2021-2022苏科版八年级数学下册期末复习-分式精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）

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2021-2022学年八年级数学下学期期末考试高分直通车（苏科版）
专题1.5分式精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）
【知识梳理】
1.分式的有关概念：分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．
分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
2.分式的性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为
注意：
（1）分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
（2）将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
3．分式的加减运算 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减
② 异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减 ．
注意：
（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．
4.分式的乘除运算
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
5.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
【典例剖析】
考点1 分式及有意义的条件
【例1】（2019秋•太仓市期末）下列分式中，x取任意实数总有意义的是（　　）
A．x+1x2 B．x2−1(x+2)2
C．1−xx2+1 D．xx+2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零即可判断．
【解析】A．x＝0时，x2＝0，A选项不符合题意；
B．x＝﹣2时，分母为0，B选项不符合题意；
C．x取任意实数总有意义，C选项符号题意；
D．x＝﹣2时，分母为0．D选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2020春•溧水区期末）若式子x−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2
【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案．
【解析】若式子x−2x在实数范围内有意义，则x≠0，
故选：B．
【变式1-2】（2020春•萧县期末）要使分式1|x|−2有意义，x的取值范围为（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．﹣2＜x＜2 D．x≠2且x≠﹣2
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，即|x|﹣2≠0，解出x的取值范围．
【解析】∵|x|﹣2≠0，
∴|x|≠2，
∴x≠±2．
故选：D．
【变式1-3】（2020春•滨江区期末）要使分式x−1(x−1)(x+2)有意义，x的取值应满足（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠1 C．x≠﹣2或x≠1 D．x≠﹣2且x≠1
【分析】根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x﹣1≠0，再求出即可．
【解析】要使分式x−1(x−1)(x+2)有意义，必须x+2≠0且x﹣1≠0，
解得：x≠﹣2且x≠1，
故选：D．
考点2 分式值为零的条件
【例2】（2020春•海州区期末）若分式x2−42−x的值等于零，则x的值为（　　）
A．x≠2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±2
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解析】由题意可知：x2−4=02−x≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：C．
【变式2-1】（2020春•邳州市期末）若分式x−3x+2的值为0，则x的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【解析】∵分式x−3x+2的值为0，
∴x﹣3＝0，
解得：x＝3．
故选：D．
【变式2-2】（2020秋•椒江区期末）若分式|x|−2x−2的值为零，则x的值为　﹣2　．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解析】由分式的值为零的条件得|x|﹣2＝0，x﹣2≠0，
由|x|﹣2＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
由x﹣2≠0，得x≠2，
综上所述，得x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【变式2-3】（2020春•常州期末）当x＝　﹣1　时，分式x+1x2+1的值是0．
【分析】根据分式值为零的条件可得x+1＝0，且x2+1≠0，再解即可．
【解析】由题意得：x+1＝0，且x2+1≠0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
考点3 分式的基本性质
