物理必修 第一册第四章 运动和力的关系5 牛顿运动定律的应用学案及答案

第5节 牛顿运动定律的应用

知识点　牛顿运动定律的应用

[情境导学]

一个小孩从静止开始沿倾角为θ的滑梯下滑，小孩与滑梯间的动摩擦因数为μ，滑梯长度为L，怎样求小孩滑到底端的速度大小和需要的时间？

提示：由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ＝ma，

由v2＝2aL可得v＝

由L＝at2可得t＝ 。

[知识梳理]

1．牛顿第二定律的作用：确定了运动和力的关系，把物体的运动情况与受力情况联系起来。

2．动力学的两类基本问题

(1)从受力确定运动情况：如果已知物体的受力情况，可以由牛顿第二定律求出物体的加速度，再通过运动学的规律确定物体的运动情况。

(2)从运动情况确定受力：如果已知物体的运动情况，根据运动学规律求出物体的加速度，结合受力分析，再根据牛顿第二定律求出力。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)根据物体加速度的方向可以判断物体所受合力的方向。(√)

(2)根据物体加速度的方向可以判断物体受到的每个力的方向。(×)

(3)物体运动状态的变化情况是由它的受力决定的。(√)

(4)只要知道物体的受力情况就能判断物体的运动性质。(×)

2．物体放在光滑水平面上，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经时间t通过的位移是x。如果水平恒力变为2F，物体仍由静止开始运动，经时间2t通过的位移是(　　)

A．x　　　　　　　　　 B．2x

C．4x  D．8x

解析：选D　当水平恒力为F时，由牛顿第二定律得，

F＝ma

x＝at2＝。

当水平恒力为2F时，由牛顿第二定律得，2F＝ma′，

x′＝a′(2t)2＝。

联立得，x′＝8x。故D正确。

3．行车过程中，如果车距不够，刹车不及时，汽车将发生碰撞，车里的人可能受到伤害，为了尽可能地减轻碰撞所引起的伤害，人们设计了安全带。假定乘客质量为70 kg，汽车车速为90 km/h，从踩下刹车到车完全停止需要的时间为5 s，安全带对乘客的平均作用力大小约为(不计人与座椅间的摩擦，刹车过程可看成匀减速直线运动)(　　)

A．450 N  B．400 N

C．350 N  D．300 N

解析：选C　汽车刹车前的速度v0＝90 km/h＝25 m/s

设汽车匀减速的加速度大小为a，则

a＝＝5 m/s2

对乘客应用牛顿第二定律可得

F＝ma＝70×5 N＝350 N，所以C正确。

[要点归纳]

1．问题概述

已知物体受力情况确定运动情况，指的是在受力情况已知的条件下，判断出物体的运动状态或求出物体的速度和位移。

2．解题思路

3．解题步骤

(1)选定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。

(2)根据平行四边形定则，应用合成法或正交分解法，求出物体所受的合力。

(3)根据牛顿第二定律列方程，求出物体运动的加速度。

(4)结合物体运动的初始条件(即初速度v0)，分析运动情况并画出运动草图，选择合适的运动学公式，求出待求的运动学量——任意时刻的速度v、一段运动时间t以及对应的位移x等。

[特别提醒]　受力分析和运动情况分析是解决该类问题的两个关键，特别是运动草图对解决复杂问题有很大帮助。

[例题1]　在海滨乐场里有一种滑沙的游乐活动。如图所示，人坐在滑板上从斜坡的高处A点由静止开始滑下，滑到斜坡底端B点后沿水平的滑道再滑行一段距离到C点停下来。若某人和滑板的总质量m＝60．0 kg，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ＝0．50，斜坡AB的长度l＝36 m。斜坡的倾角θ＝37°(sin 37°＝0．6，cos 37°＝0．8)，斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2。问：

