2022年上海市宝山区高考数学二模试卷（含答案解析）

2022年上海市宝山区高考数学二模试卷

1. 设集合，，则______ .
2. 如果函数是奇函数，则______.
3. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则______ .
4. 方程在上的解集是______.
5. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为______.
6. 若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差______.
7. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是______.
8. 已知P是双曲线上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，，直线，分别交x轴于M，N两点，则______.
9. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，则______.
10. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则______.
11. 知直线与直线互相平行且距离为等差数列的公差为d，且，，令…，则的值为______.
12. 已知D，E分别是边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点不包含D，E两点，且满足，则的最小值为______.
13. 若a，b，c，d都是实数，且，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

14. 已知，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A. 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
B. 过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直
C. 平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面
D. 若直线l不垂直于平面，则在平面内不存在与l垂直的直线

15. 关于函数和实数m，n的下列结论中正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

16. 设函数，其中，若a，b，c是的三条边长，则下列结论中正确的是
    ①对一切都有；
    ②存在，使，，不能构成一个三角形的三条边长；
    ③若为钝角三角形，则存在，使

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

17. 在长方体中，，，点E是棱AB上的点，
    求异面直线与EC所成角的大小；
    求点C到平面的距离．

18. 某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①；②；③以上三式中p，q，A，B均为常数．
    为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
    若，，求出所选函数的解析式注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，⋯⋯，以此类推，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知函数
    当时，求满足的x的取值范围；
    若的定义域为R，又是奇函数，求的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知是椭圆C的两个焦点坐标，是椭圆C上的一个定点，A，B是椭圆C上的两点，点M的坐标为
    求椭圆C的方程；
    当A，B两点关于x轴对称，且为等边三角形时，求AB的长；
    当A，B两点不关于x轴对称时，证明：不可能为等边三角形．

已知无穷数列的前n项和为，且满足，其中A、B、C是常数．
若，，，求数列的通项公式；
若，，，且，求数列的前n项和；
试探究A、B、C满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为：
集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．
本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．
 

2.【答案】
 

【解析】解：根据题意，函数，当时，，
而函数为奇函数，则；
故答案为：
根据题意，求出时的函数值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

3.【答案】16
 

【解析】

【分析】
本题考查增广矩阵，属于基础题．
根据题意，进行求解即可．
【解答】
解：由题意知，是方程组的解，
即，
则，
故答案为  

4.【答案】
 

【解析】解：可化为
；
即；
，
；
或；
故答案为：
可化为；即；从而求解．
本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．
 

5.【答案】
 

【解析】解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：
过S作平面ABC，为底面正三角形的高，且，
棱锥的高，
三棱锥的体积
故答案是
过S作平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．
本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．
 

6.【答案】
 

【解析】解：数据2，3，7，8，a的平均数为5，
，解得，

故答案为：
根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：画可行域如图，画直线，
平移直线过点时z有最大值1；
平移直线过点时z有最小值；
则的取值范围是，
则的取值范围是，
故答案为：
根据步骤：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
 

8.【答案】4
 

【解析】解：双曲线两渐近线的斜率为，设点，
则，的方程分别为，，
所以M，N坐标为，，
，又点P在双曲线上，则，
所以
故答案为：
求出渐近线的斜率，设出P的坐标，推出MN的坐标，然后转化求解即可．
考查双曲线的渐近线的性质．考查分析问题解决问题的能力．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由，，，可得，
即有，
由可得，
由于，所以A为锐角，则，
故答案为：
由三角形的余弦定理可得c，再由正弦定理可得，由三角形的边角关系可得
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意得，
，
解得，
故答案为：
由对立事件及独立事件性质知，即可解得．
本题考查了对立事件及独立事件性质的应用，属于基础题．
 

11.【答案】52
 

【解析】解：由两直线平行可知，由两平行直线间的距离公式得，
因为，所以，解得或，
因为，所以，所以，
所以，
所以…
故答案为：
利用直线平行的性质可得，利用两平行直线间的距离公式可得，由等差数列的性质可得的通项公式，从而即可求解的值．
本题主要考查等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，平行直线的性质以及两平行直线间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由于M是DE上的一动点不包含D，E两点，
且满足，
所以，且，
所以，
当且仅当，时取
故答案为：
通过向量的基本定理，推出，利用基本不等式求解表达式的最小值．
考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查计算能力．
 

13.【答案】B
 

【解析】解：由，，相加可得：，
反之不成立，比如：，，，，
，则“”是“”的必要不充分条件．
故选：
由，，相加可得，反之不成立．即可判断出结论．
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】B
 

【解析】解：正方体中，直线、直线都平行于平面ABCD，而直线与相交，A不正确；
如图，直线l是平面的斜线，，点P是直线l上除斜足外的任意一点，
过点P作于点A，则直线OA是斜线l平面内射影，直线l与直线OA确定平面，

