2022西安长安区一中高三第五次模拟考试数学（理）含答案

陕西省西安市长安区长安一中2022年

高三第五次教学质量检测

理科数学试题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（    ）

A  B.

C.  D.

2. 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ）

A.  B.

C  D.

3. 已知向量， ，且，则 等于

A.  B. -3 C. 3 D.

4. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，，则异面直线AB1与BC所成角的余弦值（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图象恒在x轴的上方，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ）

A. 240种 B. 120种 C. 188种 D. 156种

9. 若在x=1处取得极大值10，则值为（　　）

A. 或 B. 或 C.  D.

10. 已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，，

11. 已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）

A  B.  C.  D.

12. 若关于x的方程有三个不相等的实数解，且，其中m∈R，e为自然对数的底数，则的值为（   ）

A. 1+m B. e C. m-1 D. 1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）

13. 已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是___________.

14. 函数是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，则满足的实数x的取值范围为________.

15. 已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，，平面PAD⊥平面ABCD，，且直线PB与CD所成角的正切值为，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为___________.

16. 若，，，且，，则的值为______．

三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必修作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

（一）必考题：共60分．

17. 设等差数列前项和为，已知，且是与的等比中项.

（1）求的通项公式；

（2）若.求证：，其中.

18. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，，M是棱PB上的点，O是AD中点，且PO⊥底面ABCD，.

（1）求证：BC⊥OM；

（2）若，求二面角B－OM－C的余弦值.

20. 某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为.

（1）若，，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；

（2）若则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时的值.

21. 已知函数

（1）当时，求f（x）的单调递增区间：

（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：.

23. 已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点.

（1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.

[选修4－4：坐标系与参数方程选讲]

24. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，，为曲线上两点，且，设射线：.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）求的最小值.

[选修4－5：不等式选讲]

25. 已知a，b，c为正数．

（1）证明；

（2）求的最小值．