2022年陕西省渭南市高考数学二模试卷（文科）（含答案解析）

2022年陕西省渭南市高考数学二模试卷（文科）

1. 设集合，，则

A.  B.
C.  D.

2. 若，则z的虚部为

A. i B.  C. 1 D.

3. ，且是，成立的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是

A. 乙销售数据的极差为24 B. 甲销售数据的众数为93
C. 乙销售数据的均值比甲大 D. 甲销售数据的中位数为92

5. 记为等差数列的前n项和，已知，，则

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

6. 随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外．现有3个完全相同的“雪容融”．甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 已知，且，则

A.  B. 12 C.  D.

8. 搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度单位：和燃料的质量单位：、火箭的质量除燃料外，单位：的函数关系是当火箭的最大速度为时，约等于参考数据：

A. 313 B. 314 C. 312 D. 311

9. 已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，若，则

A.  B.  C.  D.

11. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

12. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为

A. e B.  C.  D.

13. 若实数x，y满足约束条件则的最大值为______.
14. 设向量，满足，，与的夹角为，则______.
15. 已知函数的部分图象如图3所示，则时，函数的值域为______.

16. 已知为R上的可导的偶函数，且满足，则在处的切线斜率为______.
17. 在递增的等比数列中，前n项和为，，
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
18. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如表：

若从年龄在的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？

参考数据：，其中

19. 如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，G为线段DE上的一动点．
    证明：；
    求几何体的体积．
    
     

20. 已知函数
    求的单调区间；
    若存在极大值M和极小值N，证明：
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知椭圆C：的一个焦点为，离心率为
    求椭圆C的标准方程；
    若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
    求圆C的直角坐标方程，并指出圆心坐标和半径；
    设点M的直角坐标为，直线l与圆C的交点为A，B，求的值．
    
    
    
    
    
    
     

设函数
求不等式的解集．
若的最大值为，证明：







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：集合，
，

故选：
求出集合M，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：因为，则，
所以z的虚部为，
故选：
由已知化简求出复数z，再根据虚部的定义即可求解．
本题考查了复数的运算性质，涉及到求解复数虚部的问题，属于基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：若，且，则，一定成立即，，
例如，满足，，但是不满足，成立
，且，是，的充分不必要条件
故选：
要判断，且，是，成立的什么条件，只要判断由，且，能否推出，，同时由，能否推出，且即可
本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础试题
 

4.【答案】D
 

【解析】解：对于A，乙销售数据的极差为，选项A正确；
对于B，甲销售数据的众数为93，选项B正确；
对于C，甲组数据主要集中在内，乙组数据主要集中在内，
所以乙销售数据的均值比甲大，选项C正确；
对于D，甲销售数据的中位数是，选项D错误．
故选：
根据茎叶图中数据，结合极差、众数、平均数和中位数的定义，判断即可．
本题考查了根据茎叶图求数据的极差、众数、平均数和中位数的应用问题，是基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：等差数列中，，，且、、成等差数列，
所以，
即，
解得
故选：
根据等差数列中，，，成等差数列，由此能求出的值．
本题考查了等差数列前n项和的性质应用问题，是基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：有3个完全相同的“雪容融”，甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，
基本事件总数，
3个“雪容融”连在一起包含的基本事件个数，
则3个“雪容融”连在一起的概率为
故选：
基本事件总数，3个“雪容融”连在一起包含的基本事件个数，由此能求出3个“雪容融”连在一起的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：，两边平方得，，
，，，
，，，，，
则，
故选：
利用同角三角函数间的关系求得，可求，从而可求值．
本题考查同角三角函数间的基本关系，属中档题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：当火箭的最大速度为时，即，
，
，
，
故选：
由题意可知，所以，结合对数的运算性质即可求出的值．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：设球的半径为R，外接圆的半径为r，
在中，由，，则
得，所以，
因为球O的表面积为，
则，解得，
所以球心O到的距离，
即三棱锥的高为，
，
所以三棱锥的体积
故选：
设球的半径为R，外接圆的半径为r，根据题意求出r，R，再根据球心O到的距离，即三棱锥的高，从而可得出答案．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：函数，
，
，
，

