2022年贵州省贵阳市中考数学模拟试题(word版含答案)

这是一份2022年贵州省贵阳市中考数学模拟试题(word版含答案)，共27页。

2022年贵阳市中考数学模拟试题
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）计算（﹣2）2的结果是（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
2．（3分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）选择计算（﹣4x2+3y）（4x2+3y）的最佳方法是（　　）
A．运用多项式乘多项式法则
B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则
D．运用完全平方公式
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝30°，BD＝8，则下列结论：①∠DAB＝60°；②∠ADB＝60°；③OD＝4；④AD＝8；⑤OC＝4．
其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，则∠COD的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（3分）某学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片《孩子，请不要私自下水》，并对部分学生进行调查．根据下面两幅不完整的统计图可以求出，在这次调查中被调查的学生有（　　）

A．400名 B．380名 C．350名 D．300名
8．（3分）已知﹣m＜2＜m，若有理数m在数轴上对应的点为M，则点M在数轴上可能的位置是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　）

A．2 B．3 C． D．
10．（3分）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（　　）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
11.（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．如果AD=5cm，AP=8cm，则△ABP的面积等于（　　）cm2．

12.（3分）无论n为何值，直线y=-2x+n与y=x-3的交点不可能在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）若分式的值为0．则x的值是　 　．
14．（4分）直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 　．
15．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝．将矩形ABCD绕点C逆时针旋转至矩形A′B′CD′的位置，此时边AD恰好经过点B，其中点A的运动路径是弧AA′，则图中阴影部分的面积为　 　．

三．解答题（共9小题，满分98分）
17．（12分）随着智能手机的普及，微信抢红包已成为春节期间人们最喜欢的活动之一，某校七年级（1）班班长对全班50名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．
请根据以上信息回答：
（1）该班同学所抢红包金额的众数是　 　，中位数是　 　；
（2）该班同学所抢红包的平均金额是多少元？
（3）若该校共有18个班级，平均每班50人，请你估计该校学生春节期间所抢的红包总金额为多少元？

18．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD，延长CE、BA交于点F，连接AC、DF

（1）如图1，求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）如图2，连接BE，若CF＝4，tan∠FBE＝，求AE的长．
19．（10分）有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从A盒里抽取一张卡片、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是　 　；
（2）从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率．
20．（10分）某学校为了满足疫情防控需求，决定购进A、B两种型号的口罩若干盒，若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元，若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元．
（1）求A、B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，并要求购进A型口罩的盒数不超过B型口罩盒数的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21．（10分）如图，线段AB表示一信号塔，DE表示一斜坡，DC⊥CE．且点B，C，E三点在同一水平线上，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡DE的坡比为1：，DE＝42米．某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°，站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°（人的身高忽略不计），求信号塔的高度AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

22．（10分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝　 　，k＝　 　；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．

23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．

24．（12分）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2．
（1）若a＝1，x1＝1，x2＝4，求二次函数顶点坐标；
（2）若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），求m+n的值；
（3）在（1）的条件下，将抛物线向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增加而减小的部分为P，若P和直线y＝x﹣n有交点，求n2﹣5n的最小值．
25．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．


答案与解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）计算（﹣2）2的结果是（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解析】(﹣2)²＝(﹣2)×(﹣2)＝4,
故选：A．
2．（3分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
3．（3分）选择计算（﹣4x2+3y）（4x2+3y）的最佳方法是（　　）
A．运用多项式乘多项式法则
B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则
D．运用完全平方公式
【答案】B
【解析】（﹣4x2+3y）（4x2+3y），两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，
所以计算（﹣4x2+3y）（4x2+3y）的最佳方法是运用平方差公式．
故选：B．
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝30°，BD＝8，则下列结论：①∠DAB＝60°；②∠ADB＝60°；③OD＝4；④AD＝8；⑤OC＝4．
其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝2∠DAC＝2×30°＝60°，AD＝AB，OB＝OD，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝8，OD＝4，∠ADB＝60°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OA＝，
∴OC＝OA＝4，
∴正确的有：①②③④⑤，
故选：D．
5．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵由题意，共16﹣3＝13种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如图5个标有数字的位置，所示的5种情况，
∴概率为P＝．
故选：B．

