖,恰好与法线重合,折射光线恰好射入圆心O处,由图中几何关系,可知该光线在O点的入射角恰好等于临界角而发生全反射。由几何光路可知:从BA部分射入的光线在BO界面发生全反射,无光线射出,从AC部分射入的光线在OD界面有光线射出。
由全反射条件知∠OCD=γ
由几何关系,可知∠OCD=γ,∠CDO=π-2γ
即sinγOD=sin(π-2γ)R
得OD=R2cosγ

24.[2014课标Ⅰ,34(2),9分,0.571]一个半圆柱形玻璃砖,其横截面是半径为R的半圆,AB为半圆的直径,O为圆心,如图所示。玻璃的折射率为n=2。

(ⅰ)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面,若光线到达上表面后,都能从该表面射出,则入射光束在AB上的最大宽度为多少?
(ⅱ)一细束光线在O点左侧与O相距 32R处垂直于AB从下方入射,求此光线从玻璃砖射出点的位置。
答案　(ⅰ)2R　(ⅱ)见解析
解析　(ⅰ)在O点左侧,设从E点射入的光线进入玻璃砖后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角θ,则OE区域的入射光线经上表面折射后都能从玻璃砖射出,如图。由全反射条件有sinθ=1n ①

由几何关系有OE=Rsinθ ②
由对称性可知,若光线都能从上表面射出,光束的宽度最大为
l=2OE ③
联立①②③式,代入已知数据得l=2R ④
(ⅱ)设光线在距O点32R的C点射入后,在上表面的入射角为α,由几何关系及①式和已知条件得
α=60°>θ ⑤
光线在玻璃砖内会发生三次全反射,最后由G点射出,如图。由反射定律和几何关系得

OG=OC=32R ⑥
射到G点的光有一部分被反射,沿原路返回到达C点射出。
思路点拨　①当光线垂直玻璃砖下表面射入时,光线的方向不发生变化。②当光线由玻璃砖进入空气时,是由光密介质进入光疏介质,折射角大于入射角,当入射角等于临界角时光线发生全反射。③结合对称性和几何知识分析求解。
25.[2014课标Ⅱ,34(2),10分,0.374]一厚度为h的大平板玻璃水平放置,其下表面贴有一半径为r的圆形发光面。在玻璃板上表面放置一半径为R的圆纸片,圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上。已知圆纸片恰好能完全遮挡住从圆形发光面发出的光线(不考虑反射),求平板玻璃的折射率。
答案　见解析
解析　如图,考虑从圆形发光面边缘的A点发出的一条光线,假设它斜射到玻璃上表面的A'点折射,根据折射定律有
nsinθ=sinα ①
式中,n是玻璃的折射率,θ是入射角,α是折射角。
现假设A'恰好在纸片边缘。由题意,在A'点刚好发生全反射,故

α=π2 ②
设AA'线段在玻璃上表面的投影长为L,由几何关系有
sinθ=LL2+h2 ③
由题意,纸片的半径应为
R=L+r ④
联立以上各式得
n=1+hR-r2 ⑤
审题指导　依据题述“恰好能完全遮挡住从圆形发光面发出的光线”可知射到玻璃上表面的光线恰好在圆纸片的边缘处发生全反射,进而作出示意图,找到几何关系从而完成求解。
26.[2014山东理综,38(2)]如图,三角形ABC为某透明介质的横截面,O为BC边的中点,位于截面所在平面内的一束光线自O以角i入射,第一次到达AB边恰好发生全反射。已知θ=15°,BC边长为2L,该介质的折射率为2。求:
(ⅰ)入射角i;
(ⅱ)从入射到发生第一次全反射所用的时间(设光在真空中的速度为c,可能用到:sin75°=6+24或tan15°=2-3)。

答案　(ⅰ)45°　(ⅱ)6+22cL
解析　(ⅰ)根据全反射规律可知,光线在AB面上P点的入射角等于临界角C,由折射定律得

sinC=1n ①
代入数据得
C=45° ②
设光线在BC面上的折射角为r,由几何关系得
r=30° ③
由折射定律得
n=sinisinr ④
联立③④式,代入数据得
i=45° ⑤
(ⅱ)在△OPB中,根据正弦定理得