2021-2022苏科版八年级数学下册期末复习-认识概率精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）

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2021-2022学年八年级数学下学期期末考试高分直通车（苏科版）
专题1.2认识概率精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）
【目标导航】

【知识梳理】
1.确定事件与随机事件：
（1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2.可能性的大小：
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
3.概率的意义：
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
4.利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【典例剖析】
考点1随机事件与必然事件
【例1】（2020秋•高邮市期末）“翻开苏科版九年级上册《数学补充习题》，恰好翻到第586页”，这个事件是（　　）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法判断
【分析】根据随机事件的概念即可求解．
【解析】“翻开苏科版九年级上册《数学补充习题》，恰好翻到第586页”确实有可能刚好翻到第586页，也有可能不是翻到第586页，故这个事件是随机事件．
故选：A．
【变式1-1】（2020春•秦淮区期末）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．打开电视，正在播放广告
C．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7
D．一个不透明的袋子中只装有 2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解析】A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不合题意；
B、打开电视，正在播放广告，是随机事件，不合题意；
C、抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1～6的骰子，朝上一面的数字小于7，是必然事件，符合题意；
D、一个不透明的袋子中只装有 2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球，是不可能事件，不合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2020春•高淳区期末）某校有教师80名，为体现“人文关怀，尊师重教”，学校决定按月为教师过集体生日．办公室先随机抽查统计了其中13名教师的出生月份，则下列说法正确的是（　　）
A．这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师
B．这个问题中的总体是80名教师
C．“这13名教师中有人出生月份相同”是随机事件
D．这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师的出生月份
【分析】根据总体、个体、样本以及随机事件，不可能事件，必然事件的意义进行判断即可．
【解析】这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师的出生月份，因此选项A不正确，选项D正确；
这个问题中的总体是80名教师的出生月份，因此选项B不正确；
“这13名教师中有人出生月份相同”是必然事件，因此选项C不正确；
故选：D．
【变式1-3】（2020春•玄武区期末）在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件中，不可能事件是（　　）
A．摸出的3个球都是红球
B．摸出的3个球都是白球
C．摸出的3个球中有2个红球1个白球
D．摸出的3个球中有2个白球1个红球
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解析】A、摸出的3个球都是红球是随机事件，故A错误；
B、只有2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能事件，故B选项正确；
C、摸出的3个球中有2个红球1个白球是随机事件，故C错误；
D、摸出的3个球中有2个白球1个红球是随机事件，故D错误；
故选：B．
考点2可能性的大小
【例2】（2020春•秦淮区期末）转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字　2　的区域的可能性最小．