(1)人从斜坡顶端滑到底端的时间为多少？

(2)人滑到水平面上后还能滑行多远？

[解析]　(1)人在斜坡上向下滑时，受力如图所示。设人沿斜坡下滑的加速度为a，沿斜面方向，由牛顿第二定律得mgsin θ－Ff＝ma

又Ff＝μFN

垂直于斜坡方向有FN－mgcos θ＝0

解得a＝2 m/s2

由l＝at2，解得t＝6 s。

(2)设人滑到水平面时的速度为v，则有v＝at

解得v＝12 m/s

在水平面上滑行时，设加速度为a′，根据牛顿第二定律，有μmg＝ma′，解得a′＝5 m/s2

设人还能滑行的距离为x，则v2＝2a′x

解得x＝14．4 m。

[答案]　(1)6 s　(2)14．4 m

从受力情况确定运动情况应注意的三个方面

(1)方程的形式：牛顿第二定律F＝ma，体现了力是产生加速度的原因。应用时方程式的等号左右应该体现出前因后果的形式，切记不要写成F－ma＝0的形式，这样形式的方程失去了物理意义。

(2)正方向的选取：通常选取加速度方向为正方向，与正方向同向的力取正值，与正方向反向的力取负值。

(3)求解：F、m、a采用国际单位制单位，解题时写出方程式和相应的文字说明，必要时对结果进行讨论。

[针对训练]

1．[多选]某小球所受的合力与时间的关系如图所示，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开始运动，由此可判定(　　)

A．小球向前运动，再返回停止

B．小球向前运动，再返回不会停止

C．小球始终向前运动

D．小球在4 s末速度为0

解析：选CD　由题图可知，在0～1 s，小球向前做匀加速直线运动，1 s末速度最大；在1～2 s，小球以大小相等的加速度向前做匀减速直线运动，2 s末速度为零。依此类推，可知A、B错误，C、D正确。

2．质量为m＝2 kg的物体静止在水平地面上，物体与水平地面之间的动摩擦因数为μ＝0．5。现在对物体施加如图所示的力F，F＝10 N，与水平面的夹角θ＝37°，且sin 37°＝0．6。经t＝10 s后撤去力F，再经一段时间，物体静止，g取10 m/s2。问：

(1)物体运动过程中的最大速度是多少？

(2)物体运动的总位移是多少？

解析：(1)撤去力F前，物体受力如图甲所示，则在竖直方向上有Fsin θ＋FN＝mg

水平方向上，Fcos θ－Ff＝ma1

又Ff＝μFN

v＝a1t

代入数据解得v＝5 m/s。

(2)撤去F前，x1＝a1t2＝25 m，撤去F后，物体受力如图乙所示，则有

竖直方向上，FN′＝mg

水平方向上，Ff′＝ma2

又Ff′＝μFN′

v2＝2a2x2

代入数据，解得x2＝2．5 m

故物体运动的总位移为x＝x1＋x2＝27．5 m。

答案：(1)5 m/s　(2)27．5 m

[问题探究]

2019年12月27日20时45分，长征五号遥三运载火箭(人称“胖五”)在文昌航天发射场点火升空，成功发射实战二十号卫星。现场指挥倒计时结束发出点火命令后，立刻计时，测得火箭底部通过发射架的时间约是t，如果要求出火箭受到的推力，还要知道哪些条件？不计空气阻力，火箭质量假设不变。

提示：根据牛顿第二定律F－mg＝ma可知，若想求得推力F，还要知道火箭的质量和加速度，火箭的加速度可以根据运动学公式x＝at2求得，即需要知道发射架的高度x和火箭通过发射架的时间t，综上所述除了时间t已经测得外，还要知道火箭质量m和发射架的高度x。

[要点归纳]

1．问题概述

已知物体运动情况确定受力情况，指的是在运动情况(如物体的运动性质、速度、加速度或位移)已知的条件下，要求得出物体所受的力。

2．解题思路

3．解题步骤

(1)选定研究对象，对研究对象进行运动情况分析和受力分析，并画出运动草图及受力示意图。

(2)选择合适的运动学公式，求出物体的加速度。

(3)根据牛顿第二定律列方程，求物体所受的合力。

(4)根据力的合成法或正交分解法，由合力求出待求力或与力有关的量。

[例题2]　在科技创新活动中，小华同学根据磁铁同性相斥原理设计了用机器人操作的磁力运输车(如图甲所示)。在光滑水平面AB上(如图乙所示)，机器人用大小不变的电磁力F推动质量为m＝1 kg的小滑块从A点由静止开始做匀加速直线运动。小滑块到达B点时机器人撤去电磁力F，小滑块冲上光滑斜面(设经过B点前后速率不变)，最高能到达C点。

