2022湘豫名校高三5月联考文科数学（含答案）

湘豫名校联考（2022年5月）

数学（文科）试卷

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则等于（    ）

A. 0 B.  C. 1 D.

3. 已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 5

4. 近年来，我国人口老龄化在不断加速，年至年，我国老年（岁及以上）抚养比逐年攀升．下图为国家统计局对年中国岁及以上人口数量与老年抚养比统计．

根据上图进行分析，下列说法不正确的是（    ）

A. 年中国岁及以上人口数量为亿，同比年增长了约

B. 年老年抚养比为，较年增加了

C. 年的老年抚养比增速不低于年的老年抚养比增速

D. 年中国岁及以上人口数量极差为亿，中位数为亿

5. 已知角的大小如图所示，则（    ）

A 1 B.  C.  D.

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，则下列结论不正确的是（    ）

A. 平面 B. 平面

C. 平面 D. 平面

9. 已知函数的部分图象如图所示．其中阴影部分的面积为，则函数在上的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线，过焦点F直线l与抛物线C相交于A，B两点，以AB为直径的圆与x轴相交于P，Q两点，若的面积不小于2，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 在边长为4正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题共  90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，若，则______．

14. 已知函数为偶函数，则______．

15. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为______．（注：）

16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆O与双曲线M在第一象限交于点A，若，则双曲线M的离心率的取值范围为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 某医院为筛查某种疾病，需要检验一项血液指标是否为阳性．

（1）现有份血液样本，其中有份样本为阳性．若采取逐份检验的方式，求恰好经过次检验就能把阳性样本全部找出来的概率；

（2）现有份血液样本送检，该医院打算分别采用甲试剂检验其中的份，采用乙试剂检验另外的份，检验结果如下表：

根据上面的列联表判断，是否有的把握认为检验结果与使用甲、乙试剂的选择有关．

附：

，其中．

19. 在正项数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，且数列的前n项和为，证明：．

21. 如图，在四棱锥中，，平面PAB，平面PAB，E为BC的中点，F为PB上一点，且，，．

（1）求证：；

（2）若直线DF与平面PAB所成的角为45°，求三棱锥的体积．

23. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，过焦点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，且右焦点到直线l的最大距离为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设，且，证明：．

25. 已知函数，其中e为自然对数的底数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，当时，证明：函数有且仅有一个极小值点，且．

（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4-4：坐标系与参数方程

27. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的圆心为，半径为．

（1）求直线和圆的极坐标方程；

（2）若直线与圆相交于两点，求的值．

选修4-5：不等式选讲

29. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．