【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可．
【解析】指针落在标有1的区域内的可能性是38；
指针落在标有2的区域内的可能性是28=14；
指针落在标有数字3的区域内的可能性是38；
所以指针指向标有数字2的区域的可能性最小，
故答案为：2．
【变式2-1】（2020春•海陵区校级期末）质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1﹣6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列　（2）（3）（4）（1）　．
（1）向上一面的点数大于0
（2）向上一面的点数是7
（3）向上一面的点数是3的倍数
（4）向上一面的点数是偶数
【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较即可．
【解析】（1）向上一面的点数大于0的可能性为1；
（2）向上一面的点数是7的可能性为0；
（3）向上一面的点数是3的倍数的可能性为13；
（4）向上一面的点数是偶数的可能性为12，
所以把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列（2）（3）（4）（1），
故答案为：（2）（3）（4）（1）．
【变式2-2】（2020春•相城区期末）一个不透明的袋子里有5个红球和3个白球，每个球除颜色以外都相等，从袋中任意摸出一个球，是红球的可能性　大于　（填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
【分析】根据“哪种球的数量大哪种球的可能性就大”直接确定答案即可．
【解析】∵袋子里有5个红球，3个白球，
∴红球的数量大于白球的数量，
∴从中任意摸出1只球，是红球的可能性大于白球的可能性．
故答案为：大于．
【变式2-3】（2020春•东海县期末）一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球，按发生的可能性大小从小到大依次排序为（只填写序号）　①②③　．
【分析】先计算概率，然后从小到大排列即可．
【解析】∵共有10+20+30＝60（个）球，
∴①摸到白球的概率是1060=16，
②摸到黄球的概率是2060=26，
③摸到红球的概率是3060=36，
∴发生的可能性大小从小到大依次排序为①②③，
故答案为①②③．
考点3概率的意义
【例3】（2019春•江都区期末）掷一枚均匀的硬币，前3次抛掷的结果都是正面朝上，那么第4次抛掷的结果正面朝上的概率为　0.5　．
【分析】根据概率的意义即可求出答案．
【解析】由于每一次正面朝上的概率相等，
∴第4次抛掷的结果正面朝上的概率为0.5，
故答案为：0.5
点评：本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义，本题属于基础题型．
【变式3-1】（2019秋•常州期末）某市农科院通过试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，在相同条件下请估计1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有　29　斤．
【分析】根据蚕豆种子的发芽率为97.1%，可以估计1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有多少．
【解析】由题意可得，1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有：1000×（1﹣97.1%）＝1000×0.029＝29斤，
故答案为：29．
点评：本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，注意求得是不能发芽的种子数．
【变式3-2】（2020秋•泰州州期中）在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是　①③　．
①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同
②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为n2
③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定
④连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于12
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【解析】①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同，故本选项正确；
②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数更接近12；故本选项错误；
③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定；故故本选项正确；
④连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率可能是12，故本选项错误．
故答案为：①③．
【变式3-3】（2021春•鼓楼区校级月考）一个事件的概率不可能是（　　）
A．32 B．1 C．23 D．0
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．
【解析】∵32＞1，
∴A不成立．
故选：A．
考点4用频率估计概率
【例4】（2020春•徐州期末）一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是　0.32　．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解析】一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，
那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．
故答案为：0.32．
【变式4-1】（2020春•玄武区期末）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外都相同的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验3000次，记录结果如下：
实验次数n
100
200
300
500
800
1000
2000
3000
摸到红球次数m
65
124
178
302
481
620
1240
1845
摸到红球频率mn
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.620
0.620
0.615
估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为　0.6　．（精确到0.1）
【分析】根据表格中的数据，可以估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率，本题得以解决．
【解析】由表格中的数据可得，
从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为0.6，
故答案为：0.6．
【变式4-2】（2020春•高邮市期末）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如表：
抽检数量n/个
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
合格数量m/个
19
46
93
185
459
922
1840
4595
9213
口罩合格率mn
0.950
0.920
0.930
0.925
0.918
0.922
0.920
0.919
0.921
下列说法中：①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930；②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920：③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是　②　（填序号）
【分析】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．
【解析】观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，
所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920，
故答案为：②．
【变式4-3】（2020春•常州期末）在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有　2　个．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解析】设袋中白球有x个，根据题意得：x8=0.25，
解得：x＝2，
故袋中白球有2个．
故答案为：2．
考点5有关可能性大小的解答题
【例5】（2019春•南京期末）如图，一个圆形转盘被平均分成8个小扇形．请在这8个小扇形中分别写上数字1、2、3，任意转动转盘，使得转盘停止转动后，“指针落在数字1的区域”的可能性最大，且“指针落在数字2的区域”的可能性与“指针落在数字3的区域”的可能性相同．

【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比标出数字即可，答案不唯一．
【解析】答案不唯一，如下图：

这样标出“指针落在数字1的区域”的可能性最大，且“指针落在数字2的区域”的可能性与“指针落在数字3的区域”的可能性相同．
点评：此题考查可能性问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
【变式5-1】（2019春•龙岗区期末）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件的可能性大小，完成下列问题：
（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）
（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：　②＜③＜①＜④　．

【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
【解析】∵共3红2黄1绿相等的六部分，
∴①指针指向红色的概率为36=12；
②指针指向绿色的概率为16；
③指针指向黄色的概率为26=13；
④指针不指向黄色为46=23，
（1）可能性最大的是④，最小的是②；
（2）由题意得：②＜③＜①＜④，
故答案为：②＜③＜①＜④．
【变式5-2】（2019春•凤翔县期末）在5个不透明的袋子中分别装有10个球，其中，1号袋中有10个红球，2号袋中有8红2白球，3号袋中有5红5白球，4号袋中有1红9白球，5号袋中有10个白球，从各个袋子中摸到白球的可能性一样吗？请将袋子的序号按摸到白球的可能性从小到大的顺序排列．
【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．
【解析】1号袋子摸到白球的可能性＝0；
2号个袋子摸到白球的可能性=210=15；
3号个袋子摸到白球的可能性=510=12；
4号个袋子摸到白球的可能性=910，
5号个袋子摸到白球的可能性＝1．
故排序为：1号，2号，3号，4号，5号．
【变式5-3】（2021春•灌云县月考）用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件；
（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；
（2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；
（3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；
解：我设计的方案如下：
“红桃”　5　张，“黑桃”　2　张，“方块”　1　张，“梅花”　2　张
【分析】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为10张，每一种都是整数，进而得出答案．
【解析】一共有10张扑克牌，
满足（1），说明“黑桃”和“梅花”的张数相同，
满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少，
满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少，
因此黑色的牌要少于5张，最多为4张，可以得到“黑桃”和“梅花”各2张，“方块”1张，剩下的为“红桃”5张．
故答案为：5，2，1，2．
【变式5-4】（2020秋•顺义区期末）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球．
（1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性；
（2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为23，求袋子中需再加入几个红球？
【分析】（1）求出摸到红球的概率即可；
（2）设需再加入x个红球，根据摸出红球的概率为23列出方程求解即可．
【解析】（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5，
随意摸出一个球是红球的结果个数是2，
∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是25；

