2020-2021学年第三节 单摆学案

单摆

1．理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件。

2．知道单摆振动时回复力的来源。

3．知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。

知识点一　单摆及单摆的回复力

[情境导学]

如图甲所示，钟摆是单摆模型的具体应用。如图乙所示，当摆角很小时，单摆的运动可看成简谐运动。结合简谐运动的知识，请思考以下问题。

(1)小球和细线构成一个做简谐运动的单摆，运动过程中小球受到几个力的作用？什么力充当了小球振动的回复力？

(2)摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处，v＝0，加速度是否等于0?

提示：(1)小球受两个力的作用：重力和细线的拉力。重力沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力，如图所示。

(2)单摆摆动中平衡位置不是平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零。最大位移处速度等于零，但不是静止状态，一般单摆回复力不是摆球所受合外力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，所以加速度不一定等于零。

[知识梳理]

1．单摆的组成：由细绳和可看作质点的物体组成。

2．理想化模型

(1)绳子的伸缩和质量可以忽略不计。

(2)绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作质点。

(3)物体常用密度大一些、体积小一些的金属小球代替，把小球称为摆球。

3．单摆的运动

(1)往复运动。

(2)摆角小于5°，单摆的摆动可近似看成简谐运动。

4．单摆的回复力

(1)回复力的来源：重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断出单摆做简谐运动。　　[初试小题]

1．判断正误。

(1)单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略。(√)

(2)单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略。(√)

(3)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。 (×)

(4)单摆的振动不符合简谐运动。 (×)

2．在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)

解析：选A　单摆是由不可伸长的细线和金属小球组成的，其悬点应在摆球摆动过程中固定不变，故只有A项正确。

3．单摆振动的回复力是(　　)

A．摆球所受的重力

B．摆球所受重力在垂直悬线方向上的分力

C．悬线对摆球的拉力

D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力

解析：选B　摆球振动的回复力是其重力沿切线方向的分力，即摆球重力在垂直于悬线方向上的分力，B正确。

知识点二　单摆的周期

[情境导学]

猜想：由于单摆的回复力是由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？

提示：摆球质量大，同一位置回复力大，但回复力对应的加速度可能不变，故周期可能不变。

[知识梳理]

1．探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响

(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论

①单摆振动的周期与摆球的质量无关。

②摆角很小的情况下周期与振幅无关。

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．周期公式

(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

(2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)摆球的质量越大，周期越长。 (×)

(2)摆动幅度越大，周期越长。 (×)

(3)摆线越长时，单摆的周期越长。(√)

(4)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期。(√)

2．思考题。

(1)仔细观察单摆，单摆的摆长l等于悬线的长度吗？

(2)把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？

提示：(1)不等于。单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和。

(2)两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由T＝2π知，应增大摆长，才能使周期不变。

　　1．单摆的回复力

(1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力的作用。

(2)向心力的来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。

(3)回复力的来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ，提供了使摆球振动的回复力。

2．单摆做简谐运动的规律

(1)单摆做简谐运动的位移随时间变化的图像是一条正弦(或余弦)曲线。

(2)回复力、加速度、速度、动能等都随时间做周期性的变化，其变化规律与弹簧振子相同。

3．单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。

[例题1]　(2019·宁夏育才中学高二期中)当摆角很小时，单摆的振动是简谐运动，此时单摆振动的回复力是(　　)

A．摆球重力与摆线拉力的合力

B．摆线拉力沿水平方向的分力

C．摆球重力、摆线拉力及摆球所受向心力的合力

D．摆球重力沿圆弧切线方向的分力

[解析]　摆球的回复力不是所受重力和摆线作用于摆球的拉力的合力，也不是所受重力、摆线拉力和沿圆弧运动时的向心力的合力，也不是摆线的拉力沿水平方向的分力，而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，D正确，A、B、C错误。

[答案]　D

关于单摆的回复力的三点提醒

(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力。

(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，此时回复力为零，但合力不为零。　　　　

[针对训练]

