


广西来宾市忻城县重点名校2022年中考试题猜想数学试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.关于x的方程3x+2a=x﹣5的解是负数,则a的取值范围是( )
A.a< B.a> C.a<﹣ D.a>﹣
2.我市连续7天的最高气温为:28°,27°,30°,33°,30°,30°,32°,这组数据的平均数和众数分别是( )
A.28°,30° B.30°,28° C.31°,30° D.30°,30°
3.下列运算正确的是( )
A.﹣(a﹣1)=﹣a﹣1 B.(2a3)2=4a6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.a3+a2=2a5
4.的值是
A.±3 B.3 C.9 D.81
5.下列实数中,为无理数的是( )
A. B. C.﹣5 D.0.3156
6.下列命题中错误的有( )个
(1)等腰三角形的两个底角相等
(2)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
(3)对角线相等的四边形为矩形
(4)圆的切线垂直于半径
(5)平分弦的直径垂直于弦
A.1 B.2 C.3 D.4
7.计算的结果是( )
A. B. C. D.1
8.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,以AD为直径的⊙O交CD于点E,则的长为( )
A. B. C. D.
9.某射击运动员练习射击,5次成绩分别是:8、9、7、8、x(单位:环).下列说法中正确的是( )
A.若这5次成绩的中位数为8,则x=8
B.若这5次成绩的众数是8,则x=8
C.若这5次成绩的方差为8,则x=8
D.若这5次成绩的平均成绩是8,则x=8
10.已知二次函数y=﹣(x﹣h)2+1(为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最大值为﹣5,则h的值为( )
A.3﹣或1+ B.3﹣或3+
C.3+或1﹣ D.1﹣或1+
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价几何?”意思是:现在有几个人共同出钱去买件物品,如果每人出8钱,则剩余3钱;如果每人出7钱,则差4钱.问有多少人,物品的价格是多少?设有人,则可列方程为__________.
12.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,且DE∥BC,已知AD=2,DB=4,DE=1,则BC=_____.
13.因式分解a3-6a2+9a=_____.
14.分解因式:=______.
15.在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=3(x+2)2-1平移后得到抛物线y=3x2+2 .请你写出一种平移方法. 答:________.
16.如图,若点 的坐标为 ,则 =________.
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(2m+1)=0有实数根.求m的取值范围;如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范围.
18.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB点F,连接BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:PC=PF;
(3)若tan∠ABC=,AB=14,求线段PC的长.
19.(8分)抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0,3)点.
(1)求出m的值并画出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
20.(8分)某电器超市销售每台进价分别为200元,170元的A,B两种型号的电风扇,表中是近两周的销售情况:
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,则A种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
21.(8分)今年,我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动,坚决把“洋垃圾”拒于国门之外.如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60°方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30°方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为75海里.
(1)求B点到直线CA的距离;
(2)执法船从A到D航行了多少海里?(结果保留根号)
22.(10分)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半,A、B、C的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.(要求:不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)
23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想△EDB的形状并加以证明;
(3)点M在对称轴右侧的抛物线上,点N在x轴上,请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
24.计算: .
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、D
【解析】
先解方程求出x,再根据解是负数得到关于a的不等式,解不等式即可得.
【详解】
解方程3x+2a=x﹣5得
x=,
因为方程的解为负数,
所以<0,
解得:a>﹣.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解,以及一元一次不等式的解法,解一元一次不等式时,要注意的是:若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时,不等号方向要改变.
2、D
【解析】
试题分析:数据28°,27°,30°,33°,30°,30°,32°的平均数是(28+27+30+33+30+30+32)÷7=30,
30出现了3次,出现的次数最多,则众数是30;
故选D.
考点:众数;算术平均数.
3、B
【解析】
根据去括号法则,积的乘方的性质,完全平方公式,合并同类项法则,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【详解】
解:A、因为﹣(a﹣1)=﹣a+1,故本选项错误;
B、(﹣2a3)2=4a6,正确;
C、因为(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项错误;
D、因为a3与a2不是同类项,而且是加法,不能运算,故本选项错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了合并同类项,积的乘方,完全平方公式,理清指数的变化是解题的关键.
4、C
【解析】
试题解析:∵
∴的值是3
故选C.
5、B
【解析】
根据无理数的定义解答即可.
【详解】
选项A、是分数,是有理数;
选项B、是无理数;
选项C、﹣5为有理数;
选项D、0.3156是有理数;
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的判定,熟知无理数是无限不循环小数是解决问题的关键.
6、D
【解析】分析:根据等腰三角形的性质、正方形的判定定理、矩形的判定定理、切线的性质、垂径定理判断即可.
详解:等腰三角形的两个底角相等,(1)正确;
对角线相等、互相平分且互相垂直的四边形是正方形,(2)错误;
对角线相等的平行四边形为矩形,(3)错误;
圆的切线垂直于过切点的半径,(4)错误;
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,(5)错误.
