2022年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各运算中，正确的运算是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“海”字所在的面相对的面上标的字是

A. 教
B. 育
C. 腾
D. 飞

4. 以下问题，不适合普查的是

A. 了解一批灯泡的使用寿命
B. 学校招聘教师，对应聘人员的面试
C. 了解全班学生每周体育锻炼时间
D. 进入地铁站对旅客携带的包进行的安检

5. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移个单位，得到点，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

7. 如图，、是上的两个点，是直径，若，则等于

A.
B.
C.
D.

8. 下列说法不正确的是

A. 是二次根式
B. 当时，
C. 是最简二次根式
D. 成立的条件是

9. 某斜坡的坡度：，则该斜坡的坡角为

A.  B.  C.  D.

10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

11. 某公司有名工作人员，他们的月工资情况如表，根据表中信息，该公司工作人员的月工资的众数是______．

12. 如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，的三个顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转后得到，其中、、的对应点分别为，，，则点在旋转过程中所经过的路线的长是______结果保留
13. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为          ．
    
     

14. 菱形的周长为，它的一个内角为，则菱形的较短的对角线长为______．
15. 观察下列顺序排列的等式：
    
    
    
    
    
    根据以上的规律直接写出结果：______．

三、计算题（本大题共1小题，共7分）

16. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共9小题，共83分）

17. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式”．
    下列分式中，属于“和谐分式”的是______填序号；
    ；；；
    将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
    ______要写出变形过程；
    应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点．
    求证：；
    连接，若，求证：≌．
     

19. 当取何值时，方程组的解，都是负数．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动．如果、两点同时出发，经过几秒后的面积等于？
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在中，，点在边上，，，
    求和的长；
    求的值．
     

22. 为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成图的条形统计图和图的扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
    求参加比赛的学生共有多少名？并补全图的条形统计图．
    在图扇形统计图中，的值为______，表示“等级”的扇形的圆心角为______度；
    组委会决定从本次比赛获得等级的学生中，选出名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知等级学生中男生有名，请用列表法或画树状图法求出所选名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

23. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
    求直线的解析式；
    观察图象，当时，直接写出的解集；
    若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标．

24. 如图，已知是的直径，是的弦，过点作交于点，交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接．
    判断与的位置关系，并说明理由；
    求证：；
    如图，当，时，求的长．

25. 如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
    求抛物线的解析式；
    当点在线段上运动时，求线段的最大值；
    是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故此选项计算错误；
B、，故此选项计算错误；
C、，故此选项计算错误；
D、，故此选项计算正确；
故选：．
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘以及因式分解法计算可得答案．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和利用因式分解进行计算，关键是掌握各计算法则．
 

3.【答案】
 

【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
原正方体中与“海”字所在的面相对的面上标的字是“育”．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、了解一批灯泡的使用寿命，数目较多，具有破坏性，故适合抽查，不适合普查，故此选项正确；
B、学校招聘教师，对应聘人员的面试，涉及到招聘，必须全面调查，故此选项错误；
C、了解全班学生每周体育锻炼时间，人数不多，容易调查，因而适合普查，故此选项错误；
D、进入地铁站对旅客携带的包进行的安检，涉及到安全，必须全面调查，故此选项错误．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

5.【答案】
 

【解析】解：点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，
，
将点向下平移个单位，得到点，
点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出点坐标，再利用平移的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】分析
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
详解
解：正八边形的一个内角，
剩下未铺满的度数为：，
正方形的每个内角是，
另一种是正方形．
故选B．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据圆周角定理求出即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
，
，
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】解：、是二次根式，故A正确；
B、被开方数不能小于零，故B错误；
C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；
D、成立的条件是，故D正确；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

9.【答案】
 

【解析】解：：，
坡角．
故选：．
坡度坡角的正切值，据此直接解答．
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握，关键是坡度坡角的正切值解答．．
 

10.【答案】
 

【解析】解：若，，则经过一、二、三象限，开口向上，顶点在轴左侧，故B、C错误；
若，，则经过二、三、四象限，开口向下，顶点在轴左侧，故D错误；
若，，则经过一、三、四象限，开口向下，顶点在轴右侧，故A正确；
故选：．
根据、的正负不同，则函数与的图象所在的象限也不同，针对、进行分类讨论，从而可以选出正确选项．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数图象和二次函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答．
 

11.【答案】万元
 

【解析】解：由表可知万元出现次数最多，有次，
所以该公司工作人员的月工资的众数是万元，
故答案为：万元．
众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图所示，即为所求．

，，
点在旋转过程中所经过的路线的长是，
故答案为：
根据旋转的定义作出旋转变换后的图形，再根据弧长公式计算可得．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义及其性质、弧长公式．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，根据矩形的性质可得出，进而可得出，结合对顶角相等可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，即，利用勾股定理可求出的长度，即可求出的长．
【解答】
解：如图，