1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是(　　)

A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零

解析：选C　单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故应选C。

2.图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)

A．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用

B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零

C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大

D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大

解析：选C　摆球在运动过程中只受到重力和拉力的作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处的速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。

1．对周期公式的理解

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(θ<5°)。

(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。

(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。

(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。

2．等效摆长的确定

(1)如图(a)所示，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π。

(2)如图(b)所示，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效。

(3)如图(c)所示，小球在光滑且半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2π。

[例题2]　如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点的正下方L处有一铁钉。将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是(　　)

A．2π　　　　　　 B．π

C．(＋1)π D．(＋1)π

[解析]　以L为摆长的运动时间为t1＝×2π以L为摆长的运动的时间为t2＝×2π ，则这个摆的周期为T＝t1＋t2＝(＋1)π 。故A、B、C错误，D正确。

[答案]　D

确定单摆周期的方法

(1)明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件。

(2)运用T＝2π时，注意l和g是否发生变化，若发生变化，则分别求出不同l和g时的运动周期。　　　　

[针对训练]

1．在同一地点的两个单摆做简谐振动的图像如图所示，则由图像可知，两单摆的(　　)

A．摆长一定相等

B．摆球的质量一定相等

C．摆动的最大偏角一定相等

D．摆球同时改变速度方向

解析：选A　分析题图可知，两个单摆的周期相等，根据单摆的周期公式T＝2π可知，两个单摆的摆长相等，A选项正确；周期与摆球的质量无关，B选项错误；由于摆长相等，而振幅不同，故最大摆角一定不等，C选项错误；从题图可以看出，速度为零的时刻不同，故改变速度方向的时刻不同，D选项错误。

2.如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的M处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)

A．A球先到达C点

B．B球先到达C点

C．两球同时到达C点

D．无法确定哪一个球先到达C点

解析：选A　A做自由落体运动，到C点所需时间tA＝ ，R为圆弧轨道的半径。因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为R的单摆)，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝＞tA，所以A球先到达C点。

1.(多选)如图所示，对于做简谐运动的单摆，当所受回复力逐渐增大时，随之变小的物理量是(　　)

A．摆线上的张力

B．摆球的振幅

C．摆球的重力势能

D．摆球的动能

解析：选AD　单摆做简谐运动，由F＝－kx知回复力增大时位移增大，摆球远离平衡位置运动，所以摆线上的张力、摆球的动能减小，A、D正确。摆球位置变高，其重力势能增大，C错误。摆球的振幅不变，B错误。

2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)

A．t1时刻摆球的速度最大，摆球的回复力最大

B．t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球的速度为零，摆球的回复力最小

D．t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大

解析：选D　在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C均错误；t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。

3．(2020·辽宁沈阳第一零七中学月考)做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的，则单摆振动的(　　)

A．频率不变，振幅不变

B．频率改变，振幅变大

C．频率改变，振幅不变

D．频率不变，振幅变小

解析：选D　由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由Ek＝mv2可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，由机械能守恒定律可知，摆球的质量增加，摆球所达到的最大位移处距离最低点的高度减小，因此振幅变小，D正确。

4．摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取t＝0)，当振动至t＝时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图像是图中的(　　)

解析：选D　当t＝＝T时，摆球有负向最大速度，可知此时单摆应在平衡位置，y＝0，且速度沿y轴负方向，故D选项正确。

5.如图所示，摆长为L的单摆，周期为T。如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的，使摆球A通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是(　　)

A．单摆在整个振动过程中的周期不变

B．单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的

C．单摆在整个振动过程中的周期将变小为原来的

D．单摆在整个振动过程中的周期无法确定

解析：选C　根据单摆周期公式T＝2π知，未加钉子时，周期T1＝T＝2π，悬线长变为被挡后，周期变为T′＝2π＝π，所以加了钉子的周期为T2＝T＋T′＝π，所以周期变为原来的，A、B、D错误，C正确。