故选D.
点睛:本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
7、D
【解析】
根据同分母分式的加法法则计算可得结论.
【详解】
===1.
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的加减法,解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.
8、B
【解析】
连接OE,由菱形的性质得出∠D=∠B=60°,AD=AB=4,得出OA=OD=2,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=60°,再由弧长公式即可得出答案.
【详解】
解:连接OE,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠D=∠B=60°,AD=AB=4,
∴OA=OD=2,
∵OD=OE,
∴∠OED=∠D=60°,
∴∠DOE=180°﹣2×60°=60°,
∴ 的长==;
故选B.
【点睛】
本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握菱形的性质,求出∠DOE的度数是解决问题的关键.
9、D
【解析】
根据中位数的定义判断A;根据众数的定义判断B;根据方差的定义判断C;根据平均数的定义判断D.
【详解】
A、若这5次成绩的中位数为8,则x为任意实数,故本选项错误;
B、若这5次成绩的众数是8,则x为不是7与9的任意实数,故本选项错误;
C、如果x=8,则平均数为(8+9+7+8+8)=8,方差为 [3×(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=0.4,故本选项错误;
D、若这5次成绩的平均成绩是8,则(8+9+7+8+x)=8,解得x=8,故本选项正确;
故选D.
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数和方差:一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.
10、C
【解析】
∵当x<h时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小,
∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最大值-5,
可得:-(1-h)2+1=-5,
解得:h=1-或h=1+(舍);
②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最大值-5,
可得:-(3-h)2+1=-5,
解得:h=3+或h=3-(舍).
综上,h的值为1-或3+,
故选C.
点睛:本题主要考查二次函数的性质和最值,根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、
【解析】
根据每人出8钱,则剩余3钱;如果每人出7钱,则差4钱,可以列出相应的方程,本题得以解决
【详解】
解:由题意可设有人,
列出方程:
故答案为
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.
12、1
【解析】
先由DE∥BC,可证得△ADE∽△ABC,进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长.
【详解】
解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴DE:BC=AD:AB,
∵AD=2,DB=4,
∴AB=AD+BD=6,
∴1:BC=2:6,
∴BC=1,
故答案为:1.
【点睛】
考查了相似三角形的性质和判定,关键是求出相似后得出比例式,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.
13、a(a-3)2
【解析】
根据因式分解的方法与步骤,先提取公因式,再根据完全平方公式分解即可.
【详解】
解:
故答案为:.
【点睛】
本题考查因式分解的方法与步骤,熟练掌握方法与步骤是解答关键.
14、x(x+2)(x﹣2).
【解析】
试题分析:==x(x+2)(x﹣2).故答案为x(x+2)(x﹣2).
考点:提公因式法与公式法的综合运用;因式分解.
15、答案不唯一
【解析】
分析:把y改写成顶点式,进而解答即可.
详解:y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.
故答案为y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.
点睛:本题考查了二次函数图象与几何变换:先把二次函数的解析式配成顶点式为
y=a(x-)²+,然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.
16、
【解析】
根据勾股定理,可得OA的长,根据正弦是对边比斜边,可得答案.
【详解】
如图,由勾股定理,得:OA==1.sin∠1=,故答案为.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)m≤1;(2)3≤m≤1.
【解析】
试题分析:(1)根据判别式的意义得到△=(-6)2-1(2m+1)≥0,然后解不等式即可;
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=6,x1x2=2m+1,再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2(2m+1)+6≥20,然后解不等式和利用(1)中的结论可确定满足条件的m的取值范围.
试题解析:
(1)根据题意得△=(-6)2-1(2m+1)≥0,
解得m≤1;
(2)根据题意得x1+x2=6,x1x2=2m+1,
而2x1x2+x1+x2≥20,所以2(2m+1)+6≥20, 解得m≥3,
而m≤1,所以m的范围为3≤m≤1.
18、(1)(2)证明见解析;(3)1.
【解析】
(1)由PD切⊙O于点C,AD与过点C的切线垂直,易证得OC∥AD,继而证得AC平分∠DAB;
(2)由条件可得∠CAO=∠PCB,结合条件可得∠PCF=∠PFC,即可证得PC=PF;
(3)易证△PAC∽△PCB,由相似三角形的性质可得到 ,又因为tan∠ABC= ,所以可得=,进而可得到=,设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2,进而可建立关于k的方程,解方程求出k的值即可求出PC的长.
【详解】
(1)证明:∵PD切⊙O于点C,
∴OC⊥PD,
又∵AD⊥PD,
∴OC∥AD,
∴∠ACO=∠DAC.
∵OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠DAB;
(2)证明:∵AD⊥PD,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠PCB.
又∵∠DAC=∠CAO,
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠BCF,
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,
∴∠PFC=∠PCF,
∴PC=PF;
(3)解:∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,
∴.
