2021-2022苏科版八年级数学下册期末复习-二次根式精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）

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2021-2022学年八年级数学下学期期末考试高分直通车（苏科版）
专题1.8二次根式精讲精练（知识梳理+重点难点）
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【知识梳理】
1.二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
2.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3.二次根式的性质：
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
4.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
5.二次根式的运算：
（1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
6.二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．
①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7.二次根式的应用：
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【典例剖析】
考点1二次根式的定义
【例1】（2020秋•遂宁期末）下列式子中二次根式的个数有（　　）
（1）13；（2）−3；（3）−x2+1；（4）38；（5）(−13)2；（6）1−x（x＞1）；（7）7．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义对各小题分析判断即可得解．
【解析】（1）13是二次根式；
（2）−3不是二次根式；
（3）−x2+1是二次根式；
（4）38是三次根式；
（5）(−13)2是二次根式；
（6）1−x（x＞1）不是二次根式；
（7）7是二次根式．
综上所述，是二次根式的有（1）（3）（5）（7）共4个．
故选：C．
【变式1-1】（2020春•鹿城区校级期中）在下列代数式中，属于二次根式的是（　　）
A．2a B．a2+1 C．a2 D．a2+1
【分析】根据二次根式的定义形如a（a≥0）的式子叫做二次根式进行判断即可得．
【解析】A．2a是整式，不符合题意；
B．由a2+1＞0知a2+1是二次根式，符合题意；
C．a2是整式，不符合题意；
D．a2+1是整式，不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2020春•赣榆区期末）若3−m为二次根式，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m≥3 D．m＞3
【分析】根据二次根式的定义得出3﹣m≥0，求出不等式的解集即可．
【解析】∵3−m为二次根式，
∴3﹣m≥0，
解得：m≤3，
故选：B．
【变式1-3】（2020春•上虞区期末）当x＝0时，二次根式4−2x的值是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】把x＝0代入4−2x，再求出即可．
【解析】当x＝0时，4−2x=4=2，
故选：B．
考点2二次根式有意义的条件
【例2】（2020春•淮安区期末）代数式1x−8有意义时，x应满足的条件是（　　）
A．x≠8 B．x＜8 C．x＞8 D．x≥8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
【解析】代数式1x−8有意义时，
x﹣8≥0，而x−8≠0，
∴x＞8．
故选：C．
【变式2-1】（2020•天宁区校级模拟）若式子x−1有意义，则x满足（　　）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1
【分析】二次根式的被开方数是非负数，则x﹣1≥0．
【解析】由题意，得x﹣1≥0．
解得x≥1．
故选：A．
【变式2-2】（2020•泉山区校级模拟）若代数式3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解析】由题意得，3﹣x≥0，
解得，x≤3，
故选：B．
【变式2-3】（2020春•无锡期末）要使二次根式x−5有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞5 C．x≥0 D．x≥5
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解析】∵二次根式x−5有意义，
∴x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故选：D．
【变式2-4】（2020春•广陵区校级期末模拟）当x　 　时，−11−3x是二次根式．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：﹣（1﹣3x）＞0即x＞13，
所以自变量x的取值范围是x＞13．
考点3二次根式的性质
【例3】（2019秋•崇川区校级期末）（a﹣1）11−a变形正确的是（　　）
A．﹣1 B．1−a C．−1−a D．−a−1
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解析】∵11−a有意义，
∴1﹣a＞0，
∴a﹣1＜0，
∴（a﹣1）11−a=−(1−a)2⋅11−a=−1−a．
故选：C．
【变式3-1】（2020春•锡山区校级期末模拟）若(a−1)2=1−a，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解析】∵(a−1)2=1−a，
∴1﹣a≥0，
解得：a≤1．
故选：D．
【变式3-2】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式−a3b的正确结果是（　　）
A．aab B．﹣aab C．a−ab D．﹣a−ab
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【解析】由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0＜b，
