2022年重庆中考数学模拟试卷3（含答案解析）

这是一份2022年重庆中考数学模拟试卷3（含答案解析），共42页。

2022年重庆中考数学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）（2022•武功县模拟）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（4分）（2021秋•岚皋县期末）长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　）
A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1
3．（4分）（2021春•建华区期末）一个物体在天平上两次称的情况如图所示，则这个物体的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）（2021秋•韩城市期末）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
5．（4分）（2020秋•肥城市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD上一点，若∠DAB＝40°，则∠BCD的度数是（　　）

A．70° B．40° C．140° D．50°
6．（4分）（2022春•赵县月考）的结果是（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．
7．（4分）（2020秋•永城市期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
8．（4分）（2021秋•福田区校级期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③b＝800；④a＝34，其中正确的结论个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（4分）（2020春•鞍山期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF，AF与BE交于点G，取BF中点H，连接GH，则下列结论：①AF＝BE；②BF＝2GH；③△ABG与四边形EGFD面积相等，正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（4分）（2020秋•九龙坡区校级月考）重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A点测得佛顶仰角为37°，接着向大佛走了10米来到B处，再经过一段坡度i＝4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C处，此时与大佛的水平距离DH＝6.2米（其中点A、B、C、E、F在同一平面内，点A、B、F在同一条直线上），请问大佛的高度EF为（　　）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．

A．15米 B．16米 C．17米 D．18米
11．（4分）（2020秋•大足区期末）关于x的方程的解为整数．且关于x的不等式组的解集为x≤﹣5．则满足条件的所有整数a值之和为（　　）
A．5 B．3 C．4 D．0
12．（4分）（2021•沙坪坝区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，AB＝AO，∠BAO＝90°，O为坐标原点，B在x轴负半轴上，A位于x轴上方且为反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过B作BC⊥x轴交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，若△BDO的面积为，则k的值是（　　）

A．﹣ B．﹣16 C．﹣ D．﹣25
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）（2021春•九龙坡区期末）计算：﹣12021+|2﹣|+（π﹣3）0＝　 　．
14．（4分）（2021•通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 　 　．

15．（4分）（2022•温州模拟）关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解是x＝1，现给出另一个关于x的方程2a（x﹣1）＝（a+1）（x﹣1）+6，则它的解是 　 　．
16．（4分）（2020•龙口市模拟）如图，矩形ABCD中，对角线相交于O，以D为圆心，CD长为半径画弧，交AD于F，点O在圆弧上，若AB＝4，则阴影部分的面积为　 　 　．

17．（4分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝4，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为MN；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C落在C′处，折痕为FH，则tan∠EHF＝　 　．

18．（4分）（2018秋•渝北区期末）《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”（译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？）若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡　 　只．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•渝北区校级期中）计算：
（1）（2a﹣b）2﹣b（2a+b）；
（2）（﹣a﹣1）÷．
20．（10分）（2020•高新区校级三模）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），
七年级10名学生的成绩是：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由．
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？

21．（10分）（2020•三水区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上．
（1）过点E作BD的平行线交DC于点G、交AD的延长线于点F．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若＝，BE＝2，求BC的长．

22．（10分）（2021春•商水县期末）小南根据学习函数的经验，对函数y＝a|x﹣2|+b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
n
﹣2
﹣1
…
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 　 　，自变量x的取值范围为 　 　；
（2）n的值为 　 　；点（，﹣） 　 　该函数图象上；（填“在”或“不在”）
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：　 　；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象回答，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为 　 　．
23．（10分）（2021•两江新区模拟）运动鞋是根据人们参加运动或旅游的特点设计制造的鞋子，它的鞋底和普通的皮鞋、胶鞋不同，一般都是柔软而富有弹性的，能起一定的缓冲作用，运动时可增强弹性，防止脚踝受伤，所以在进行体育运动时，大家都喜欢穿运动鞋．某商店有A、B两种运动鞋，A种运动鞋每双150元，B种运动鞋每双180元，4月最后一周销售A、B两种运动鞋共50双，总销售额为8100元．
（1）4月最后一周售出A种运动鞋多少双？
（2）五一小长假，该商店为吸引更多顾客，对A、B两种运动鞋进行促销．A种运动鞋的价格在4月最后一周的基础上优惠了a%，B种运动鞋的价格不变．小长假期间，顾客明显增多，结果5月第一周A种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了a%，B种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了a%，总销售额在4月最后一周的基础上增加了a%，求a的值．
24．（10分）（2021秋•渝北区期末）一个三位数a，各数位上数字不全相等且均不为0，将a的个位数字与前两位数字交换位置得到一个新的三位数为a'．记G（a）＝，若G（a）能被8整除，则称该三位数a为“8仙数”．
例如：三位数493，∵G（493）＝＝16，16能被8整除，∴493是“8仙数”；
又如：三位数936，∵G（936）＝＝27，27不能被8整除，∴936不是“8仙数”．
（1）判断635，541是不是“8仙数”？并说明理由；
（2）若一个三位数a是“8仙数”，且个位数字等于百位数字与十位数字之和，求满足条件的所有三位数a．
25．（10分）（2021秋•汉阳区校级月考）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；
（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．