故选：
推导出，，从而，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：，，，
，
，
为PF的中点，，，
设为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为三角形的中位线，
则，可令P的坐标为，
则有，
由抛物线的定义可得，
，，
又，即有，
化简可得，，
由于，则有，
由于，
解得，
故选：
由题设知，，，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到，再由离心率公式，计算即可得到．
本题主要考查抛物线和双曲线的标准方程和简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：因为不等式可转化为，
令，则，
所以单调递增，
又因为，
所以，
于是由题意可知：不等式恒成立，
等价于恒成立，即恒成立，
令，，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，故
故选：
由题设有不等式可转化为，构造函数并利用导数研究器单调性，进而得出恒成立，再构造函数，，并利用导数研究其最值，即可得出所求的结果．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

13.【答案】7
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为
故答案为：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意，，，与的夹角为，
则，变形可得；
故答案为：
根据题意，由数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由已知得，，故，
所以，结合图象由，得，，
所以，，
则，所以，
即值域为
故答案为：
先求出函数的解析式，然后结合正弦函数的图象和性质求解．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
 

16.【答案】0
 

【解析】解：由题设，，则，即，
所以的周期为4，又为R上的可导的偶函数，即，
而，故，即，
且，故
故答案为：
由题设可得的周期为4，结合为R上的可导的偶函数有，利用周期性及求，即可得切线斜率．
本题考查了利用导数研究函数的切线和函数的奇偶性与周期性，属基础题．
 

17.【答案】解：设等比数列的公比为q，
由，得，
所以，即，所以，
因为等比数列递增，所以，
所以
由可得，所以，
故
 

【解析】由，得，再由等比数列的通项公式，可得公比q，进而得解；
根据对数的运算公式可得，再由等差数列的前n项和公式，得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：年龄在的被调查人群有7人，其中打算购买冰墩墩的有4人，分别记为A、B、C、d、e、f、g，从中抽取2人，基本事件为AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Cd、Ce、Cf、Cg、de、、dg、ef、eg、fg共21种，
恰有1人的基本事件为Ad、Ae、Af、Ag、Bd、Be、Bf、Bg、Cd、Ce、Cf、Cg共12种，
故所求的概率为；
根据题意填写列联表，

计算，
所以有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．
 

【解析】根据被调查人群的人数，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；
根据题意填写列联表，计算，对照附表得出结论．
本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．
 

19.【答案】证明：
连接，由直三棱柱，为正方形，，
可得为正方形，又E，F分别为BC，的中点，

，，又，，
面，又面，
解：设，交点为M，连接，，，，
为正方形，，
又，，面，
又，面，，，

可得，，
 

【解析】连接，先证面，再证；
将几何体分为三棱锥和四棱锥，分别计算体积求和．
本题主要考查空间中的垂直关系，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：因为，，
所以，
令，得，，
令，得或；令，得，
所以的单调递减区间为和；单调递增区间为；
证明：由可知；
，
所以因为，所以，
因为，
所以，
即得证．
 

【解析】求出，再令，求出两根，根据导数的正负确定单调区间即可；
由可得，，得到即可证明．
本题考查了利用导数求函数的单调区间及极值，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题设，椭圆参数且，则，
所以，故椭圆C的标准方程：
当切线不与坐标轴垂直时，切线为，则，
代入椭圆C整理得：，
所以，整理得，
所以，若两条切线斜率分别为，，
又P到椭圆C的两条切线相互垂直，即，故；
当切线与坐标轴垂直时，也满足；
综上，P的轨迹方程为
 

【解析】由焦点坐标可得，再由离心率及椭圆参数关系求a、b，即可得椭圆C的标准方程；
当切线不与坐标轴垂直，设切线为联立椭圆方程，根据得到关于k的一元二次方程，再由切线的垂直关系及韦达定理，即可得轨迹方程，然后注意判断切线与坐标轴垂直时是否符合所得轨迹方程即可．
本题主要考查椭圆方程的求解，轨迹方程的求解等知识，属于基础题．
 

22.【答案】解：圆C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为，整理得，
该圆的圆心坐标为半径
把直线l的参数方程为为参数，代入，
整理得：，
故，和为A、B对应的参数；
所以，，
所以
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，解得
综上，原不等式的解集是
证明：因为所以，则
方法一因为，，，
所以，即，
当且仅当时，等号成立，故
方法二由柯西不等式得，
当且仅当时，等号成立，
即，故
 

【解析】根据，利用零点分段法解不等式即可；
方法一：求出的最大值，得到，然后利用基本不等式证明即可；
方法二：根据条件，直接利用柯西不等式证明即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式和柯西不等式的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．