所以原式＝|a|−ab=−a−ab，
故选：D．
【变式3-3】（2020春•常熟市期末）如果(2a−1)2=1﹣2a，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜12 B．a≥12 C．a＞12 D．a≤12
【分析】根据二次根式的性质：a2=|a知2a﹣1≤0，解之可得．
【解析】∵(2a−1)2=1﹣2a，
∴2a﹣1≤0，
解得：a≤12，
故选：D．
考点4最简二次根式与同类二次根式
【例4】（2020春•邗江区校级期末模拟）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A．−2 B．12 C．15 D．12
【分析】先化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解析】A、−2符合最简二次根式的定义，正确；
B、12=23被开方数中含有未开尽方的因数或因式，错误；
C、15=55被开方数中含有分母，错误；
D、12=22分母中含有被开方数，错误；
故选：A．
【变式4-1】（2020春•邳州市期末模拟）下列各式①8；②0.3；③12；④3；⑤a2+1；其中一定是最简二次根式的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【解析】①8=22；②0.3=3010；③12=23；④3是最简二次根式；⑤a2+1是最简二次根式；
故选：C．
【变式4-2】（2020春•吴中区期末）下列各式中，与2是同类二次根式的是（　　）
A．4 B．12 C．12 D．6
【分析】将各个二次根式化成最简二次根式后，选被开方数为2的根式即可．
【解析】4=2，因此选项A不符合题意；
12=22，因此选项B符合题意；
12=23，因此选项C不符合题意；
6显然与2不是同类二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【变式4-3】（2020春•赣榆区期末）如果a+1与12的和等于33，那么a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】∵a+1与12=23的和等于33，
∴a+1=33−23=3，
故a+1＝3，
则a＝2．
故选：C．
【变式4-4】（2020春•海州区期末）下列根式中，与3是同类二次根式的是（　　）
A．24 B．27 C．32 D．18
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【解析】（A）24=26，与3不是同类二次根式．
（B）27=33，与3是同类二次根式．
（C）32=62，与3不是同类二次根式．
（D）18=32，与3不是同类二次根式．
故选：B．
考点5二次根式的乘除
【例5】（2020•玄武区一模）计算2×205的结果是　 　．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式=2×255=22，
故答案为：22
【变式5-1】（2020春•扬中市期末）化简：18×12=　3　．
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解析】原式=18×12
=9
＝3．
故答案为：3．
【变式5-2】（2019春•鼓楼区期末）写一个无理数，使它与2+3的积是有理数：　 ．
【分析】找出已知式子的分母有理化因式即可．
【解析】写一个无理数，使它与2+3的积是有理数2−3，
故答案为：2−3
【变式5-2】（2020•相城区一模）计算：（3+22）（3﹣22）＝　　．
【分析】本题符合平方差公式，运用平方差公式进行计算即可．
【解析】原式＝32﹣（22）2＝9﹣8＝1．
故答案为：1．
考点6二次根式的加减
【例6】（2020•南京一模）计算27−313的结果是　 　．
【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【解析】原式＝33−3
＝23．
故答案为：23．
【变式6-1】（2019•鼓楼区二模）计算2+8+12的结果是　 　．
【分析】根据二次根式的加减法法则计算即可．
【解析】2+8+12
=2+22+23
＝32+23，
故答案为：32+23．
【变式6-2】（2020春•南京期末）计算3+12的结果是　33　．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解析】原式=3+23
＝33．
故答案为：33．
【变式6-3】（2020春•常熟市期末）计算：4−|2−1|+29．
【分析】先化简二次根式再进行加减运算即可．
【解析】原式＝2﹣（2−1）+23
＝2−2+1+23
＝3−223．
【变式6-4】（2020春•高港区期末模拟）计算：
（1）50−(8+212)+(2−3)2；
（2）50+328−4+(2+2)(2−2)．
【分析】（1）先化简各二次根式，再去绝对值符号和括号，最后计算加减可得；
（2）先化简二次根式、利用平方差公式计算，再计算除法，最后计算加减可得．
【解析】（1）原式＝52−（22+2×22）+|2−3|
＝52−22−2+3−2
=2+3；
（2）原式=52+4222−4+22﹣（2）2
=52+2﹣4+4﹣2
=52．
考点7最二次根式的混合运算
【例7】（2020•天宁区校级模拟）计算：
（1）（2）2﹣（13）﹣1﹣（3+1）0；
（2）（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）．
【分析】（1）利用二次根式的性质、负整数指数幂和零指数幂的意义计算；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后去括号合并即可．
【解析】（1）原式＝2﹣3﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣1）
＝x2+2x+1﹣x2+1
＝2x+2．
【变式7-1】（2020春•玄武区期末模拟）计算：
（1）15×53+412÷214−12．
（2）（3+23）2﹣（23−32）（23+32）．
【分析】（1）首先利用二次根式的乘法和除法法则计算，再计算加减即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再算加减即可．
【解析】（1）原式＝5+92÷94−12，
＝5+2−22，
＝5+22；

