2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第九章 §9.2　用样本估计总体

§9.2　用样本估计总体考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理1．百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2．平均数、中位数和众数(1)平均数：eq \x\to(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．3．方差和标准差(1)方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\to(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \o\al(2,i)－eq \x\to(x)2.(2)标准差：s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\to(x)2).4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\to(Y)，则总体方差S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\to(Y))2.(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\to(Y))2.常用结论巧用三个有关的结论(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　×　)(2)方差与标准差具有相同的单位．(　×　)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　√　)(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　√　)教材改编题1．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是(　　)A．这组数据的极差为4B．这组数据的平均数为3C．这组数据的中位数为4D．这组数据的众数为3和5答案　AC解析　这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为eq \f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq \f(11,3)，B错误；中位数为eq \f(3＋5,2)＝4，C正确；众数为5，D错误．2．(多选)下列说法正确的是(　　)A．众数可以准确地反映出总体的情况B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案　CD解析　对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确．3．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________．答案　14.5解析　∵75%×20＝15，∴第75百分位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5.题型一　样本的数字特征和百分位数的估计例1　(1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(　　)A．92,85 B．92,88C．95,88 D．96,85答案　B解析　数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；将一组数据按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，第25百分位数是88.延伸探究　本题中，第70百分位数是多少？解　10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为eq \f(92＋96,2)＝94.(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为eq \x\to(x)，方差为s2，则(　　)A.eq \x\to(x)＝4，s24，s24，s2>2答案　A解析　设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4，eq \f(x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－42,7)＝2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，则这8个数的平均数为eq \x\to(x)＝eq \f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq \f(1,8)×(28＋4)＝4，方差为s2＝eq \f(1,8)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]＝eq \f(1,8)×(14＋0)＝eq \f(7,4)2eq \r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．教师备选从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解　(1)补全后的频率分布直方图如图所示．(2)质量指标值的样本平均数为eq \x\to(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．思维升华　总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．跟踪训练3　(2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩．甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作eq \x\to(x)，eq \x\to(y)，方差分别记作seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2). (1)求eq \x\to(x)，eq \x\to(y)，seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2)；(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．解　(1)eq \x\to(x)＝eq \f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，eq \x\to(y)＝eq \f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，seq \o\al(2,1)＝eq \f(1,10)[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，seq \o\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.(2)答案一：由(1)可知，eq \x\to(x)＝eq \x\to(y)，seq \o\al(2,1)