6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，则∠COD的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】∵多边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝360°×＝60°，
故选：C．
7．（3分）某学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片《孩子，请不要私自下水》，并对部分学生进行调查．根据下面两幅不完整的统计图可以求出，在这次调查中被调查的学生有（　　）

A．400名 B．380名 C．350名 D．300名
【答案】A
【解析】20÷5%＝400人，
故选：A．
8．（3分）已知﹣m＜2＜m，若有理数m在数轴上对应的点为M，则点M在数轴上可能的位置是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵﹣m＜2＜m，
∴m＞﹣2且m＞2，
即：m＞2，
∴点M在数轴上可能的位置是：

故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　）

A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
10．（3分）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（　　）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
【答案】B
【解析】由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
由题意得Δ＝0，
∴（b﹣1）2﹣4a＝0，
∴4a＝（b﹣1）2，即a＝，
∴方程ax2+（b﹣1）x+1＝0可以化为，
即（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0，
∴x1＝x2＝，
∴C（，），
∵点C在第一象限，
∴1﹣b＞0，
∵2≤[C]≤4，
∴2≤≤4，
∴1≤≤2，
解得：﹣1≤b≤0，
∵t＝2b2﹣4a+2020，
∴t＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵﹣1≤b≤0，
∴t随b的增大而增大，
∵b＝﹣1时，t＝2018，
t＝0时，t＝2019，
∴2018≤t≤2019．
故选：B．
11.（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．如果AD=5cm，AP=8cm，则△ABP的面积等于（　　）cm2．

【答案】A
【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴，
在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°，
∴AP⊥PB，
∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP=∠PAB=∠DPA．
∴△ADP是等腰三角形．
∴AD=DP=5cm，
同理可得CP=BC=5cm，
∴CD=AB=10cm，
∴，
∴，
故选：A．
12.（3分）无论n为何值，直线y=-2x+n与y=x-3的交点不可能在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】：∵一次函数y=x-3中，k=1＞0，b=-3＜0，
∴图象过一、三、四象限，图象不过第二象限，
∴直线y=-2x+n与y=x-3的交点不可能在第二象限．
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）若分式的值为0．则x的值是________．
【答案】5．
【解析】∵分式的值为0，
∴x2﹣25＝0且x+5≠0，
解得：x＝5．
14．（4分）直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，4），则方程组的解是 ________．
【答案】．
【解析】∵y＝x+2经过P（m，4），
∴4＝m+2，
∴m＝2，
∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，4），
∴方程组的解是．
15．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是________．
【答案】．
【解析】∵从布袋里任意摸出1个球有7种等可能结果，其中是红球的有2种结果，
∴是红球的概率是，
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝．将矩形ABCD绕点C逆时针旋转至矩形A′B′CD′的位置，此时边AD恰好经过点B，其中点A的运动路径是弧AA′，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】﹣+．
【解析】过点A′作A′H⊥CB交CB的延长线于H．

在Rt△CBD′中，∵∠D′＝90°，BC＝，CD′＝CD＝AB＝1，
∴BD′＝＝＝1，
∴CD′＝BD′＝1，
∴∠D′CB＝∠D′BC＝45°，
∴BA′＝A′D′﹣BD′＝﹣1，
∵∠A′HB＝90°，∠A′BH＝∠CBD′＝45°，
∴A′H＝A′B•sin45°＝1﹣，
∵∠ACA′＝∠D′CB＝45°，AC＝＝＝，
∴S阴＝S扇形ACA′﹣S△ACB﹣S△A′BC＝﹣×1×﹣××（1﹣）＝﹣+
三．解答题（共9小题，满分98分）
17．（12分）随着智能手机的普及，微信抢红包已成为春节期间人们最喜欢的活动之一，某校七年级（1）班班长对全班50名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．
请根据以上信息回答：
（1）该班同学所抢红包金额的众数是________，中位数是________；
（2）该班同学所抢红包的平均金额是多少元？
（3）若该校共有18个班级，平均每班50人，请你估计该校学生春节期间所抢的红包总金额为多少元？

【答案】见解析
【解析】（1）抢红包30元的人数为20人，最多，则众数为30，
中间两个数分别为30和30，则中位数是30．
故答案为30，30；
（2）该班同学所抢红包的平均金额是（6×10+13×20+20×30+8×50+3×100）÷50＝32.4（元）；
（3）18×50×32.4＝29160（元）．
答：估计该校学生春节期间所抢的红包总金额为29160元．
18．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD，延长CE、BA交于点F，连接AC、DF

