数学人教B版 (2019)6.1.5 向量的线性运算教学设计

向量的线性运算

【教学目标】

1．通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两向量的和向量。

2．在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。

3．通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。

4．通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。

5．学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则做出两向量的差向量。

6．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。

【教学重难点】

1．向量加法的运算及其几何意义。

2．对向量加法法则定义的理解。

3．向量的减法运算及其几何意义。

4．对向量减法定义的理解。

5．实数与向量积的意义。

6．实数与向量积的运算律。

7．两个向量共线的等价条件及其运用。

8．对向量共线的等价条件的理解运用。

【教学过程】

一、求若干个向量的和的模（或最值）的问题通常按下列步骤进行：

（1）寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；

（2）用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。

二、知识梳理：

1．向量的加法定义：

如图3，已知非零向量A．B，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=。

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

2．向量加法的法则：

（1）向量加法的三角形法则。

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。

（2）平行四边形法则。

向量加法的平行四边形法则：

如图4，以同一点O为起点的两个已知向量A、B为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

3．向量a，b的加法也满足交换律和结合律：

（1）对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。

（2）两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。

（3）当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）；

当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；

当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。

一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。

④如图5，作=a，=b，以AB．AD为邻边作ABCD，则=b，=A。

因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+A。

如图6，因为=+=（+）+=（a+b）+c，

==+=+（+）=a+（b+c），所以（a+b）+c=a+（b+c）。

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。

特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。

4．用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。

5．向量也有减法运算。

由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。

于是-(-a)=a。

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。

任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。

所以，如果A、B是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。

（1）平行四边形法则：

设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b。

又b+=a，所以=a-b。

由此，我们得到a-b的作图方法。

（2）三角形法则：

已知A、B，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。

与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。

向量减法的定义。我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。

向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。

5．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。

由（1）可知，λ=0时，λa=0。

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。

实数与向量的积的运算律：

设λ、μ为实数，那么：

（1）λ（μa）=（λμ）a；

（2）（λ+μ）a=λa+μa；

（3）λ（a+b）=λa+λB。

特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a），λ（a-b）=λa-λb。

向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa．共线向量可能有以下几种情况：

（1）有一个为零向量；

（2）两个都为零向量；

（3）同向且模相等；

（4）同向且模不等；

（5）反向且模相等；

（6）反向且模不等。

数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行即包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量A、B，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b。

三、课堂练习：

1．化简：

（1）+；

（2）++；

（3）++++。

解：

（1）+=+=；

（2）++=++=（+）+=+=0；

（3）++++FA=++++

=+++=++=+=0。

解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。

2．若=a+b，=a-b，

（1）当A、B满足什么条件时，a+b与a-b垂直？

（2）当A、B满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？

（3）当A、B满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？

（4）a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析：如图，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线。

由平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b。

由此问题就可转换为：

当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？（|a|=|b|）；

当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？（A、B互相垂直）；

当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？（A、B相等）；

a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能，因为对角线方向不同）。

解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。