26．（8分）（2019秋•金湖县期末）问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：
△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　 　°
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　 　．
拓展延伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．
②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．


2022年重庆中考数学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）（2022•武功县模拟）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点评】本题考查相反数，理解相反数的定义是正确解答的关键．
2．（4分）（2021秋•岚皋县期末）长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　）
A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1
【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
（2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1，
∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1，
故选：C．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
3．（4分）（2021春•建华区期末）一个物体在天平上两次称的情况如图所示，则这个物体的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观．
【分析】根据天平列出不等式组，确定出解集即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：40＜m＜50，
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（4分）（2021秋•韩城市期末）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．1：4 B．1：2 C．1：9 D．1：3
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，根据相似三角形的性质、相似多边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝＝，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为1：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．
5．（4分）（2020秋•肥城市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD上一点，若∠DAB＝40°，则∠BCD的度数是（　　）

A．70° B．40° C．140° D．50°
【考点】圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠A＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠DAB＝180°，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BCD＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
6．（4分）（2022春•赵县月考）的结果是（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据平方差公式以及同底数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝[（+3）（﹣3）]2019（+3）
＝（10﹣9）2019（+3）
＝+3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
7．（4分）（2020秋•永城市期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力；应用意识．
【分析】由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，用（SSS）证明两个三角形全等，推∠O＝∠NCB，推CN∥OA．
【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，
在△OMD与△CEN中
，
∴△OMD≌△CEN（SSS）；
∴∠O＝∠NCB，
∴CN∥OA．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握用（SSS）证明两个三角形全等，看懂尺规作图的方法是解题关键．
8．（4分）（2021秋•福田区校级期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③b＝800；④a＝34，其中正确的结论个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；应用意识．
【分析】根据函数图象中的数据，可以直接看出A，B之间的距离，从而可以判断①；根据已知，可以先计算乙的速度，然后再计算出甲的速度，从而可以判断②；根据图象中的数据和题意，可以求得甲和乙的速度之和，从而可以得到b的值，从而可以判断③；根据③中的结果和图象，可以求得a的值，从而可以判断④．
【解答】解：由图象可得，
A，B之间的距离为1200m，故①正确；
乙的速度为：1200÷（24﹣4）＝60（m/min），
甲的速度为：1200÷12﹣60＝100﹣60＝40（m/min），
60÷40＝1.5，
即乙行走的速度是甲的1.5倍，故②正确；
甲乙的速度之和为：1200÷12＝100（m/min），则b＝（24﹣12﹣4）×100＝800，故③正确；
a＝1200÷40+4＝30+4＝34，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，从图象中获取解答本题的信息是解答本题的关键．
9．（4分）（2020春•鞍山期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF，AF与BE交于点G，取BF中点H，连接GH，则下列结论：①AF＝BE；②BF＝2GH；③△ABG与四边形EGFD面积相等，正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF，故①正确；
∵△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵点H是BF的中点，
∴BF＝2GH，故②正确；
∵△BAE≌△ADF，
∴S△ABG+S△AGE＝S△AGE+S四边形EGFD，
∴△ABG与四边形EGFD面积相等，故③正确；
故选：D．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（4分）（2020秋•九龙坡区校级月考）重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A点测得佛顶仰角为37°，接着向大佛走了10米来到B处，再经过一段坡度i＝4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C处，此时与大佛的水平距离DH＝6.2米（其中点A、B、C、E、F在同一平面内，点A、B、F在同一条直线上），请问大佛的高度EF为（　　）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．

A．15米 B．16米 C．17米 D．18米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过点C作CM⊥BF于点M，过点G作GN⊥EF于点N，设CM＝4x，BM＝3x，得出（4x）2+（3x）2＝52，解得x＝1，求出BM＝3米，解直角三角形求出EN的长，则可求出答案．
【解答】解：过点C作CM⊥BF于点M，过点G作GN⊥EF于点N，

