2022年长沙中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年长沙中考数学模拟试卷2（含答案解析），共27页。

A．﹣5B．﹣1C．0D．2
2．（3分）（2022•滑县模拟）2021年清明文化节期间，古城开封累计接待游客121.76万人次，与2019年同期相比增长45.13%；实现综合收入5.27亿元，同比增长14.1%，数据121.76万用科学记数法表示为（ ）
A．121.76×104B．1.2176×106
C．1.2176×107D．0.12176×108
3．（3分）（2021秋•大连期末）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）（2021秋•双台子区期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a9÷a3＝a6C．a2•a2＝2a2D．（﹣a2）3＝a6
5．（3分）（2022•郑州一模）一副三角板按如图所示的位置摆放，若BC∥DE，则∠1的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
6．（3分）（2022•陕西模拟）如图，AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ）
A．130°B．124°C．114°D．100°
7．（3分）（2021秋•诸暨市期末）已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四
8．（3分）（2021秋•西安期末）若一组数据2，0，3，4，6，x的众数为4，则这组数据中位数是（ ）
A．0B．2C．3D．3.5
9．（3分）（2021春•江岸区校级月考）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）（2020•青山区模拟）对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021•海拉尔区模拟）分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝ ．
12．（3分）（2022春•龙华区校级月考）如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为 ．
13．（3分）（2022春•渝中区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为 ．
14．（3分）（2020•吉林二模）设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为 ．
15．（3分）（2019秋•鼓楼区期末）如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM＝PN，所以OP平分∠AOB，理由是 ．
16．（3分）（2020春•新疆期末）七年级（5）班有A、B、C、D四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小丽同学绘制了扇形统计图（2），其中m＝ ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2021秋•方城县期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）（2021秋•澄海区期末）化简求值：[（x﹣2y）（x+y）﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝，y＝﹣1．
19．（6分）（2022春•仁怀市校级月考）（1）如图，点M代表某个公园，直线l代表公园M附近的一条公路．根据实际需要，计划在公路l上某处设置一个公交站点，并使其距离公园M最近，请在公路l上画出公交站点的位置，并写出画图依据（不需要尺规作图）；
（2）将一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，线段AB分别和DE，CE相交于点F和点G，请根据图形回答下列问题．①找出图中两条互相垂直的线段，并用符号表示出来（写出一对即可）；②找出图中两条互相平行的线段，并用符号表示出来（写出一对即可）．
20．（8分）（2021秋•西城区校级期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（结果保留小数点后一位）
（2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为0.8，求加入的白球数量．
21．（8分）（2021春•邹城市期末）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．
22．（9分）（2021春•和平区月考）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
23．（9分）（2021秋•龙凤区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．求证：BM＝MN＝NC．
24．（10分）（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+AE′的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）（2021•迁西县模拟）如图1，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．
（1）求⊙O的半径；
（2）当CD＝4时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．
2022年长沙中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•邗江区期末）在实数﹣5，﹣1，0，2中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．0D．2
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；数感．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．
【解答】解：由于正数＞0＞负数，故可先排除0、2，
因为|﹣5|＝5，|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，
而5＞2＞1，
所以﹣5＜﹣2＜﹣1，
所以比﹣2小的数是﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
2．（3分）（2022•滑县模拟）2021年清明文化节期间，古城开封累计接待游客121.76万人次，与2019年同期相比增长45.13%；实现综合收入5.27亿元，同比增长14.1%，数据121.76万用科学记数法表示为（ ）
A．121.76×104B．1.2176×106
C．1.2176×107D．0.12176×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感；应用意识．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：121.76万＝1217600＝1.2176×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2021秋•大连期末）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
【解答】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
B．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
4．（3分）（2021秋•双台子区期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a9÷a3＝a6C．a2•a2＝2a2D．（﹣a2）3＝a6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2与a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、a9÷a3＝a6，故本选项符合题意；
C、a2•a2＝a4，故本选项不合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）（2022•郑州一模）一副三角板按如图所示的位置摆放，若BC∥DE，则∠1的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠B＝45°，再由三角形的外角性质可得∠1＝∠2+∠D即可求解．
【解答】解：如图所示：
∵BC∥DE，
∴∠2＝∠B＝45°，
∴∠1＝∠2+∠D＝45°+30°＝75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
6．（3分）（2022•陕西模拟）如图，AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ）
A．130°B．124°C．114°D．100°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，
