2022北京东城区高三下学期二模考试数学试题含答案

2022北京东城高三二模

数    学

2022．5

本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合，则

（A）  （B）

（C）  （D）

 （2）已知，则的大小关系为

（A）  （B）

（C）  （D）

（3）在的展开式中，第4项的系数为

（A） （B）80 （C） （D）10

（4）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为

（A）  （B）

（C）  （D）

（5）《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载．已知圆周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为

（A） （B） （C） （D）

 （6）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点．若的一条渐近线方程为，则

（A） （B） （C） （D）

（7）已知，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件  （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件  （D）既不充分也不必要条件

（8）已知点在直线上，则当变化时，实数的范围为

（A）  （B）

（C）  （D）

（9）已知等差数列与等比数列的首项均为，且，则数列

（A）有最大项，有最小项  （B）有最大项，无最小项

（C）无最大项，有最小项  （D）无最大项，无最小项

（10）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点到直线的距离的最小值为

（A）1 （B）

（C） （D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

（11）已知复数满足，则________；________．

（12）已知向量满足，且，则________．

（13）已知抛物线，为上一点，轴，垂足为，为的焦点，为原点．若，则________．

（14）已知奇函数的定义域为，且，则的单调递减区间为________．满足以上条件的一个函数是________．

（15）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论:

①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；

②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；

③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；

④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

（16）（本小题13分）

在中，．

（I）求；

（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值．

条件①:，边上中线的长为；

条件②:，的面积为6；

条件③:，边上的高的长为2．

注:如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题13分）

某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据，分别计算出男生和女生从小学一年级（2010年）到高中三年级（2021年）每年的视力平均值，如下图所示．

（I）从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；

（Ⅱ）从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）

（18）（本小题14分）如图，平面平面，，分别为的中点，．

（I）设平面平面，判断直线与的位置关系，并证明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

（19）（本小题15分）已知．

（I）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，曲线在轴的上方，求实数的取值范围．

（20）（本小题15分）

已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点直线分别交直线于点．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点，求证:．

（21）（本小题15分）

对于数列，定义变换将数列变换成数列，

记．

对于数列与，定义．

若数列满足，则称数列为数列．

（I）若写出，并求；

（Ⅱ）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若数列满足，求数列的个数．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习（二）

 数学参考答案及评分标准 2022.5

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）C （2）A （3）A （4）B        （5）D 

（6）C （7）B （8）B （9）A        （10）D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）                 （12）

（13）（14）（答案不唯一）

（15）①②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）在中，因为，

所以.

所以，即.

因为，所以.

所以.  ………………6分

（Ⅱ）选择条件②：

在中，，

解得.

所以.

解得.

在中，因为，

所以. ………………13分

选择条件③：

在中，因为，，

所以.

在中，

=.

在中，可得. ………………13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）由图可知，从2011年到2021年这11年中，2011年、2015年和2019年男生的视

力平均值高于上一年男生的视力平均值.

因此，从2011年到2021年中随机选取1年，该年男生的视力平均值高于上一年男

生的视力平均值的概率为.   ………………3分

（Ⅱ）在这12年中，2010年、2011年、2014年、2018年女生的视力平均值不低于当年

男生的视力平均值.

X的所有可能取值为0，1，2.

，

，

，

所以X的分布列为

故X的数学期望E(X)＝.   ………………11分

（Ⅲ）这200名学生的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小. ………13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）直线，证明如下：

因为D，O分别为PA，AC中点，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面．

因为平面，平面平面，

所以．………………5分

（Ⅱ）连结.                           

因为，为中点，

所以.

因为平面平面，

所以.

所以.

因为，所以.

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，．

因为点D为PA中点，所以.

所以，.

设为平面的法向量，

则 即

令，则，，可得．

设直线与平面所成角为 ，

因为，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.  ………………14分

（19）（共15分）

解：函数的定义域为.

（Ⅰ）当时，，.

所以，.

所以曲线在点处的切线方程为.    …………5分

（Ⅱ）当时，由有，故曲线在轴的上方.

当时，.

令得或（舍去）.

当变化时，，变化情况如下：

当，即时,在区间上单调递增，

则，

即曲线在轴的上方.

当，即时，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

则.

由时，曲线在轴的上方，

有，解得 .

所以 .

综上，实数的取值范围为.……15分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）由题设，知解得,.

故椭圆的方程为．………………5分

（Ⅱ）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为.

由消去，得.

由及，

解得的取值范围为.

设，则，.

直线，令，得，

点.

同理，点.

由题设知，,.

因为

，

所以，且与同号.

依题意，得，且点位于轴同侧.

因为,

所以.………………15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）由于，

可得.

.

所以.……………4分

（Ⅱ）.

因为列为数列，所以.

对于数列中相邻的两项，

令.

若，则；若，则.

记中有个，个，则.

因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 

因此不存在符合题意的数列.……………9分

（Ⅲ）首先证明.

对于数列，有.

.

.

因为，

，

所以.

所以.

其次，由数列为数列知，解得.

这说明数列中的任意相邻的两项不同的情况有2次,

也就是数列中所有的相邻，所有的也相邻.

若数列中的个数为m个，此时数列有n个，

所以数列的个数共有个.  ………………15分