2022年上海市徐汇区中考数学二模试卷（含解析）

2022年上海市徐汇区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共6小题，共24分）

1. 下列实数中，有理数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算中结果正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线交于点，联结若，则的大小为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，▱的对角线和交于点，下列选项中错误的是

A.
B.
C.
D.

5. 在知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，相应等级的得分依次记为分，分，分，分．将九年级二班参赛选手的成绩整理并绘制成如下的统计图，九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是

A. 和
B. 和
C. 和
D. 和

6. 已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”已知两圆“外相交”，且半径分别为和，则圆心距的取值可以是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共12小题，共48分）

7. 因式分解：______．
8. 方程的解是______．
9. 年月日全国第七次人口普查，通报全国人口共人，将用科学记数法表示为______．
10. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是______．
11. 一个不透明的袋中只装有个黑球和个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个，颜色是一黑一白的概率是______．
12. 将函数的图象向下平移个单位后，经过点，那么的值随的增大而______填“增大”或“减小”
13. 已知正多边形的内角是外角大小的倍，这个正多边形的边数是______．
14. 九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文是：今有人合伙购物，每人出钱会多钱；每人出钱又会差钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，列出的方程为______无需化简
15. 如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点处后进球，已知小明与篮板底的距离米，眼睛与地面的距离米，视线与水平线的夹角为，已知的值为，则点到地面的距离的长为______米．

16. 如图，在▱中，，，以为直径的交于点，则劣弧的长为______结算结果保留
    
    
     

17. 如图，已知点和点，点在函数的图象上，点是的延长线上一点，过点的直线交轴正半轴于点、交双曲线于点如果，那么线段长度的取值范围是______．
     

18. 如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点、、、分别在白色直角三角形的斜边上，已知，，，若点、、在同一直线上，则的长为______．

三．计算题（本题共1小题，共10分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共6小题，共68分）

20. 解不等式组，并把它的解集在数轴如图上表示出来．
    
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，中，，，的平分线与边交于点，且与外角的平分线交于点．
    求的值；
    求的长．

22. 某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：

根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定与的函数关系式，并说明选择的理由．
试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批千克海产品很块销售一空，对于第二批次千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加千克定量销售，结果还是比第一批次提前天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？






 

23. 如图，四边形中，，，于点，点为上一点，且．
    求证：；
    设交于点，若，判断四边形的形状，并证明．

24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点点在点的左侧，与轴交于点，且．
    求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；
    点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点点在点的左侧，点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；
    若射线与射线相交于点，求的大小．

25. 如图，已知线段，以为直径作半圆，过圆心作的垂线交半圆于点，是上的点，连结并延长交于点，连结交于点．
    我们知道，证明方法如下：
    联结，，，，．
    在中，，
    ，即
    请再用一种其他方法证明．
    如图，以，为邻边作▱，当与相切时，求的长；
    已知点为上的点，且当与相似时，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在实数，，，中，有理数是．
故选：．
根据整数和分数统称为有理数，判断即可．
本题考查了实数，熟练掌握整数和分数统称为有理数，是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故原结果错误，不符合题意；
B、，故原结果错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，故原结果错误，不符合题意；
故答案为：．
直接根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方的运算法则逐项判断即可．
本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，
两把直尺为完全相同的长方形，
，
，，
平分，
平分，
，
，
，
．
故选：．
过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，根据题意得到，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，所以，然后根据平行线的性质求解．
本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了平行线的性质．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、在▱中，，且，则，不符合题意；
B、在▱中，，则，符合题意；
C、在▱中，，则，不符合题意；
D、在▱中，，则，不符合题意；
故选：．
利用平行四边形的性质和三角形法则进行判断．
本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，注意：平面向量既有大小又有方向．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是和．
故选：．
利用扇形统计图、众数、中位数的定义即可求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数和统计图．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、相交，
，即，
两圆“外相交”，
且，
两圆的圆心距的取值范围为．
两圆“外相交”时的圆心距的取值范围是．
故选C．
先利用两圆相交的判定方法得到，再根据“外相交”的定义得到且，然后根据写出满足所有不等式的公共部分即可．
本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为，两圆半径分别为、，当两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
先将所给多项式变形为，然后套用公式，再进一步分解因式．
主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：将方程两边平方得，
移项得：，
代入原方程得，原方程成立，
故方程的解是．
故答案为：．
将方程两边平方即可求解．
本题考查无理方程求解，属于基础题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查根的判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
利用根的判别式可得到关于的方程，则可求得的值．
【解答】
解：方程有两个相等的实数根，
，即，
解得，
故答案为．  

11.【答案】
 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一黑一白的有种情况，
颜色是一黑一白的概率为．
故答案为：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】增大
 