机器人用速度传感器测量小滑块在ABC运动过程的瞬时速度大小并记录如下。求：

(1)机器人对小滑块作用力F的大小；

(2)斜面的倾角α的大小。

[解析]　(1)小滑块从A到B过程中，a1＝＝2 m/s2

由牛顿第二定律得F＝ma1＝2 N。

(2)小滑块从B到C过程中加速度大小

a2＝＝5 m/s2

由牛顿第二定律得

mgsin α＝ma2

解得α＝30°。

[答案]　(1)2 N　(2)30°

由运动情况确定受力应注意的两点问题

(1)由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合力的方向，不能将速度的方向和加速度的方向混淆。

(2)题目中所求的力可能是合力，也可能是某一特定的力，均要先进行受力分析，然后根据牛顿运动定律列式求解。

[针对训练]

1．如图所示，质量为m＝3 kg的木块放在倾角为θ＝30°的足够长的固定斜面上，木块可以沿斜面匀速下滑。若用沿斜面向上的力F作用于木块上，使其由静止开始沿斜面向上加速运动，经过t＝2 s时间木块沿斜面上升4 m的距离，则推力F的大小为(g取10 m/s2)(　　)

A．42 N　　　　　　 B．6 N

C．21 N  D．36 N

解析：选D　因木块能沿斜面匀速下滑，由平衡条件知mgsin θ＝μmgcos θ，所以μ＝tan θ；当在推力作用下加速上滑时，由运动学公式x＝at2得a＝2 m/s2，由牛顿第二定律得F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，得F＝36 N，D正确。

2．M99是我国生产的性能先进、精度高、射程远的重型狙击步枪。M99的枪管长度为1．48 m。射击时，在火药的推力下，子弹在枪管中由静止开始做匀加速运动；射出枪口时，子弹的速度为 800 m/s。已知子弹的质量为 50 g，求：

(1)子弹在枪管中加速度a的大小；

(2)子弹在枪管中受到的合力的大小。(结果都保留两位有效数字)

解析：(1)由于子弹在枪管中做匀加速直线运动，根据速度位移关系式得v2－v02＝2ax，代入数据解得

a≈2．2×105 m/s2。

(2)根据牛顿第二定律得F＝ma，代入数据解得

F＝1．1×104 N。

答案：(1)2．2×105 m/s2　(2)1．1×104 N

物体在“三类”光滑斜面上的下滑时间的比较

第一类：等高斜面(如图1所示)

由L＝at2，a＝gsin θ，L＝

可得t＝ ，

可知倾角越小，时间越长，图1中t1＞t2＞t3。

第二类：同底斜面(如图2所示)

由L＝at2，a＝gsin θ，L＝

可得t＝ ，

可见θ＝45°时时间最短，图2中t1＝t3＞t2。

第三类：等时圆(如图3和图4所示)

由2R·sin θ＝·gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3。

[示例1]　如图所示，一物体分别从高度相同、倾角不同的三个光滑斜面顶端由静止开始下滑。下列说法正确的是(　　)

A．滑到底端时的速度相同

B．滑到底端所用的时间相同

C．在倾角为30°的斜面上滑行的时间最短

D．在倾角为60°的斜面上滑行的时间最短

[解析]　设斜面高度为h，斜面倾角为θ，则斜面长度为L＝，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，根据v2＝2aL，得v＝＝ ＝，可知物体沿不同的倾角到达底端的速度大小相等，但方向不同，故速度不同，则A错误。根据匀加速直线运动的位移L