而平面，则平面平面，即过斜线l一个平面垂直于平面，
因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l直线OA确定的平面唯一，
所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；
如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，
因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C不正确；
如图，在正方体中，平面ABCD为平面，直线为直线l，

显然直线l垂直于平面，而平面内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确．
故选：
举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D作答．
本题考查空间直线与平面的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】C
 

【解析】解：，
，
所以，函数为偶函数，
任取，
由于函数和函数都是增函数，
则，，
，
所以，函数在区间上是增函数，由于该函数为偶函数，则，
对于A选项，取，，
，则，则，A选项错误；
对于B选项，，则，
，即，B选项错误；
对于C选项，，则，
，
所以，C选项正确；
对于D选项，取，，
则，，
即，此时，，D选项错误．
故选
考查函数的奇偶性，可知该函数是个偶函数，并考查函数在区间上的单调性，然后利用偶函数的性质结合该函数在上的单调性对各选项进行验证．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及转化思想，由为偶函数得到，是解答本题的关键，属于中档题．
 

16.【答案】D
 

【解析】解：①，b，c是的三条边长，，
，，，，
当时，
，①正确．
②令，，，则a，b，c可以构成三角形，
但，，却不能构成三角形，②正确．
③，，若为钝角三角形，则，
，，
根据根的存在性定理可知在区间上存在零点，
即，使，③正确．
故选：
①利用指数函数的性质以构成三角形的条件进行证明．②可以举反例进行判断．③利用函数零点的存在性定理进行判断．
本题考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理，考查指数函数的性质，以及余弦定理的应用，属中档题．
 

17.【答案】解：在线段CD上取靠近点D的三等分点F，连结AF，，由平面几何的知识易知，
故或其补角即为异面直线与EC所成角，
由于，故为等边三角形，，
即异面直线与EC所成角为

如图所示，利用等体积法，，
设点C到平面的距离为h，则，
即，
解得，即点C到平面的距离为
 

【解析】首先平移直线找到异面直线所成的角，然后计算其大小即可；
利用等体积法转化顶点即可求得点面距离．
本题主要考查异面直线所成的角的求解，点面距离的计算，等体积法的应用，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
 

18.【答案】解：应选，
①是单调函数且不具有先升后降再升的特点，
②同样不具有先升后降再升的特点，
③有多个单调递增区间和减区间；
由，
，
所以解得：，；
所以，
所以，
当时，需采用外销策略，则此时，
即，
又，
由函数得在内，，
得或，
即或，
即或，
又表示1月份，
故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略．
 

【解析】根据每个函数的特点及市场中价格的走势可知选择③；
根据，，求出A，B的值，再根据解出x的值即可．
本题考查了根据实际问题选择函数类型，也考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意，，化简得…分
解得…分
所以…分，如果是其它答案得5分
已知定义域为R，所以，…分
又，…分
所以；…分

对任意，，，
可知…分
因为，所以，所以，
因此在R上递减．…分
 

【解析】由题意可得从中解得，解此指数不等式即可求得x的取值范围；
由，可求得a，可求得b，从而可得的解析式；利用单调性的定义，对任意，，，再作差，最后判断符号即可．
本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．
 

20.【答案】解：依题意设椭圆的标准方程为，
因为是椭圆C的两个焦点坐标，是椭圆C上的一个定点，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为：；
设，，
因为为等边三角形，所以，
又点在椭圆上，
所以，消去得，，
解得或，
当时，；
当时，
证明：根据题意可知，直线AB斜率存在，
设直线AB：，，，AB中点为，
联立消去y得，
由得到，①
所以，
，
所以，
又，
如果为等边三角形，则有，
所以，即，
化简，②
由②得，代入①得，
化简得，不成立，
故不能为等边三角形．
 

【解析】依题意设椭圆的标准方程为，根据条件列出方程组，待定系数法求解即可；
根据对称性设，，由等边三角形可得，结合A点在椭圆上可得，求解可得AB的长；
采用反证法，即如果为等边三角形，则有，从而推出矛盾，可判断不可能为等边三角形．
本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的综合，属于难题．
 

21.【答案】解：，，，，
，
当时，，解得；
当时，，
整理，得，
，

，，，，
，
当时，，解得，
当时，
整理，得，
，，
是首项为，公差为的等差数列，

若数列是公比为q的等比数列，
①当时，，
由，得恒成立
，与数列是等比数列矛盾；
②当，时，，，
由恒成立，
得对于一切正整数n都成立
，或或0，，
事实上，当，或或0，时，
，
时，，
得或
数列是以为首项，以为公比的等比数列．
 

【解析】利用公式，结合等比数列的性质能求出数列的通项公式．
利用公式，结合题设条件进行因式分解，得到是等差数列，由此能求出数列的前n项和
设数列是公比为q的等比数列，分别讨论当，，时的情况，由此入手能够求出结果．
本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，探究A、B、C满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列，对数学思维能力要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．