【例3】（2020春•盐城期末）将分式x−yx+2y中x、y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（　　）
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．不变 D．变为原来的一半
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．即可判断．
【解析】∵分式x−yx+2y中x、y的值都变为原来的2倍，
∴分式x−yx+2y变为：
2x−2y2x+4y=2(x−y)2(x+2y)=x−yx+2y．
则该分式的值不变．
故选：C．
【变式3-1】（2020春•吴中区期末）分式13−x可变形为（　　）
A．1x−3 B．−1x−3 C．−13+x D．13+x
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
【解析】13−x=−1x−3．
故选：B．
【变式3-2】（2020春•玄武区期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．1−x−y=−1x−y B．3x+y2x+y=32
C．x2+y2x+y=x+y D．y−xx2−y2=−1x+y
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解析】A、1−x−y=1−(x+y)=−1x+y，故本选项不符合题意；
B、3(x+y)2(x+y)=32，3x+y2x+y≠32，故本选项不符合题意；
C、(x+y)2x+y=x+y，x2+y2x+y≠x+y，故本选项不符合题意；
D、y−xx2−y2=−(x−y)(x+y)(x−y)=−1x+y，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式3-3】（2019秋•吴江区校级期末）把分式x+yxy中的x、y都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的12 D．不变
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解析】2x+2y2x⋅2y=2(x+y)4xy=x+y2xy=12⋅x+yxy；
故选：C．
考点4最简分式与最简公分母
【例4】（2020春•沭阳县期末）下列分式中，最简分式是（　　）
A．x+12x2+4x+2 B．x−2yx2−4y2
C．x+3x2x2 D．1−x2(x+1)
【分析】直接利用分式的性质分别判断得出答案．
【解析】A、x+12x2+4x+2=x+12(x+1)2=12x+2，故原式不是最简分式，不合题意；
B、x−2yx2−4y2=x−2y(x−2y)(x+2y)=1x+2y，故原式不是最简分式，不合题意；
C、x+3x2x2=1+3xx，故原式不是最简分式，不合题意；
D、1−x2(x+1)，是最简分式，符合题意．
故选：D．
【变式4-1】（2019秋•新北区期末）下列分式aab，42m+4，x+πx，b2−4b−2，a+bb−a中，最简分式的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简分式的定义逐个判断即可．
【解析】aab=1b，42m+4=2m+2，b2−4b−2=b+2，这三个不是最简分式，
所以最简分式有：x+πx，a+bb−a，共2个，
故选：B．
【变式4-2】（2020春•徐州期末）分式a3b2和59a2b的最简公分母是　9a2b2　．
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解析】分式a3b2和59a2b的最简公分母为9a2b2．
故答案为9a2b2．
【变式4-3】（2020春•太仓市期末）分式1ab，a3b2，56a2b的最简公分母是　6a2b2　．
【分析】确定最简公分母的方法得出最简公分母．
【解析】分式1ab，a3b2，56a2b的分母分别为：ab，3b2，6a2b，
故最简公分母是：6a2b2．
故答案为：6a2b2．
考点5 约分与通分
【例5】（2020春•常州期末）分式x2−y2x−y可化简为（　　）
A．x﹣y B．1x−y C．x+y D．1x+y
【分析】原式分子分解因式后，约分即可得到结果．
【解析】原式=(x+y)(x−y)x−y=x+y．
故选：C．
【变式5-1】（2020春•秦淮区期末）化简a2−2ab+b2a−b的结果是　a﹣b　．
【分析】将分式的分子因式分解，再约去公因式即可求解．
【解析】原式=(a−b)2a−b
＝a﹣b．
故答案为a﹣b．
【变式5-2】（2020春•相城区期末）化简：4xy220x2y=　y5x　．
【分析】直接利用分式的性质分别化简得出答案．
【解析】原式=4xy⋅y4xy⋅5x=y5x．
故答案为：y5x．
【变式5-2】（2019春•海安市校级期末）化简x2−y2(y−x)2的结果是　x+yx−y　．
【分析】根据约分的步骤找出分子与分母的公分母，再约去即可．
【解析】x2−y2(y−x)2=(x−y)(x+y)(x−y)2=x+yx−y，
故答案为：x+yx−y．
考点6 分式的值
【例6】（2020春•洪泽区期末）如果x﹣2y＝0且x≠0，那么x−yx+y的值等于（　　）
A．−13 B．−13y C．13 D．13y
【分析】首先将x﹣2y＝0变形为x＝2y，然后将其代入所求的分式，进行化简即可．
【解析】由x﹣2y＝0且x≠0，得x＝2y，且y≠0，
∴原式=2y−y2y+y=y3y=13，
故选：C．
【变式6-1】（2020秋•高邮市期末）若分式1x−1值为整数，则满足条件的整数x的值为　0或2　．
【分析】本题考查分式的值，得出分母x﹣1＝±1求解即可．
【解析】因为分式1x−1有意义，所以x﹣1≠0，即x≠1，
当分式1x−1值为整数时，
有x﹣1＝±1，
解得x＝0或x＝2，
故答案为：0或2．
