高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算学案设计

向量的线性运算

【学习目标】

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【学习过程】

一、课前准备

复习1：平面向量基本概念：

具有     和     的量叫向量         叫向量的模（或长度）                 叫零向量，记作                     叫单位向量.                 叫相反向量   的相反向量记着                          叫相等向量. 向量的表示方法有                  ，                     ，和                共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有              法则            和          法则.

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个   量，记作    ，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝           .

(2)当λ＞0时，λa与A.      ；当λ＜0时，λa与A.      ；当λ＝0时，λa＝     .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

二、新课导学

探究任务一：空间向量的相关概念

问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

新知：空间向量的加法和减法运算：

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，        ，            ，

试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求·

    2. 点C在线段AB上，且,则   ,          .

反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？

⑴    加法交换律：A. + B. = B. + a；

⑵    加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；

⑶    数乘分配律：λ(A. + b) =λA. +λb．

例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

变式：在上图中，用表示和.

小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

例2 化简下列各式：

⑴    ;       ⑵   ⑶  

⑷ .

变式：化简下列各式：

⑸ ;⑹ ;⑺ .

小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.

三、动手试试

练1. 已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式：

⑴     ;    ⑵ ;   ⑶  

⑷    .

四、总结提升

:] 1. 下列说法中正确的是（  ）

A. 若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;

B. 若与是相反向量，则∣∣=∣∣;[:]

C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形ABCD中，一定有.

2. 长方体中，化简=     

3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（  ）

A.        B. 或

C.          D. ∣∣=∣∣

4. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（  ）

A. 矩形   B. 菱形   C. 正方形  D. 平行四边形

5. 下列说法正确的是（  ）

A. 零向量没有方向  

B. 空间向量不可以平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

【作业布置】

在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子：

⑴ +         ⑵－+

2. 如图，平行六面体中，点为与的的交点，，，，则下列向量中与相等的是（  ）

A.       B.     C.        D.