浙江省丽水市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

浙江省丽水市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

一、单选题 (共12题；共24分)

1．（2分）直线 的倾斜角是（　　）  

A． B． C． D．

2．（2分）已知向量 ， ，若 与 平行，则实数m的值是（　　）  

A． B． C．6 D．-6

3．（2分）不等式 的解集是（　　）  

A． 或  B． 或

C． D．

4．（2分）若直线 与直线 互相垂直，则实数m的值为（　　）  

A．-2 B． C． D．2

5．（2分）已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （　　）  

A． B． C． D．

6．（2分）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （　　）  

A．36 B．72 C．55 D．110

7．（2分）已知 ， ， ，且 ，则 的值（　　）  

A． B． C． D．

8．（2分）如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数t的值为（　　） 

A． B． C． D．

9．（2分）已知函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（　　）  

A．函数 在 上是增函数

B．函数 的图象关于直线 对称

C．函数 是奇函数

D．函数 的图象关于点 中心对称

10．（2分）已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（　　）  

A． B． C． D．

11．（2分）已知数列 满足 ， ， ，则数列 的最小项为（　　）  

A． B． C． D．

12．（2分）已知函数 ， ，记 ， ，则 的最大值与 的最小值的差为（　　）  

A．-4 B．4 C． D．

二、双空题 (共3题；共6分)

13．（2分）点 到直线 的距离是　     　；过点P且与直线l平行的直线方程为　        　.  

14．（2分）已知 ，则 　     　； 　     　.  

15．（2分）已知数列 的前n项和 ，则 　     　. 　         　.  

三、填空题 (共4题；共4分)

16．（1分）已知某扇形的周长是 ，面积为 ，则该扇形的圆心角的弧度数是　     　.  

17．（1分）若 ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ .所有正确结论的序号是　     　.  

18．（1分）若关于 的不等式 在 上有解，则实数a的取值范围是　        　.  

19．（1分）已知非零向量 ，若 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ， ，则 的最大值为　     　.  

四、解答题 (共4题；共45分)

20．（10分）在 中，角 所对的边分别是 ，满足 . 

（1）（5分）求角B的大小；  

（2）（5分）若 ， 的面积 ，求 的周长.  

21．（10分）已知向量 ， ，记函数 . 

（1）（5分）求函数 在 上的取值范围；  

（2）（5分）若 为偶函数，求 的最小值.  

22．（10分）已知数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，数列 是公比大于1的等比数列. 

（1）（5分）求数列 的通项公式 及其前n项和 .  

（2）（5分）设 ，求证： .  

23．（15分）已知函数 . 

（1）（5分）当 时，求函数 的单调区间；  

（2）（5分）当 时，若函数 在 上的最小值为0，求a的值；  

（3）（5分）当 时，若函数 在 上既有最大值又有最小值，且 恒成立，求实数 的取值范围.  

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】直线 的斜率 ，

则 ，

所以直线 的倾斜角 ,

故答案为：A

【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．

2．【答案】D

【解析】【解答】因为 与 平行，所以

故答案为：D

【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.

3．【答案】C

【解析】【解答】由 得： ，

，

，

即不等式的解集为 ，

故答案为：C

【分析】由原不等式可化为 ，直接根据一元二次不等式的解法求解即可.

4．【答案】D

【解析】【解答】因为直线 与直线 互相垂直，

所以 ，得 ．

故答案为：D．

【分析】由两直线垂直的性质可得．

5．【答案】C

【解析】【解答】由三角函数定义得

由三角函数定义得

故答案为：C

【分析】根据三角函数定义列方程，解得m，再根据三角函数定义求结果.

6．【答案】C

【解析】【解答】因为 ，所以 ，

因为 ，所以 ，

因为 ，

所以 .

故答案为：C.

【分析】由已知利用等差数列的性质，得到，再由代入求和公式，即可求值.

7．【答案】B

【解析】【解答】因为 ， ，所以 ；

因为 ， ，所以 ，

，

因为

，又 ，所以

故答案为：B

【分析】先根据同角三角函数平方关系求 ，再根据两角和正弦公式求得 ，即得 的值.

8．【答案】B

【解析】【解答】解：设 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，∴ ，

故答案为：B．

【分析】设 ，再利用 ，所以 ，再利用三角形法则结合平面向量基本定理，从而求出和t的值。

9．【答案】A

【解析】【解答】解：∵ ，

∴ ，得 ，

∴ ，

∴ ，

对于A，由 得， ，此时 单调递减，则函数 单调递增，则A对；

对于B，由 得， ，则B不符合题意；

对于C， ，则函数 是偶函数，则C不符合题意；

对于D，由 得， ，则D不符合题意；

故答案为：A．

【分析】由辅助角公式及周期公式可求得 ，再根据图象变换可求得 ，再根据整体法和三角函数的性质逐一判断各选项即可．

10．【答案】B

【解析】【解答】

,

当且仅当 时取等号

故答案为：B

【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.