四边形为矩形，
，，，
，
又，
∽，
，
是边的中点，，
，
，
，
，
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长菱形的边长，
故答案为：．
根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．
此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定及性质．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据题意，观察可得：



分析可得：，
故．
根据题意，观察题中所给的式子，分析可得：，进而可得答案．
处理此类问题，要仔细观察、认真分析，发现规律，最后要注意验证所找出的规律．
 

16.【答案】解：原式

．
 

【解析】根据实数的运算法则以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】；
 ； 
原式



，
当或时，分式的值为整数，
此时或或或，
又分式有意义时、、、，
．
 

【解析】

解：，是和谐分式；
，不是和谐分式；
，是和谐分式；
，是和谐分式；
故答案为：．

，
故答案为：．

见答案．
【分析】
由“和谐分式”的定义对变形即可得；
由原式可得；
将原式变形为，据此得出或，即或或或，又、、、，据此可得答案．
本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解．  

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
；
证明：，，
．
，
，，
在和中，
，
≌，
 

【解析】由平行四边形的性质和角平分线得出，即可得出；
先证明，由证明≌；
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解，
由，得
把代入，得

把代入，得

、都是负数，
所以
解，得，
解，得

即当时，方程组的解都是负数．
 

【解析】解方程组，用含的代数式表示出、因为方程组的解为负数，得到关于的一元一次不等式组，求解不等式组即可．
本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法．二元一次方程组的解法有：代入消元法和加减消元法．
 

20.【答案】解：如图，
过点作于，则．
，．
．
设经过秒后的面积等于，
则，，．
根据题意，．
．
，．
当时，，，不合题意舍去，取．
当点到达点时，


答：经过秒或秒后的面积等于．
 

【解析】作出辅助线，过点作于，即可得出的面积为，有、点的移动速度，设时间为秒时，可以得出、关于的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
 

21.【答案】解：如图，在中，

，
设、，
，
，
，
，即，
解得：，
则、，
；
作于点，
由可设，则，
，且，
，
解得：负值舍去，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的能力．
由设、，据此得，根据得，即，解之得出的值，继而可得答案；
作，设、，根据可求得的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．
 

22.【答案】根据题意得：人，
参赛学生共人，
则等级人数为人．
补全条形图如下：

   
列表如下：

所有等可能的结果有种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有种，
则恰好是一名男生和一名女生．
 

【解析】

【分析】
此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，由各等级人数之和等于总人数求出等级人数可补全条形图；
根据等级的人数求得等级扇形圆心角的度数，由等级人数及总人数可求得的值；
列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】
解：见答案；
等级的百分比为，即，
表示“等级”的扇形的圆心角为，
故答案为，．
见答案．  

23.【答案】解：点和点在图象上，
，，
即，
把，两点代入中得
解得：，
所以直线的解析式为：；

由图象可得，当时，的解集为．

由得直线的解析式为，
当时，，
，
，
当时，，
点坐标为
，

，

设点坐标为，由题可以，点在点左侧，则
由可得
当∽时，，
，解得，
故点坐标为
当∽时，，
，解得，
即点的坐标为
因此，点的坐标为或时，与相似．
 

【解析】将点，坐标代入双曲线中即可求出，，最后将点，坐标代入直线解析式中即可得出结论；
根据点，坐标和图象即可得出结论；
先求出点，坐标，进而求出，，设出点坐标，最后分两种情况利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
 

24.【答案】解：与相切，理由如下：
如图，连接，

是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
是圆的半径，
与相切；

证明：，，
，
又，
∽，
，
即，
，
；

由知，
，
，
又，
，
，
，
又，
为等腰直角三角形，
，，
，即，
解得，
，
．
 

【解析】本题是圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
连接，由是直径知是直角三角形，结合为中点知，再由知，根据可得，即，据此即可得证；
证∽得，结合即可得；
证为等腰直角三角形得，由得，求出的长度，再由，结合可得答案．
 

25.【答案】解：将、代入中，
，解得：，
抛物线的解析式为．

当时，，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入中，
，解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，
当，线段取最大值，最大值为．

，
当时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
点、，
，
，
当或时，有，
解得：，；
当时，有，
，
此时方程无解．
综上所述：存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时的值为或．
 

【解析】根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
由二次函数图象上点的坐标特征可找出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由此即可得出，利用配方法即可求出线段的最大值；
根据平行四边形的性质可得出，分或以及两种情况，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次二次函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：根据点、的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用配方法求出线段的最大值；分或以及两种情况，找出关于的一元二次方程．