【变式6-2】（2020春•吴江区期末）已知1a−1b=13，则abb−a的值等于　3　．
【分析】将已知等式的左边通分得，b−aab=13，取倒数可得结论．
【解析】∵1a−1b=13，
∴b−aab=13，
∴abb−a=3；
故答案为：3．
【变式6-3】（2020春•盱眙县期末）当a＝2017时，分式a2−4a−2的值是　2019　．
【分析】把分子利用平方差公分解因式后，约分，代入计算即可．
【解析】当a＝2017时，a2−4a−2=(a+2)(a−2)a−2=a+2＝2017+2＝2019；
故答案为：2019．
考点7分式的乘除
【例7】（2019秋•高淳区期末）化简2ba•a24b2的结果为　　．
【分析】根据分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母计算，再约分即可．
【解析】原式=2a2b4ab2=a2b，
故答案为：a2b．
【变式7-1】（2019春•鼓楼区校级期末）已知x2+y2＝3，xy=12，则（1x−1y）÷x2−y2xy的值为　　．
【分析】根据已知条件可以求得x+y＝±2，然后将其代入化简后的分式进行求值即可．
【解析】∵x2+y2＝3，xy=12，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+1＝4．
∴x+y＝±2，
∴（1x−1y）÷x2−y2xy
=y−xxy×xy(x+y)(x−y)
=−1x+y
=±12．
故答案是：±12．
【变式7-2】（2020春•滨江区期末）计算：(−ab)÷2b2a=　−a22b　．
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．
【解析】（﹣ab）÷2b2a
＝﹣ab•a2b2
=−a22b，
故答案为：−a22b．
【变式7-3】（2020春•滨湖区期中）计算（xy﹣x2）÷x−yxy的结果（　　）
A．1y B．x2y C．﹣x2y D．﹣xy
【分析】先把除法转化成乘法，再进行约分即可得出答案．
【解析】（xy﹣x2）÷x−yxy=x（y﹣x）×xyx−y=−x2y；
故选：C．
考点8 分式的加减
【例8】（2019秋•姜堰区期末）计算：x2x+1−x+1＝　 ．
【分析】先通分，再计算同分母分式即可求解．
【解析】x2x+1−x+1=x2x+1−(x+1)(x−1)x+1=x2−x2+1x+1=1x+1．
故答案为：1x+1．
【变式8-1】（2020春•姑苏区期中）m2m−2+42−m的计算结果为　m+2　
【分析】先变形为同分母分式的减法，再根据法则计算，最后约分化简可得．
【解析】原式=m2m−2−4m−2
=m2−4m−2
=(m+2)(m−2)m−2
＝m+2，
故答案为：m+2．
【变式8-2】（2020春•丽水期末）已知x，y，z都是整数，且x＞y，x2+z2＝5，z2+y2＝13．
（1）x2﹣y2的值是　﹣8　．
（2）zx+y+yx+z+xy+z的值是　1710或﹣212或345或﹣3　．
【分析】（1）把已知两式相减即可求解；
（2）由题意根据x，y，z都是整数，确定出x，y，z的值，再把求出的x，y，z的值代入原式计算即可求出值．
【解析】（1）∵x2+z2＝5，z2+y2＝13，
∴x2﹣y2＝x2+z2﹣（z2+y2）＝5﹣13＝﹣8；
（2）∵x，y，z都是整数，且x＞y，x2+z2＝5，z2+y2＝13，
∴x＝﹣1，z＝﹣2，y＝﹣3或x＝﹣1，z＝2，y＝﹣3或x＝1，z＝﹣2，y＝﹣3或x＝1，z＝2，y＝﹣3，
∴zx+y+yx+z+xy+z=1710或﹣212或345或﹣3．
故答案为：﹣8；1710或﹣212或345或﹣3．
【变式8-3】（2019春•相城区期末）观察下列的式子：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯⋯类比这种计算方法，可以求得12×4+14×6+16×8+⋯+12016×2018=　 ．
【分析】根据1n(n+2)=12×（1n−1n+2）裂项求和可得．
【解析】原式=12×（12−14）+12×（14−16）+12×（16−18）+⋯⋯+12×（12016−12018）
=12×（12−14+14−16+16−18+⋯⋯+12016−12018）
=12×（12−12018）
=12×5041009
=2521009，
故答案为：2521009．
考点9列分式解实际问题
【例9】（2019秋•镇原县期末）一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要　 　小时．
【分析】甲单独做一天可完成工程总量的1x，乙单独做一天可完成工程总量的1y，二人合作一天可完成工程总量的1x+1y．工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数．
【解析】设该工程总量为1．二人合作完成该工程所需天数＝1÷（1x+1y）＝1÷x+yxy=xyx+y．
【变式9-1】（2019秋•阜宁县期末）一件工作，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，则甲、乙合作小时完成．
【分析】根据两人合作一小时完成的工作量＝甲1小时的工作量+乙1小时的工作量，进而求出两人合作所用时间即可．
【解析】∵一件工程甲单独完成要a小时，乙单独完成要b小时，
∴甲1小时的工作量为1a，乙1小时的工作量为1b，
∴两人合作一小时完成的工作量为：11a+1b=aba+b．
故答案为：aba+b．
【变式9-2】（2020春•南京期末）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（　　）
A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定
【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．
