2022届重庆市高三下学期三模考试数学试题+含答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试

高考模拟调研卷数学（三）

数学测试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设为虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第四象限 C. 实轴上 D. 虛轴上

2. 已知集合，，则集合中元素个数为（）

A3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

3. 设，则“”是“”的（）

A充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.  B. 2 C.  D.

5. 已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（）

A B.  C. 3 D. 4

6. 已知曲线：的部分图象如图所示，要得到曲线的图象，可将曲线的图象（）

A. 先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

B. 先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C. 先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D. 先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

7. 设函数，若，，，则（）

A.  B.

C.  D.

8. 十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：.如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球.根据以上信息知，碳60的所有面中五边形的个数是（）

A. 12 B. 20 C. 32 D. 40

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题正确的是（）

A. 在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好

B. 已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关

C. 已知由一组样本数据得到回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有

D. 若随机变量，则不论取何值，为定值

10. 如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，，，则下列结论中一定正确的是（）

A. 圆锥的体积为

B. 圆锥的表面积为

C. 三棱锥的体积的最大值为

D. 存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为

11. 已知直线的方程为，则下列说法中正确的是（）

A. 当变化时，直线始终经过第二、第三象限

B. 当变化时，直线恒过一个定点

C. 当变化时，直线始终与抛物线相切

D. 当在内变化时，直线可取遍第一象限内所有点

12. 已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（）

A.  B.

C.  D. 最小值为4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为____________.

14. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________.

15. 已知甲每次来渝乘坐飞机和高铁的概率分别为0.6和0.4，飞机和高铁正点到达的概率分别为0.8和0.9，若甲已正点抵渝，则甲此次来渝乘坐高铁的概率为____________.

16. 已知平面向量，，满足，，，，则_____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列是单调递增的等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）设，求数列的前项和.

19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列.

（1）若，求的面积；

（2）是否存在整数使得为钝角三角形?若存在，求此钝角的余弦值；否则，请说明理由.

21. 如图，在三棱锥中，，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的大小.

23. 已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.

25. 为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为.

（1）求；

（2）证明：为等比数列；

（3）求数列的前项和，并说明的实际意义.

27. 已知函数.

（1）证明：；

（2）对，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】A

【9题答案】

【答案】ABD

【10题答案】

【答案】AC

【11题答案】

【答案】AC

【12题答案】

【答案】ABC

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】6

【17题答案】

【答案】（1），前项和为

（2）

【小问1详解】

解：由题，∴，，又，即，

即，解得或，由数列单调递增可知，，

，；

【小问2详解】

解：由（1）可知，所以①，

∴②，

①②得，

∴.

【19题答案】

【答案】（1）

（2）存在整数使得为钝角三角形，此钝角的余弦值为

【小问1详解】

，∴，

故，，∴；

【小问2详解】

为钝角三角形，即，由a，b，c是公差为1的等差数列，得，显然，，，不能构成三角形，当，，可构成三角形，此时.

【21题答案】

【小问1详解】

证明：因为，，，所以，所以，又，平面，，∴平面，又平面，

∴平面⊥平面；

【小问2详解】

解：取的中点，连接，因为，所以，又平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，以的中点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，显然为平面的法向量，

设是平面的法向量，则，即，

令，得，所以，显然二面角为锐二面角，故所求二面角的平面角为.

【23题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

解：设，由题知时，，故抛物线方程为；

【小问2详解】

解：设，联立抛物线方程得，∴，，而，，

所以，

当且仅当时等号成立，故直线的方程为．

【25题答案】

【答案】（1）

（2）证明见解析（3），表示前次航班一共被熔断的次数

【小问1详解】

；

【小问2详解】

由题得，

∴，

又，∴数列是以为首项、为公比的等比数列；

【小问3详解】

由（2）知，故，

从而，

由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，

∴表示前次航班一共被熔断的次数.

【27题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

【小问1详解】

解：令，，则，

∵单调递增，当时，当时，故存在唯一使得，且当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，∴，又，即，即，故，；

【小问2详解】

解：依题意对，恒成立，

由（1）知，且当时等号成立，故的最小值为，故原命题等价于对恒成立，

令，则单调递减，，故，

若则，显然不满足恒成立；

若则恒成立；

若则，恒成立即，；

综上，.