又∵tan∠ABC=,
∴,
∴,
设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,
∵PC2+OC2=OP2,
∴(4k)2+72=(3k+7)2,
∴k=6 (k=0不合题意,舍去).
∴PC=4k=4×6=1.
【点睛】
此题考查了和圆有关的综合性题目,用到的知识点有:切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.
19、(1);(2),;(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)由抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0,1)得:m=1.
∴抛物线为y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2.
列表得:
X
﹣1
0
1
2
1
y
0
1
2
1
0
图象如下.
(2)由﹣x2+2x+1=0,得:x1=﹣1,x2=1.
∴抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(1,0).
∵y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2
∴抛物线顶点坐标为(1,2).
(1)由图象可知:
当﹣1<x<1时,抛物线在x轴上方.
(2)由图象可知:
当x>1时,y的值随x值的增大而减小
考点: 二次函数的运用
20、 (1) A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台;(2) A种型号的电风扇最多能采购10台;(3) 在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.
【解析】
(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元,4台A型号10台B型号的电扇收入3100元,列方程组求解;
(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30-a)台,根据金额不多余5400元,列不等式求解;
(3)设利润为1400元,列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件,可知不能实现目标.
【详解】
(1)设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台.
依题意,得解得
答:A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台.
(2)设采购A种型号的电风扇a台,则采购B种型号的电风扇(30-a)台.
依题意,得200a+170(30-a)≤5400,
解得a≤10.
答:A种型号的电风扇最多能采购10台.
(3)依题意,有(250-200)a+(210-170)(30-a)=1400,
解得a=20.
∵a≤10,
∴在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.
21、(1)B点到直线CA的距离是75海里;(2)执法船从A到D航行了(75﹣25)海里.
【解析】
(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H,根据三角函数可求BH的长;
(2)根据勾股定理可求DH,在Rt△ABH中,根据三角函数可求AH,进一步得到AD的长.
【详解】
解:(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H,
∵∠MBC=60°,
∴∠CBA=30°,
∵∠NAD=30°,
∴∠BAC=120°,
∴∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°,
∴BH=BC×sin∠BCA=150×=75(海里).
答:B点到直线CA的距离是75海里;
(2)∵BD=75海里,BH=75海里,
∴DH==75(海里),
∵∠BAH=180°﹣∠BAC=60°,
在Rt△ABH中,tan∠BAH==,
∴AH=25,
∴AD=DH﹣AH=(75﹣25)(海里).
答:执法船从A到D航行了(75﹣25)海里.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用,解直角三角形的应用-方向角问题.能合理构造直角三角形,并利用方向角求得三角形内角的大小是解决此题的关键.
22、解:作AB的垂直平分线,以点C为圆心,以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可.
【解析】
易得M在AB的垂直平分线上,且到C的距离等于AB的一半.
23、(1)y=﹣x2+3x;(2)△EDB为等腰直角三角形;证明见解析;(3)(,2)或(,﹣2).
【解析】
(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长,再利用勾股定理的逆定理可进行判断;
(3)由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式,则可求得F点的坐标,当AF为边时,则有FM∥AN且FM=AN,则可求得M点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得M点坐标;当AF为对角线时,由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心,可设出M点坐标,则可表示出N点坐标,再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程,可求得M点坐标.
【详解】
解:(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
∵抛物线经过O、A两点,
∴抛物线顶点坐标为(2,3),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
把A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3,即y=﹣x2+3x;
(2)△EDB为等腰直角三角形.
证明:
由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),
∴DE2=32+12=10,BD2=(4﹣3)2+32=10,BE2=42+(3﹣1)2=20,
∴DE2+BD2=BE2,且DE=BD,
∴△EDB为等腰直角三角形;
(3)存在.理由如下:
设直线BE解析式为y=kx+b,
把B、E坐标代入可得,解得,
∴直线BE解析式为y=x+1,
当x=2时,y=2,
∴F(2,2),
①当AF为平行四边形的一边时,则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等,即M到x轴的距离为2,
∴点M的纵坐标为2或﹣2,
在y=﹣x2+3x中,令y=2可得2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,2);
在y=﹣x2+3x中,令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,﹣2);
②当AF为平行四边形的对角线时,
∵A(4,0),F(2,2),
∴线段AF的中点为(3,1),即平行四边形的对称中心为(3,1),
设M(t,﹣t2+3t),N(x,0),
则﹣t2+3t=2,解得t=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∵t>2,
∴t=,
∴M点坐标为(,2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(,2)或(,﹣2).
【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键,注意抛物线顶点式的应用,在(2)中求得△EDB各边的长度是解题的关键,在(3)中确定出M点的纵坐标是解题的关键,注意分类讨论.本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.
24、
【解析】
根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质及乘方的定义分别计算后,再合并即可
【详解】
原式
.
【点睛】
此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
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