【解析】解：函数的图象向下平移个单位后得：，
把代入得，，
解得，
的值随的增大而增大；
故答案为：增大．
根据平移的规律得，把代入得，的值随的增大而增大．
本题考查了一次函数图象与几何变换、正比例函数的性质，掌握平移的规律，根据一次函数的性质确定函数值的变化是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设这个正多边的外角为，由题意得：
，
解得：，
．
故答案为：．
设这个正多边的外角为，则内角为，根据内角和外角互补可得，解可得的值，再利用外角和外角度数可得边数．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
 

14.【答案】
 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
根据“每人出钱会多钱；每人出钱又会差钱”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
米，米，
在中，，
米，
米，
点到地面的距离的长为米，
故答案为：．
根据题意可得米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
连接，
，，
劣弧的长为：，
故答案为：．
根据平行四边形的性质，可以得到的度数和的长，然后即可得到的度数，然后即可计算出劣弧的长．
本题考查弧长的计算、平行四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确弧长计算公式．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，，
轴．
点在双曲线上，
，
．
过点作于点，如图，

则．
，
．
，
，
点的纵坐标为，
点在双曲线上，
，
．
当轴时，此时最小，；
当点与点重合时，此时最大，
，
点，
，
点在轴正半轴，
，
故答案为：．
由题意可得轴，利用待定系数法确定出反比例函数的解析式，过点作于点，则得，利用梯形的中位线定理可得，则点纵坐标可得，利用反比例函数解析式可求点坐标；分两种情况得到线段的极值：当轴时，最小；当点与点重合时最大，利用点坐标即可求得两种情况下的的值，结合已知条件即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：建立平面直角坐标系如图：

，，，≌，
，，
点、、、，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设直线析式为，
，解得，
直线析式为，
联立，解得，
，
．
故答案为：．
建立平面直角坐标系，得出点、、、的坐标，利用待定系数法分别求出直线，直线的解析式，联立解方程组可得点的坐标，即可求解．
本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数的解析式，建立平面直角坐标系是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．
 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：，，的平分线与边交于点，
，，．
在中，
．
．
过点作，垂足为．
平分，，，
．
在中，
，
在中，
，
．
．
．
 

【解析】利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出，再求出的正弦；
过点作，在直角三角形中先求出的正弦，再利用角平分线的性质说明与、与的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．
本题主要考查了解直角三角形及角平分线的性质，掌握“等腰三角形的三线合一”、“角平分线上的点到角两边的距离相等”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键，
 

22.【答案】解：根据表中数据的变化规律可知：时间每增加天，销售量就增加千克，
选择一次函数模型来确定与的函数关系式．
故设函数的表达式为：，
将、代入上式得：，
解得：，
故函数的表达式为：．
设公司对第一批次每天的销售定量是千克，则公司对第二批次每天的销售定量是千克，根据题意，
得，
整理，得，
，
解方程，得，
，，
经检验，、都是分式方程的解，但负值不合题意，应舍去，
．
即公司对第一批次每天的销售定量是千克．
 

【解析】表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：，将、代入上式，即可求解；
写出两批销售天数的表达式，再利用第二批比第一批次提前天售完，列等式即可．
】主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，，
≌，
；
解：四边形是正方形，理由如下：
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∽，
，
≌，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
 

【解析】利用证明≌，得；
首先证明∽，得，再利用三个角是直角的四边形是矩形可知四边形是矩形，再由，即可证明结论．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定等知识，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】解：二次函数的图象与轴交于和点点在点的左侧，
设点，的横坐标分别为，，则，是的两个根，
，．
，
，即，
，
解得，
，
点的坐标为．
由题意可知，且和相互平分，则四边形是菱形，若四边形是正方形，则只需要满足，
设点的横坐标为，
，，
，
，
，，
，解得舍或，
．
如图，连接，
由知，
令，则，
；
令，则或，
，，
，
．
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
令，解得；
，
，，，
：：，
，
∽，
．

 

【解析】令，设点，的横坐标分别为，，利用根与系数的关系可表达和，利用，建立方程可求出，再化为顶点式可得出点的坐标；
由题意可知，且和相互平分，则四边形是菱形，若四边形是正方形，则只需要满足，设点的横坐标为，分别表达和，建立方程即可求出的值；
分别求出直线和的直线，联立可求出点的坐标，利用两点间的距离公式可分别求出，和的长，可得：：，则∽，由此可得出．
本题属于二次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，得出∽是解题关键．
 

25.【答案】证明：所对的圆心角是，圆周角是，
，
同理，
，
；

解：设与相切于，连接交于，如图：

设，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
与相切于，
，
四边形是矩形，，
，
，
，，
是的中位线，
，
，
，，
∽，
，即，
解得或，
当时，，
不符合题意，舍去，
，即；

解：如图中，当∽时，

∽，
，
，，
，
，
，
，
，
：：，
，
．

如图中，当∽时，

，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
综上所述，的值为或．
 

【解析】利用圆周角定理证明即可；
设与相切于，连接交于，设，证明∽，推出，由此构建方程，可得结论；
分两种情形：如图中，当∽时，如图中，当∽时，分别求解即可．
本题属于圆综合题，考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．