11．【答案】D

【解析】【解答】 ， ，

所以数列 为等比数列，首项为 ，公比为4，所以

当 时

因为 时 ，所

因此当 或 时， 取最小值

故答案为：D

【分析】先判断数列 为等比数列，再根据等比数列通项公式求 ，根据叠乘法得数列 的通项公式，最后根据二次函数性质以及自变量范围确定最小值.

12．【答案】B

【解析】【解答】令 ，

则

作 图象，由图可知实线部分为 ，虚线部分为

因此 的最大值为 ， 的最小值为 ，

从而 的最大值与 的最小值的差为 ，

故答案为：B

【分析】先求 交点横坐标，再转化 、 ，结合图象确定 的最大值与 的最小值的取法，最后作差得结果.

13．【答案】；x-y+1=0

【解析】【解答】设点 到直线的距离为d，

则 ，

的斜率 ，

所求直线方程为 ，即 ，

故答案为： ；

【分析】根据点到直线的距离公式求解；所求直线与l斜率相等，点斜式写出直线方程即可.

14．【答案】；

【解析】【解答】因为 ，

所以 ，

所以 ，

所以 .

.

故答案为： ； .

【分析】利用平方关系求出 的值，再根据诱导公式和商数关系求 的值.

15．【答案】2n-1；

【解析】【解答】

，

，

当 时， .

故 ，满足

又

故答案为： ； .

【分析】先利用 求出 ，在利用裂项求和即可 的值.

16．【答案】2

【解析】【解答】设扇形的半径为 ，所对弧长为 ，则有 ，解得 ，故 .

故答案为：2.

【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.

17．【答案】①③

【解析】【解答】 ，所以①正确；

当 时，满足 ，但 ，所以②错误；

，所以③正确；

，所以④错误；

故答案为：①③

【分析】根据正负证明①正确；举例说明②错误；利用不等式性质说明③正确④错误.

18．【答案】

【解析】【解答】关于 的不等式 在 上有解，即关于x的不等式 在 上有解，作出两函数 图象，

其中由 与 相切得 ；

由 过点 得 .

由图可知 ，

故答案为：

【分析】先转化为 ，再根据两函数 图象，确定边界位置，即得结果.

19．【答案】21

【解析】【解答】设 ， ， .

则 ， .

又 ， ，此时，O、A、C、B四点共圆.如图，

在三角形 中，由正弦定理得 ，

即 ，

可得 ，

由 那么

可得

在 中，由余弦定理可得

，

（当且仅当 取等号）

则

故答案为：21

【分析】设 ， ， ，根据 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 可知 四点共圆，再结合余弦定理建立关系，通过不等式即可求解 的最大值.

20．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，  

∴ ，∵ ，∴

（2）解：

∴

又∵ ，即

∴

∴ 的周长为

【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解；（2）先根据三角形面积公式得 ，再利用余弦定理求得 ，即可求出周长.

21．【答案】（1）解：

则∵ ，

∴ 的取值范围为

（2）解：因为 为偶函数，  

所以

因此当 时

【解析】【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为 ，最后根据余弦函数性质求值域；（2）先根据 为偶函数求得 ，再求 的最小值.

22．【答案】（1）解：设数列 的公比为 ，则 ， ，  

所以 ， ，

又 ，所以 ， ，

或 （舍）

所以 ，

∴ .

，

.

两式相减，得 ，

∴

（2）解：∵ ，  

∴

∴

【解析】【分析】（1）设数列 的公比为 ，由等差中项及等比数列的通项建立方程求解方程即可得通项公式 ，利用错位相减法求和即可；（2）由（1）及 可得 ，利用基本不等式可得 ，求和即可得证.

23．【答案】（1）解：当 时，

由二次函数单调性知 在 单调递减，在 单调递减，

∴ 的单调递减区间为

（2）解：

当 时， 在 单调递减， 单调递增， 单调递减，

（i）当 即 时，

∴ （舍去）

（ii）由 得

当 ，即 时，

∴ ，符合题意.

（iii）当 ，即 时，

∴ ，符合题意.

综上所述， 或

（3）解：当 时，由 ，可知

由 可知

要使 恒成立

∵

又∵

∴ ，∴

∴ 或

【解析】【分析】（1）将 代入函数解析式，去掉绝对值符号，将函数写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，写出函数的单调递减区间；（2）将函数解析式化为分段函数的形式，对a的范围进行讨论，从而确定函数的最小值点，相互对照，求得结果；（3）首先根据题意，判断出函数在区间上存在最值的条件，利用恒成立，转化得出对应的不等关系，进而求得其范围.