∵∠CBD＝62°，
∴∠CPA＝62°，
∴∠AOC＝2∠APC＝124°，
故选：B．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7．（3分）（2021秋•诸暨市期末）已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】根据m＜1，得m﹣1＜0，3﹣m＞0，即得一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是一、二、四象限．
【解答】解：∵m＜1，
∴m﹣1＜0，3﹣m＞0，
∴一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是一、二、四象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
8．（3分）（2021秋•西安期末）若一组数据2，0，3，4，6，x的众数为4，则这组数据中位数是（ ）
A．0B．2C．3D．3.5
【考点】众数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【分析】根据众数的意义可求出x＝4，再根据中位数的意义，排序后找出中间位置的一个数或两个数的平均数即可．
【解答】解：这组数据的众数是4，因此x＝4，将这组数据从小到大排序后，处在第3、4位的两个数的平均数为（3+4）÷2＝3.5，因此中位数是3.5，
故选：D．
【点评】考查众数、中位数的意义和求法，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，它们都反映数据集中趋势的统计量．
9．（3分）（2021春•江岸区校级月考）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，
∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
10．（3分）（2020•青山区模拟）对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【考点】有理数的加法；有理数的除法．
【专题】实数；创新意识．
【分析】按照题目规则，分别调换数字，求出三个数字，求和后除以111，即可求解．
【解答】解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，
这三个新三位数的和为648+864+486＝1998，
1998÷111＝18，
所以F（468）＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的计算，熟练掌握有理数的运算法则是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021•海拉尔区模拟）分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝ （x﹣3）（x+1）（x﹣1） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式（x﹣3），进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2（x﹣3）﹣x+3
＝x2（x﹣3）﹣（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣1）
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．（3分）（2022春•龙华区校级月考）如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为 6 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据翻折变换求出OD＝CD＝3cm，OC＝6cm，根据垂径定理求出AC＝BC，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为9cm，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OD＝CD＝9＝3（cm），OC＝OD+CD＝6cm，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，
连接OA，
由勾股定理得：AC＝＝＝3，
即AC＝BC＝3，
∴AB＝AC+BC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出AC＝BC是解此题的关键．
13．（3分）（2022春•渝中区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为 20 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【解答】解：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
故菱形的周长为4×5＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
14．（3分）（2020•吉林二模）设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为 2020 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把x＝m代入方程计算即可求出所求．
【解答】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为：2020
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．（3分）（2019秋•鼓楼区期末）如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM＝PN，所以OP平分∠AOB，理由是 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】由在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可求解．
【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，
∴OPOP平分∠AOB，（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是本题的关键．
16．（3分）（2020春•新疆期末）七年级（5）班有A、B、C、D四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小丽同学绘制了扇形统计图（2），其中m＝ 72 ．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】根据D级的人数和总人数得出D级所占的百分比，再乘以360度即可得出答案．
【解答】解：m＝360×＝72，
答：m＝72，
故答案为：72．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2021秋•方城县期末）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣+2
＝4+；
（2）原式＝2×+﹣2×+1
＝+﹣+1
＝+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，正确化简二次根式是解题关键．
18．（6分）（2021秋•澄海区期末）化简求值：[（x﹣2y）（x+y）﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝，y＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式中括号里利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[（x2+xy﹣2xy﹣2y2）﹣（x2﹣4y2）]÷（﹣2y）
＝（x2+xy﹣2xy﹣2y2﹣x2+4y2）÷（﹣2y）
＝（﹣xy+2y2）÷（﹣2y）
＝x﹣y，
当x＝，y＝﹣1时，
原式＝×+1
＝+1
＝．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
19．（6分）（2022春•仁怀市校级月考）（1）如图，点M代表某个公园，直线l代表公园M附近的一条公路．根据实际需要，计划在公路l上某处设置一个公交站点，并使其距离公园M最近，请在公路l上画出公交站点的位置，并写出画图依据（不需要尺规作图）；
（2）将一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，线段AB分别和DE，CE相交于点F和点G，请根据图形回答下列问题．①找出图中两条互相垂直的线段，并用符号表示出来（写出一对即可）；②找出图中两条互相平行的线段，并用符号表示出来（写出一对即可）．
【考点】作图—应用与设计作图；垂线；平行线的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据垂线段最短，画出图形即可；
（2）根据垂线，平行线的定义判断即可．
【解答】解：（1）如图，线段MN即为所求，理由是垂线段最短．
（2）①图中垂直的线段：DE⊥AC（答案不唯一）；