（2）原式＝9+123+12﹣（12﹣18），
＝9+123+12+6，
＝27+123．
【变式7-2】（2020春•泰兴市校级期末）计算：
①（1−3）2+2•6−（3）0﹣313；
②ab3÷（﹣3b2a）×（﹣32a）．
【分析】①利用完全平方公式、二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算；
②利用二次根式的乘除法则运算．
【解析】①原式＝1﹣23+3+23−1−3
＝3−3；
②原式=−13×（﹣3）×ab3×2ab×2a
＝2aba．
【变式7-3】（2020春•徐州期末）计算：
（1）12−27−48；
（2）（2+3）5（2−3）5．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而计算得出答案．
【解析】（1）原式＝23−33−43
＝﹣53；

（2）原式＝[（2+3）（2−3）]5
＝15
＝1．
【变式7-4】（2020春•江都区期末）计算：
（1）45−20+15；
（2）（2−1）2﹣（22−1）（1+22）．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
（2）利用乘法公式化简求值即可．
【解析】（1）原式＝35−25+55
=655．
（2）原式＝2﹣22+1﹣（8﹣1）
＝﹣22−4．
考点8二次根式的化简求值
【例8】（2020春•姑苏区期末）已知：a=5+3，b=5−3．
求值：（1）ab；
（2）a2﹣3ab+b2；
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】（1）ab＝（5+3）（5−3）
＝5﹣3
＝2．
（2）a﹣b=5+3−5+3
＝23，
∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab
＝12﹣2
＝10．
【变式8-1】（2019秋•张家港市期末）已知：a−2+|b−3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b−a，y=b+a，求1x+1y的值．
【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则14a+6b=14×2+63，然后利用分母有理化和二次根式的除法法则运算；
（2）由于x=3−2，y=3+2，则1x+1y=13−2+13+2，然后分母有理化后合并即可．
【解析】（1）∵a−2+|b−3|=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴14a+6b=14×2+63=24+2=524；
（2）∵x=b−a=3−2，y=b+a=3+2，
∴1x+1y=13−2+13+2=3+2+3−2=23．
【变式8-2】（2019秋•南江县期末）已知：y=1−8x+8x−1+12，求代数式xy+yx+2−xy+yx−2的值．
【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解析】1﹣8x≥0，x≤18
8x﹣1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，
∴原式=x+yxyxy−y−xxyxy=2yxy=1．
【变式8-3】（2020春•清江浦区期末）先化简，再求值：（1−3x+1）÷x2−4x+4x+1，其中x＝2+2．
【分析】先根据分式的运算法则化简，再把x的值代入计算即可．
【解析】
（1−3x+1）÷x2−4x+4x+1
=x+1−3x+1×x+1(x−2)2
=x−2x+1×x+1(x−2)2
=1x−2
∴当x＝2+2时，
原式=12+2−2=22．
考点9二次根式的应用
【例9】（2020春•玄武区期末模拟）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．

【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解析】（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12(12−7)(12−8)(12−9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC⋅ℎ1=12BC⋅ℎ2=125，
∴ℎ1=2458=35，ℎ2=2457，
∴ℎ1+ℎ2=35+2457=4557．
【变式9-1】（2020春•淮安区期末）等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，求这个等腰三角形的腰长．
【分析】分23是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
【解析】23是腰长时，底边是43+7﹣2×23=7，
∵23+23=43＜7，
∴此时不能组成三角形；
23是底边时，腰长为12（43+7﹣23）=3+72，
能组成三角形，
综上所述，这个等腰三角形的腰长3+72．
【变式9-2】（2021春•高新区区校级月考）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？