（1）如图1，求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）如图2，连接BE，若CF＝4，tan∠FBE＝，求AE的长．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCF＝∠BFC，
又∵CE平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠FCD，
∴∠BFC＝∠BCF，
∴BF＝BC＝AD，
∵AD＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴AB＝AF＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BF＝BC，
同理：DE＝DC，
∵AD＝2AB＝2CD，
∴AE＝DE，
∵四边形ACDF是平行四边形
∴EF＝CE＝CF＝2，AE＝AD，
又∵BF＝BC，
∴BE⊥CF，∴CE＝FE＝CF＝2，
∵tan∠FBE＝＝，
∴EF＝BE，BE＝CF＝4，
∴BF＝＝10，
∴AE＝AD＝BF＝5．
19．（10分）有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从A盒里抽取一张卡片、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是________；
（2）从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率．
【答案】见解析
【解析】（1）从A盒里抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为奇数的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图得：

共有6种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，
∴两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为＝．
20．（10分）某学校为了满足疫情防控需求，决定购进A、B两种型号的口罩若干盒，若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元，若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元．
（1）求A、B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，并要求购进A型口罩的盒数不超过B型口罩盒数的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，
依题意，得：m≤4（200﹣m），
解得：m≤160．
设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．
∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤160，且m为整数，
∴当m＝160时，w取得最小值，此时200﹣m＝40．
∴最省钱的购买方案为：购进160盒A型口罩，40盒B型口罩．
21．（10分）如图，线段AB表示一信号塔，DE表示一斜坡，DC⊥CE．且点B，C，E三点在同一水平线上，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡DE的坡比为1：，DE＝42米．某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°，站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°（人的身高忽略不计），求信号塔的高度AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

【答案】见解析
【解析】过点D作DF⊥AB于点F，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：，DE＝42米，
∴设DC＝xm，则CE＝xm．
在Rt△CDE中，
∵DC2+CE2＝DE2，即x2+（x）2＝422，解得x＝21，
∴DC＝21米，
∵∠B＝∠DFB＝∠DCB＝90°，
∴四边形DFBC是矩形，DF＝BC，
∴DC＝BF＝21米，
设AF＝ym，
在Rt△ADF中，
∵∠ADF＝37°，
∴AF＝DF•tan37°≈DF，
∴DF＝ym，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝48°，
∴AB＝BC•tan48°≈DF，
∴AF+BF＝DF，
∴y+21＝y，
解得y＝45，
∴AF＝45米，
∴AB＝AF+BF＝45+21＝66（米）．
答：信号塔的高度AB约为66米．
22．（10分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝________，k＝________；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．

【答案】见解析
【解析】（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣，
故答案为：﹣4；﹣；
（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，

∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴，即，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
∴C（0，2）；
另一解法：∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
∴，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴，
∴）；
（3）如图2，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴，
∴P1（﹣2，0），P2（2，0），
∵OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴四边形AP1BP2为矩形，
∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣2或m＞2．

另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝90°，
则，
∴，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣2或m＞2．
23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．

【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．

24．（12分）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2．
（1）若a＝1，x1＝1，x2＝4，求二次函数顶点坐标；
（2）若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），求m+n的值；
（3）在（1）的条件下，将抛物线向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增加而减小的部分为P，若P和直线y＝x﹣n有交点，求n2﹣5n的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意得，抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣5x+4＝（x﹣）2﹣，
故抛物线的顶点坐标为（，﹣）；
（2）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝2，
则x＝3在对称轴的右侧，而x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），
故x2在3和4之间，即m、n分别为3、4，
故m+n＝3+4＝7；

（3）将抛物线向左平移n（n＞0）个单位，此时函数的对称轴为直线x＝﹣n，
∵当P和直线y＝x﹣n有交点时，
则当x≤﹣n时，直线在P的上方，
当x＝﹣n时，P的y值为﹣，
当x＝﹣n时，y＝x﹣n＝﹣2n，
即﹣2n≥﹣，
解得n≤，
故0＜n≤，
设y＝n2﹣5n，
∵1＞0，故y有最小值，
而0＜n≤，
当n＝时，
n2﹣5n的最小值为﹣．
25．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．
【答案】见解析
【解析】（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；
（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）解：连接CG、BE，如图3所示：
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．