（2）设需再加入x个红球．
依题意可列：2+x2+3+x=23，
解得x＝4，
经检验x＝4是原方程的解，
∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为23，袋子中需再加入4个红球．
考点6有关概率和频率的解答题
【例6】（2019春•铜山区期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n
50
100
150
200
350
400
450
500
优等品的频数m
40
96
126
176
322
364
405
450
优等品的频率mn
0.80
0.96
0.84
　0.88　
0.92
　0.91　
0.90
　0.9　
（1）填写表中的空格；
（2）画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图；

（3）这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？
【分析】（1）利用频率的定义分别计算；
（2）先描出各点，然后折线连接；
（3）根据频率估计概率，频率都在0.9左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.9．
【解析】（1）176÷200＝0.88，364÷400＝0.91，450÷500＝0.9，
故答案为：0.88，0.91，0.9，
（2）折线统计图如图所示：
（3）根据频率，当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，因此这批乒乓球优等品概率的估计值大约为0.9．

点评：考查折线统计图的制作方法、频率、概率以及用频率估计概率的方法，掌握频率的意义和计算方法，频率估计概率是统计中的常用方法，也是频率的具体应用．
【变式6-1】（2020春•南京期末）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图折线统计图：

（1）这种树苗成活概率的估计值为　0.9　．
（2）若移植这种树苗6000棵，估计可以成活　5400　棵．
（3）若计划成活9000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？
【分析】（1）根据频率估计概率，从折线统计图中的发展趋势，随着实验次数的增加，频率越稳定在0.9附近波动，因此概率为0.9．
（2）根据成活率的意义，计算6000棵的90%即可；
（3）根据成活棵数÷成活率＝总棵数即可．
【解析】（1）从折线统计图中的发展趋势，随着实验次数的增加，频率越稳定在0.9附近波动，根据频率估计概率，这种树苗成活概率约为0.9，
故答案为：0.9；
（2）6000×0.9＝5400（棵），
故答案为：5400；
（3）9 000÷0.9＝10000（棵），
答：需移植这种树苗大约10000棵．
【变式6-2】（2020春•仪征市期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
124
190
325
538
670
2004
摸到白球的频率mn
0.70
0.62
0.633
0.65
0.6725
0.670
0.668
（1）若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为　0.67　；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有　33　只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是　C　．
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”．
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5．
【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据黑球个数＝球的总数×得到的黑球的概率，即可得出答案；
（3）试验结果在0.67附近波动，即其概率P≈0.67，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案．
【解析】（1）由表可知，若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，
故答案为：0.67；

（2）根据题意得：
100×（1﹣0.67）＝33（只），
答：盒子里黑球有33只；
故答案为：33；

（3）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为=2754=0.5＜0.67，故此选项不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为12=0.5，不符合题意；
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率为46≈0.67，符合题意；
所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C，
故答案为：C．
【变式6-3】（2020春•清江浦区期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率mn
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
（1）上表中的a＝　0.59　，b＝　116　；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是　0.6　（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数．
【解析】（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．
故答案为：0.59，116
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6
（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；
【变式6-4】（2020春•盐城期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数n
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数m
116
192
232
298
590
968
1202
摸到白球的频率mn
0.580
0.640
0.580
0.596
0.590
0.605
　0.601　
（1）填写表中的空格；
（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是　0.600　；
（3）若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解析】（1）1202÷2000＝0.601；
故答案为：0.601；
（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.600；
故答案为：0.600．
（3）∵摸到白球的概率的估计值是0.600，
∴摸到红球的概率的估计值是0.400，
∵袋中有红球2个，
∴球的个数共有：2÷0.400＝5（个），
∴袋中白球的个数为5﹣2＝3．