2022年上海实验学校高考数学二模试卷

2022年上海实验学校高考数学二模试卷

1. 已知复数z满足是虚数单位，则______.
2. 不等式的解集为______.
3. 函数的值域是，则函数的值域为______
4. 求值：______
5. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______.
6. 若实数集合与仅有一个公共元素，则集合中所有元素之积的值为______
7. 已知函数且的反函数为，若在上的最大值和最小值互为相反数，则a的值为______
8. 一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为和，则至少有一个公司不需要维护的概率为______
9. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是__________.
10. 已知数列满足：，且，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的范围为______
11. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为______

12. 已知、是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意的m、，的最小值为1，的最小值为2，则的最小值为______.
13. “”是“关于x的实系数方程没有实数根”的条件

A. 必要不充分 B. 充分不必要
C. 充要 D. 既不充分也不必要

14. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是

A.  B.
C.  D.

15. 已知点是曲线上的动点，若抛物线：上存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在上，则A、B两点的纵坐标是以下方程的解

A.  B.
C.  D.

16. 已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是

A.  B.
C.  D.

17. 在三棱锥中，已知，，O为BD的中点，平面BCD，，E为AC中点．
    求直线AB与DE所成角的余弦值；
    若点F在BC上，满足，设二面角的大小为，求的值．
     

18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、已知，，
    求的值；
    在边BC上取一点D，使得，求的值．
     

19. 某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天的日销售量为单位；台函数图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为，已知时，函数
    当时，求函数的解析式；
    求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；
    按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？
     

20. 设抛物线的准线与x轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B两点．
    求线段AB中点的轨迹；
    若线段AB的垂直平分线交对称轴于，求的取值范围；
    若直线l的斜率依次取p，，，…，，…时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为，，，…，，…，当时，
    求：的值．
    
    
    
    
    
    
     

已知数列的首项，前n项和为设和k为常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“”数列．
若等差数列是“”数列，求的值；
若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
，
则
故答案为：
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
可化为或，
解得：，
则原不等式的解集为
故答案为：
由两数相除商为负数，得到两数异号，将原不等式转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，即可确定出原不等式的解集．
此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，其转化的依据为两数相除的取符合法则．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由函数的值域是，
得，
则，
函数的值域为
故答案为：
由已知函数值域求得的范围得答案．
本题考查函数值域的求法，是基础题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：
由题意利用二项式定理、二项式展开式的通项公式，求得要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．
根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，勾股定理得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，则，
圆锥的高
圆锥的体积
故答案为：
  

6.【答案】0
 

【解析】解：实数集合与仅有一个公共元素，
则，此时无解，
或，此时无解，
或，解得，
或，解得，，
集合中所有元素之积的值为0，
故答案为：
根据集合元素的特征，求出集合A，B，即可求出交集中所有元素之积．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设，解得
则，
由在上的最大值和最小值互为相反数，
所以，
即
解得
故答案为：
由，求得，即可得再由，解此关于a方程即可求得a值；
本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，属于基础题．
 

8.【答案】
 

【解析】解：一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，
一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，
它们需要维护的概率分别为和，
至少有一个公司不需要维护的概率为：

故答案为：
利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．
利用三角函数图象的平移可得新函数，求的所有对称轴，，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程.
【解答】

解：因为函数的图象向右平移个单位长度可得
，
则的对称轴为，，
即，，
当时，，
当时，，
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是，
故答案为：

10.【答案】或
 

【解析】解：数列满足：，且，
则：，
所以：数列是以为首项．3为公差的等差数列．
所以：，
故：，
由于对任意的，不等式恒成立，
故：，
整理成，
由于：，
，
所以：，
解得：或
故答案为：或
首先求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题的应用和函数的性质的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的恒成立问题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

11.【答案】
 

【解析】解：
作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，
到直线DE和EF的距离均为7cm，，
又，，
，，
，，，
由于AG是圆弧的切线，
，，
设大圆的半径为R，则，
，，
，，解得，
图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角的面积减去小半圆的面积，
所以
故答案为：
设大圆的半径为R，利用已知条件求出OQ、OD的长，利用求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
 

12.【答案】4
 

【解析】解：设的夹角为，
因为的最小值为，则，
则由的最小值为的最小值为2，
可得，两式相乘可得，
而，结合可得，
解得，，
则，
故答案为：
设的夹角为，则，则由的最小值为的最小值为2，可得，，可得，结合，可得到，，由即可得到答案．
本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】A
 

【解析】解：关于x的实系数方程没有实数根，
可得，解得
所以“”是“关于x的实系数方程没有实数根”的必要不充分条件．
故选：
利用方程没有实数根，求解p的范围，结合充要条件判断即可．
本题考查实系数方程根的问题，韦达定理的应用，充要条件的判断，是基础题．
 

