2022黑龙江哈三中高三第三次模拟考试数学（理科）含答案

2022年哈三中高三学年第三次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A．-i  B．-1  C．2  D．2i

2．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

3．下列命题中正确的是（    ）

A．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数

B．对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变

C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

D．若随机变量X服从正态分布，，则

4．已知，，，则与的夹角为（    ）

A．  B．  C．  D．

5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积（单位：）是（    ）

A．  B．  C．  D．12

6．已知命题p：若平面平面，直线平面，则平面，命题q：若平面平面，直线，直线，则是的充要条件，则下列命题中真命题的个数为（    ）

①   ②  ③  ④

A．0  B．1  C．2  D．3

7．定义在R上的函数满足以下三个条件：

①对于任意的实数，都有成立；

②函数的图象关于y轴对称；

③对任意的，，，都有成立．

则，，的大小关系为（    ）

A．  B．

C．  D．

8．举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲乙丙丁戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每个场馆至少分配一位志愿者．由于工作需要甲同学不能去A场馆，则所有不同的安排方法种数为（    ）

A．72  B．108  C．180  D．216

9．右图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门．在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（    ）

A．  B．  C．  D．

10．设圆与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则点B的坐标为  B．若，则

C．若，则    D．若，则

11．已知菱形ABCD中，，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）

A．  B．  C．  D．

12．已知函数，，曲线的图象上不存在点P，使得点P在曲线下方，则符合条件的实数a的取值的集合为（    ）

A．  B．  C．  D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．

13．已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为______．

14．若变量x，y满足约束条件，则的最小值为______．

15．已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，线段OB的中点为M，若O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的渐近线方程为______．

16．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______，函数的值域为______．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．等比数列中，首项，前n项和为，且满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和．

18．如图，四棱锥中，，四边形PACQ为直角梯形，，，且，．

（Ⅰ）求证：直线平面PAB；

（Ⅱ）若直线CA与平面PAB所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．

19．2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种第三针新冠疫苗．某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数（单位：万），得到如下表格：

（Ⅰ）请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）．

（Ⅱ）若A区市民甲、乙均在某日接种疫苗，根据以往经验，上午和下午接种疫苗分别需等待20分钟和30分钟，已知甲、乙在上午接种疫苗的概率分别为p、，且甲、乙两人需要等待时间的总和的期望不超过50分钟，求实数p的取值范围．

参考公式和数据：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，．

20．已知．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，为两个不相等的正数，且，其中．“以直代曲”是微积分的基本思想和重要方法．请你在①，②两种方法中选择一种（也可以同时选择①②）来证明：．

①用直线代替曲线在之间的部分；

②用曲线在处的切线代替其在之间的部分．

21．已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线上，且，直线AB过抛物线E的焦点F．

（Ⅰ）若四边形ABCD为等腰梯形，求；

（Ⅱ）若直线AD与直线BC的交点为，求实数的值．

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4—4：坐标系与参数方程

22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求．

选修4—5：不等式选讲

23．函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的最小值为k，且实数a，b，c满足．

求证：．

2022年哈三中高三学年第三次高考模拟考试

数学试卷（理工类）答案

1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．B 10．B 11．A 12．A

13．1 14．-1  15．  16．，

17．（Ⅰ）设数列公比为q，由，可得，

化简得，即，所以．

（Ⅱ），

令数列的前n项和为，

．

18．

（Ⅰ）证明：

，

∴，又∵，

∴平面ABC ∴

∵，  ∴

（Ⅱ）

∵，CA与平面PAB成线面角为

以A为原点AC为y轴AP为z轴建立平面直角坐标系

，，，

，，

设平面PBQ法向量

同理，平面BCQ法向量

由题意得，二面角的平面角的余弦值为

19．（Ⅰ）由题：，，

，，，

所以相关系数

，

说明y与x之间的性相关程度很高，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系．

，

故y关于x的线性回归方程为．

（Ⅱ）设甲、乙两人排队总时间为X，则X的所有可能取值为40，50，60，

，

，

．

所以，

由，得，

又，所以，

故p的取值范围为．

20．（Ⅰ），当时，，单调递增；当时，，单调递减

（Ⅱ）由可得，

法一：易证，

令与的交点为M，点M的横坐标m，，

由可得，

令，，即，，

当时，，在单调递增，

所以，．

法二：在处的切线为．

易证，

令与的交点为N，点N的横坐标n，

，

，，即，

由知，

所以

法三：

易证，，

在处的切线为，

易证，，

则，

由易证．

21．

（Ⅰ）6分

设直线  与联立

AB中点M为

设与联立

CD中点

ABCD为等腰梯形，则，而轴

∴轴  ∴，

(Ⅱ)6分

∵PM为△PAB中线，N为CD中点，

∴MN过P点，，∴

与抛物线联立，不妨设点A在x轴上方

与抛物线联立

  ∴

22．（Ⅰ）

（Ⅱ）l的标准方程为（t为参数）

代入圆C直角坐标方程整理得

原式

23．（Ⅰ）当时，，即，解得，

当时，，即，解得，

当时，，即，解得，

综上

（Ⅱ），当且仅当时取等号，

，由柯西不等式可知

所以（当，，时等号）