2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第二章 §2.7　对数与对数函数

§2.7　对数与对数函数考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)．(3)换底公式：logab＝eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1，＝eq \f(n,m)logab.2．如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)(3)函数y＝logaeq \f(1＋x,1－x)与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．(　×　)(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)教材改编题1．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．答案　(3,2)解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，∴y＝loga1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)．2．计算：(log29)·(log34)＝ .答案　4解析　(log29)·(log34)＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.3．若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .答案　eq \f(1,2)或2解析　当a>1时，loga4－loga2＝loga2＝1，∴a＝2；当01，若logab＋logba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则a＋b＝ .答案　6解析　设logb a＝t，则t>1，因为t＋eq \f(1,t)＝eq \f(5,2)，所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .答案　4解析　原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1＝4.题型二　对数函数的图象及应用例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0