14.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查任意角的三角函数定义，考查运算能力，属于中档题．
设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．

【解答】

解：如图，设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，
可得，
，
则，
即，
故选：

15.【答案】A
 

【解析】解：设，，
则PA的中点，PB的中点，
，即，
同理得，
因此，是方程的两根．
故选：
设出A，B的坐标，用中点公式求出PA，PB的中点坐标后代入抛物线方程可得．
本题考查了抛物线的性质，属中档题．
 

16.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于拔高题．
问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，当时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．

【解答】

解：若函数恰有4个零点，
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与图象如下：

两图象有2个交点，不符合题意，
当时，与x轴交于两点，
图象如图所示，

两图象有4个交点，符合题意，
当时，
与x轴交于两点，
在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需与在还有两个交点，即可，
即在还有两个根，
即在还有两个根，
函数，当且仅当时，取等号，
所以，且，
所以，

综上所述，k的取值范围为
故选：

17.【答案】解：如图，连接OC，，O为BD的中点，

以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
，，则
，，，，
是AC的中点，，
，
设直线AB与DE所成角为，
则，
即直线AB与DE所成角的余弦值为；
，，
设，则，
，，
设平面DEF的一个法向量为，
由，取，得；
设平面DEC的一个法向量为，
由，取，得


 

【解析】本题考查利用空间向量求空间角，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，连接OC，由已知可得，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，设直线AB与DE所成角为，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB与DE所成角的余弦值；
由，得，设，由向量等式求得，进一步求出平面DEF的一个法向量与平面DEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函数基本关系式求解
 

18.【答案】解：在中，，，，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得，
所以；
因为，所以，
在三角形ADC中，易知C为锐角，
由可得，
所以，
因为，所以，
所以
 

【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的正弦公式，属于中档题．
先由题意结合余弦定理求出b的值，再由正弦定理求出的值；
根据结合两角和的正弦公式求出的值，利用同角三角函数基本关系求出的值，进而求出的值．
 

19.【答案】解：根据题意，当时，设，
，，
，，，
，
时，函数；当时，，
，
该店前m天此型号空调的销售总量台；
设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量，
，，
设该店此型号空调销售到第18天时，才可被认为开始旺销．
 

【解析】根据题意，当时，设，，利用，，求出参数，进而得到的表达式；
利用时，函数；当时，，建立方程，求出m，利用等差数列的求和公式求出前m天此型号空调的销售总量；
设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量，求出x，即可得出结论．
本题考查已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．
 

20.【答案】解：设直线AB：，联立，
得：，……………分
由且得到：……分
设AB的中点为，则，……分
消去k得，……分
实际轨迹为该抛物线位于直线右方的两段抛物线弧．……分
设AB的中点为，……分
则线段AB的垂直平分线的方程为：……分
令，得，……分
由，得……分
，由知AB中点的横坐标，……分
则当时，点的横坐标，……分
同理的横坐标，，……分
……分
数列为一无穷递缩等比数列，所有项的和为……分
 

【解析】设直线AB：，联立，利用韦达定理求解AB的中点为，求解轨迹方程，得到轨迹为该抛物线位于直线右方的两段抛物线弧．
设AB的中点为，求出线段AB的垂直平分线的方程，然后求解
求出AB中点的横坐标，求出点的横坐标，通过数列为一无穷递缩等比数列，求解所有项的和．
本题考查数列的应用，数列求和，数列与函数以及解析几何相结合的应用，考查发现问题解决问题的能力．
 

21.【答案】解：时，，
由n为任意正整数，且，，可得；
，代入可得：
①
则

，
因此②
由可得：
即，
即，
从而，又，
可得，
，，
综上可得，；
若数列为“”数列，
则
所以，
即
，
两边同时除以得：

③，
令，
因为，，
所以，即，
所以③式可化为：
，
即，
当时，，
解得舍去，
即。
此时只有一个数列，不满足题意。
当时，原方程为
。
令，则方程可化为
，
即。
若，由上述讨论可知不满足题意，
所以只考虑，
所以有，
即，
所以或。
当时，，
所以，
所以，
不满足题意，
时，原方程为，
可得，
由上述讨论知，不符合题意，
所以，
所以，
解得。
此时有两个解，
分别为，，
所以，
，
所以，
此时共有三个解，其中，
则对任意的n，有或
或，
即或或
。
此时或或
。
所以
或

或，

所以，
此时共有三个解，其中，
则对任意的n，有或
或，
即或或。
此时或或。
所以
或
或
此时满足题意。
综上所述，的取值范围是
 

【解析】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，属于难题．
由“”数列可得，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得的值；
运用“”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；
若存在三个不同的数列为“”数列，则，由两边立方，结合数列的递推式，以及t的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在，并可得取值范围．