【分析】从题意可知，剩余部分的长方形的长边为18bm，短边为32−18=2dm，由估算18，2的大小，做出判断即可．
【解析】剩余部分的长为18dm，宽为32−18=2dm，
∵2＜1.5，
∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，
∵4.2＜18＜4.3，
4.2÷1.5≈2，
因此只能截出2块，
答：最多能截出2块．
【变式9-3】（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3cm．求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．

【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；
（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．
【解析】（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（63）2﹣4×（3）2
＝108﹣12
＝96（cm2）；

（2）长方体盒子的体积：（63−23）（63−23）×3
＝43×43×3
＝483（cm3）．
考点10二次根式的规律探究及阅读材料题
【例10】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：
12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1；
13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2；
15+2=1×(5−2)(5+2)(5−2)=5−2．
求：（1）17+6的值．
（2）1n+1+n（n为正整数）的值．
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式17+6的分母和分子上分别相乘（7−6），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式1n+1+n的分母和分子上分别相乘（n+1−n），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=（2−1）+（3−2）+（2−3）+…+（10−99），由此即可算出结论．
【解析】（1）17+6=1×(7−6)(7+6)(7−6)=7−6；
（2）1n+1+n=1×(n+1−n)(n+1+n)(n+1−n)=n+1−n；
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=（2−1）+（3−2）+（2−3）+…+（10−99）＝10﹣1＝9．
【变式10-1】（2019春•天台县期末）
计算 1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+110012+110022
（1）研究规律：先观察几个具体的式子：
1+112+122=94=32=21−　12　
1+122+132=4936=76=32−　13　
1+132+142=169144=1312=　43−14　
（2）寻找规律：
1+1n2+1(n+1)2=　n+1n−1n+1　（n≥1且n为正整数）
（3）请完成计算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+110012+110022
【分析】（1）各式计算得到结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式各项利用得出的规律变形，计算即可求出值．
【解析】（1）1+112+122=94=32=21−12；
1+122+132=4936=76=32−13；
1+132+142=169144=1312=43−14；
（2）1+1n2+1(n+1)2=n+1n−1n+1；
（3）原式=21−12+32−13+⋯+10021001−11002=2+1000−11002=100110011002．
故答案为：（1）12；13；43−14； （2）n+1n−1n+1；
【变式10-2】（2020秋•吴江区期中）像2⋅2=2；(3+1)(3−1)=2；(5+2)(5−2)=3⋯两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）123=323×3=36；
（2）2+12−1=(2+1)2(2−1)(2+1)=2+22+12−1=3+22．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：3+5−3−5．
解：设x=3+5−3−5，易知3+5＞3−5，∴x＞0．
由：x2＝3+5+3−5−2(3+5)(3−5)=6−24=2．解得x=2．
即3+5−3−5=2．
请你解决下列问题：
（1）23−35的有理化因式是　23+35　；
（2）化简：33+12−1+12+3；
（3）化简：6−33−6+33．
【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；
（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；
（3）设x=6−33−6+33，判断出x小于0，将左右两边平方求出x的值即可．
【解析】（1）23−35的有理化因式是23+35；
故答案为：23+35；
（2）原式=3+2+1+2−3
=2+3；
（3）设x=6−33−6+33，可得6−33＜6+33，即x＜0，
由题意得：x2＝6﹣33+6+33−2(6−33)(6+33)=12﹣6＝6，
解得：x=−6，
则原式=−6．
【变式10-3】（2021春•崇川区校级月考）（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在横线上打“√”，不成立的打“×”．
①2+23=223　∨　；
②3+38=338　∨　；
③4+415=4415　∨　；
④5+524=5524　∨　．
（2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n的式子将其规律表示出来，并注明n的取值范围：　n≥2　．
【分析】（1）根据二次根式的化简分别判断得出正确与否即可．
（2）利用（1）中计算结果，即可得出二次根式的变化规律，进而得出答案即可．
【解析】（1）①∨，②∨，③∨，④∨；
故答案为：∨、∨、∨、∨；
（2）根据（1）中结论即可发现：用含n的式子将其规律表示出来为n+nn2−1=nnn2−1（n≥2）．
故答案为：n≥2．