②图中，平行的线段：DE∥BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线，平行线等知识，解题的关键是掌握垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型．
20．（8分）（2021秋•西城区校级期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ．（结果保留小数点后一位）
（2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为0.8，求加入的白球数量．
【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6；
（2）根据（1）可得摸到白球的概率是0.6，再用1减去白球的概率，即可得出黑球的概率；
（3）用总的个数乘以摸到黑球的概率，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，
所以摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）由（1）可得：
白球有20×0.6＝12（个），黑球有20﹣12＝8个，
答：黑球有8只，白球有12个；
（3）设加入白球x个，
根据题意得：，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：加入的白球数量为20只．
【点评】此题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）（2021春•邹城市期末）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证△ABE≌△FCE（AAS），得AB＝FC，再由AB∥FC，证四边形ABFC是平行四边形，然后由AF＝BC即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠ACF＝90°，再由等边三角形的性质得AF＝DF＝4，CF＝DF＝3，然后由勾股定理求出AC＝3，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是▱ABCD中BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF＝DF＝6，CF＝DF＝3，
∴AC＝＝＝3，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
22．（9分）（2021春•和平区月考）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）根据两个厂家给出的优惠方案结合总价＝单价×数量，即可得出分别到两个厂家购买所需费用；
（2）分到甲厂家购买划算、到两个厂家购买费用相同及到乙厂家购买划算三种情况可得出关于x的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）到甲厂家购买所需费用为800×3+80（x﹣3×3）＝（80x+1680）元；
到乙厂家购买所需费用为（800×3+80x）×0.8＝（64x+1920）元．
（2）当到甲厂家购买划算时，80x+1680＜64x+1920，
解得：x＜15；
当到甲、乙两厂家购买费用相同时，80x+1680＝64x+1920，
解得：x＝15；
当到乙厂家购买划算时，80x+1680＞64x+1920，
解得：x＞15．
答：当9≤x＜15时，到甲厂家购买更划算；当x＝15时，到两个厂家购买费用相同；当x＞15时，到乙厂家购买更划算．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）．
23．（9分）（2021秋•龙凤区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．求证：BM＝MN＝NC．
【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】连接AM、AN，根据线段垂直平分线性质推出BM＝AM，CN＝AN，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠BAM＝∠CAN，∠B＝∠C，根据ASA证△BAM≌△CAN，推出AM＝AN，证出△AMN是等边三角形即可．
【解答】证明：连接AM、AN，
在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵ME、NF分别垂直平分AB、AC，
∴AM＝BM，AN＝NC，
∴∠MBA＝∠MAB＝30°，∠NAC＝∠NCA＝30°，
∴∠MAN＝60°，
在△ABM和△ANC中，
∵，
∴△ABM≌△ANC，
∴AM＝AN，
△AMN为等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，
∴BM＝MN＝NC．
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，通过做此题能培养学生综合运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中，综合性比较强．
24．（10分）（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+AE′的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）先取OE的三等分点D，得出DE'＝AE'，当B，E'，D三点共线时即为最小值；
（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程组，即可求出N点的坐标．
【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
∴b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）在OE上取一点D，使得OD＝OE，
连接DE'，BD，
∵，对称轴x＝﹣1，
∴E（﹣1，0），OE＝1，
∴OE'＝OE＝1，OA＝3，
∴，
又∵∠DOE'＝∠E'OA，
△DOE'∽△E'OA，
∴，
∴，
当B，E'，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，
BD＝＝，
∴的最小值为；
（3）存在，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
设N（n，﹣n2﹣2n+3），
则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，
∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，
∴△ABN是直角三角形，
若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2，
即18＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，
解得：n1＝，，
∴N的横坐标为或，
若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，
即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+n2+（n2+2n）2，
解得n＝0（与点B重合，舍去）或n＝﹣1，
∴N的横坐标是﹣1，
若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，
即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，
解得n＝﹣3（与点A重合，舍去）或n＝2，
∴N的横坐标为2，
综上N的横坐标为，，﹣1，2．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质．
25．（10分）（2021•迁西县模拟）如图1，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．
（1）求⊙O的半径；
（2）当CD＝4时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可．
（2）连接OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论．
（3）如图2中，连接OM，OC．证明OM⊥AD，推出点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．求出CJ．JM，根据CM≤CJ+JM＝2+2，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝4，
∴AB＝＝＝8，
∴⊙O的半径为4．
（2）如图1中，连接OC，OD．
∵CD＝4，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
（3）如图2中，连接OM，OC．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ＝＝2，
∵CM≤CJ+JM＝2+2，
∴CM的最大值为2+2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601