【解析】∵t1=2mv，t2=mv+p+mv−p=2mvv2−p2，
∴t1﹣t2═2mv−2mvv2−p2=−2mp2v(v2−p2)，
∵0＜p＜v，
∴t1﹣t2＜0，
∴t1＜t2．
故选：A．
【变式9-3】（2020春•镇江期末）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（　　）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
【分析】妈妈两次加油共需付款及爸爸两次加油升数，进而表示出两人的平均单价，列出关系式，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，确定出差的正负即可作出判断．
【解析】根据题意得：妈妈每次加油共需付款a（x+y）元，爸爸两次能加300(x+y)xy升油，
若爸爸两次加油的平均单价为M元/升，妈妈两次加油的平均单价为N元/升，则M=2xyx+y，N=x+y2，
∵N﹣M=x+y2−2xyx+y=(x−y)22(x+y)＞0，
∴爸爸的加油方式更合算，
故选：A．
考点10 分式的混合运算
【例10】（2020春•江干区期末）化简：（x−1x−x−2x+1）÷2x2−xx2+2x+1
【分析】先算括号的，然后算乘除法．
【解析】（x−1x−x−2x+1）÷2x2−xx2+2x+1
=[(x−1)(x+1)x(x+1)−x(x−2)x(x+1)]÷x(2x−1)(x+1)2
=[x2−1x(x+1)−x2−2xx(x+1)]⋅(x+1)2x(2x−1)
=−1+2xx(x+1)⋅(x+1)2x(2x−1)
=x+1x2
【变式10-1】（2019春•丹阳市期末）化简
（1）2a+4a2−4+1
（2）x2−y2x2+2xy+y2÷（x2−xyx+y）
【分析】（1）先化简，再根据分式的加法法则求出即可；
（2）先化简和算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．，最后代入求出即可．
【解析】（1）原式=2(a+2)(a+2)(a−2)+1
=2a−2+1
=2+a−2a−2
=aa−2；

（2）原式=(x+y)(x−y)(x+y)2÷x2−xy2(x+y)\
=x−yx+y•2(x+y)x(x−y)
=2x．
【变式10-2】（2020春•东海县期末）化简：
（1）x﹣y+2y2x+y；
（2）a2+3a2a×a+3a2+6a+9．
【分析】（1）首先通分，然后再计算加减即可；
（2）首先把分子分母分解因式，然后再计算乘法即可．
【解析】（1）原式=x2−y2x+y+2y2x+y
=x2−y2+2y2x+y
=x2+y2x+y；

（2）原式=a(a+3)2a×a+3(a+3)2=12．
【变式10-3】（2020春•太仓市期末）计算：
（1）3x−2x−1−xx−1；
（2）a−1a÷（a−1a）．
【分析】（1）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，进而运用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解析】（1）原式=3x−2x−1−xx−1
=3x−2−xx−1
=2(x−1)x−1
＝2；

（2）原式=a−1a÷a2−1a
=a−1a•a(a+1)(a−1)
=1a+1．
考点11 分式的化简求值
【例11】（2020秋•泰兴市期末）先化简，再求值：3−a2a−4÷(a+2−5a−2)，其中，a满足a2﹣4＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程求出a的值，结合分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可．
【解析】原式=3−a2(a−2)÷（a2−4a−2−5a−2）
=−(a−3)2(a−2)•a−2(a+3)(a−3)
=−12(a+3)
=−12a+6，
∵a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
∵a≠±3且a≠2，
∴a＝﹣2，
则原式=−12×(−2)+6=−12．
【变式11-1】（2020秋•高邮市期末）先化简，再求值（x2x+1−x+1）÷xx+1，其中整数x满足﹣1≤x＜3．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤x＜3中选取使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】（x2x+1−x+1）÷xx+1
=x2−(x−1)(x+1)x+1⋅x+1x
=x2−x2+1x
=1x，
∵x（x+1）≠0，
∴x≠0，x≠﹣1，
∵整数x满足﹣1≤x＜3，
∴x＝1或2，
当x＝1时，原式=11=1，
当x＝2时，原式=12．
【变式11-2】（2020秋•崇川区校级期末）先化简，再求值：（2a+1+a+2a2−1）÷aa−1，其中a=5−1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解析】原式=2(a−1)+a+2(a+1)(a−1)•a−1a
=3a(a+1)(a−1)•a−1a
=3a+1，
当a=5−1时，原式=35−1+1=355．
【变式11-3】（2020春•沭阳县期末）已知ab=54，求aa+b+ba−b−b2a2−b2的值．
【分析】根据分式的加减法可以化简题目中的式子，然后将ab=54变形，再代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】aa+b+ba−b−b2a2−b2
=a(a−b)+b(a+b)−b2(a+b)(a−b)
=a2−ab+ab+b2−b2(a+b)(a−b)
=a2a2−b2，
=11−(ba)2，
当ab=54，即ba=45，原式=11−(45)2=259．