＝at2，可得t＝ ＝ ＝ ，可知倾角越大，下滑时间越短，故倾角θ＝60°时，下滑时间最短，故B、C错误，D正确。

[答案]　D

[示例2]　为使雨水尽快离开房屋的屋顶面，屋顶的倾角设计必须合理。某房屋示意图如图所示，设屋顶面光滑，倾角为θ，雨水由静止开始沿屋顶面向下流动，则理想的倾角θ为(　　)

A．30°　　　　　　　　  B．45°

C．60°  D．75°

[解析]　设屋檐的底边为L，注意底边长度是不变的。屋顶的坡面长度为s，雨滴下滑的加速度为a，对雨滴受力分析，只受重力mg和屋顶对雨滴的支持力FN，垂直于屋顶方向有FN＝mgcos θ，平行于屋顶方向有ma＝mgsin θ，雨滴的加速度a＝gsin θ，根据三角关系判断，屋顶坡面的长度s＝ ，由s＝at2得t＝ ＝ ，当θ＝45°时，t最短，故B正确。

[答案]　B

[示例3]　如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P。设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为(　　)

A．2∶1  B．1∶1

C．∶1  D．1∶

[解析]　设光滑斜槽轨道与竖直方向的夹角为θ，则重物下滑时的加速度为a＝gcos θ，由几何关系，斜槽轨道的长度s＝2(R＋r)cos θ，由运动学公式s＝at2，得t＝＝ ＝2，即所用时间t与θ无关，所以t1＝t2，B项正确。

[答案]　B

1．水平面上一个质量为m的物体，在一水平恒力F作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经时间t后撤去外力，又经时间2t物体停了下来。则物体受到的阻力应为(　　)

A．F　　       　 　B．

C．　　　         D．

解析：选C　设阻力为F阻，由牛顿第二定律得F－F阻＝ma1，F阻＝ma2，v＝a1t，v＝a2·2t，以上四式联立可得F阻＝，故选项C正确。

2．如图，一物体沿光滑斜面由静止开始从顶端下滑到底端，若用h、x、v、a分别表示物体下降的高度、位移、速度和加速度，t表示所用的时间，重力加速度为g，则下列图像中正确的是(　　)

解析：选C　物体受重力和斜面的支持力，设斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律知加速度为a＝gsin θ不变，物体做初速度为零的匀加速直线运动。位移x＝at2＝gt2sin θ，则h＝xsin θ＝gt2sin2θ，都与时间的平方成正比，故A、B错误；速度v＝at＝gsin θ·t，与时间成正比，故C正确；加速度a＝gsin θ不变，故D错误。

3．如图所示，给滑块一初速度v0使它沿倾角为30°的光滑斜面向上做匀减速运动，若重力加速度为g，则当滑块速度大小减为时，滑块运动的时间可能是(　　)

A．            B． 

C．           D．

解析：选C　滑块运动的加速度为a＝gsin 30°＝g，方向沿斜面向下，若速度向上大小为，则所用时间为t＝＝，若速度向下大小为，则所用时间为t′＝＝，故C正确，A、B、D错误。

4．如图所示，迪拜哈利法塔是目前世界最高的建筑。游客乘坐世界上最快的观光电梯，从地面开始经历加速、匀速、减速的过程恰好到达观景台只需45 s，运行的最大速度为18 m/s。一位游客用便携式拉力传感器测得：在加速阶段质量为0．5 kg的物体受到的竖直向上的拉力为5．45 N。电梯加速、减速过程视为匀变速直线运动(g取10 m/s2)。

(1)求电梯加速阶段的加速度大小及加速运动的时间；

(2)若减速阶段与加速阶段的加速度大小相等，求观景台的高度。

解析：(1)设加速阶段加速度为a，时间为t，

由牛顿第二定律得FT－mg＝ma

解得a＝0．9 m/s2

由v＝at

解得t＝20 s。

(2)加速阶段位移x1＝at2

匀速阶段位移x2＝v(t总－2t)

减速阶段位移x3＝

高度x＝x1＋x2＋x3＝450 m。

答案：(1)0．9 m/s2　20 s　(2)450 m