∵斜坡BC的坡度i＝4：3，BC＝5米，
∴设CM＝4x，BM＝3x，
∴（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
∴CM＝4米，BM＝3米，
由题意可知四边形DHFM和四边形AGNF是矩形，
∴DH＝FM＝6.2米，
∵AB＝10米，
∴AF＝GN＝AB+BM+MF＝10+3+6.2＝19.2米，
在Rt△ENG中，∵∠EGN＝37°，
∴tan37°＝≈0.75，
∴EN＝0.75×NG＝0.75×19.2＝14.4米，
∴EF＝EN+NF＝14.4+1.6＝16米．
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．（4分）（2020秋•大足区期末）关于x的方程的解为整数．且关于x的不等式组的解集为x≤﹣5．则满足条件的所有整数a值之和为（　　）
A．5 B．3 C．4 D．0
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】按照解分式方程的步骤先求出x的值，再解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求出a的取值范围，然后进行计算即可．
【解答】解：
3（2﹣x）＝x（a﹣1）
解得：x＝，
关于x的不等式组
解不等式①得：x≤﹣5，
解不等式②得：x≤3+4a，
∵不等式组的解集为x≤﹣5，
∴3+4a≥﹣5，
∴a≥﹣2，
∵关于x的方程的解为整数，
∴为整数，
综上条件，a的值为：0，1，﹣1，4，
∴0+1+（﹣1）+4＝4，
则满足条件的所有整数a值之和为4，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（4分）（2021•沙坪坝区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，AB＝AO，∠BAO＝90°，O为坐标原点，B在x轴负半轴上，A位于x轴上方且为反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过B作BC⊥x轴交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，若△BDO的面积为，则k的值是（　　）

A．﹣ B．﹣16 C．﹣ D．﹣25
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，利用等腰直角三角形性质可得AF＝OF＝FB＝OB，再由AF∥BC，可得，BC＝2EF，设OF＝a，则OB＝2a，可得AF＝2BC＝4EF，AE＝3EF，应用相似三角形性质及三角形面积可由△BCD的面积为，求得△ABO的面积，应用|k|的几何意义求k．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，

∵∠BAO＝90°，OA＝AB，AF⊥OB，
∴AF＝OF＝FB＝OB，
∵BC⊥OB，
∴AF∥BC，
∴，，
∴BC＝2EF，
设OF＝a，则BF＝AF＝a，OB＝2a，
∴A（﹣a，a），C（﹣2a，），
又k＝﹣a2，
∴C（﹣2a，a），
∴BC＝a，EF＝＝a，
∴AE＝AF﹣EF＝，
∴＝，
∴＝＝，
∵△BDO的面积为，
∴S△AOD＝，
∴S△ABO＝16，即OB•AF＝16，
∴＝16，
∴a＝4，
∴k＝﹣a2＝﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，三角形的面积，知道|k|＝S△ABO是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）（2021春•九龙坡区期末）计算：﹣12021+|2﹣|+（π﹣3）0＝　2﹣　．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣+1
＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
14．（4分）（2021•通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 　　．

【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）（2022•温州模拟）关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解是x＝1，现给出另一个关于x的方程2a（x﹣1）＝（a+1）（x﹣1）+6，则它的解是 　x＝2　．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】将x＝1代入方程求出a的值，将a的值代入到另一个方程中即可得出答案．
【解答】解：将x＝1代入2ax＝（a+1）x+6得：
2a＝a+1+6，
∴a＝7，
代入到2a（x﹣1）＝（a+1）（x﹣1）+6得：
14（x﹣1）＝8（x﹣1）+6，
∴6（x﹣1）＝6，
∴x﹣1＝1，
∴x＝2，
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，将方程的解代入方程求出a的值是解题的关键．
16．（4分）（2020•龙口市模拟）如图，矩形ABCD中，对角线相交于O，以D为圆心，CD长为半径画弧，交AD于F，点O在圆弧上，若AB＝4，则阴影部分的面积为　 　12﹣4π　．

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，推出△OCD是等边三角形，得到∠DCO＝60°，求得AD＝4，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∵CD＝OC，
∴CD＝OD＝OC，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∵∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴S阴＝S矩形﹣S△AOB﹣S扇形DFC＝AD•CD﹣AB•﹣＝4×﹣﹣4π＝12﹣4π，
故答案为12﹣4π．
【点评】本题考查扇形的面积公式，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式以及三角形的面积公式，本题属于中等题型．
17．（4分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝4，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为MN；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C落在C′处，折痕为FH，则tan∠EHF＝　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】利用折叠的性质，将所求的∠EHF转化为求∠EBN，即可求解．
【解答】解：连接BE，过点E作EG⊥BC于点G，如图：

在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝4，点E是AD的中点，
∴AE＝BG＝AD＝BC＝2，EG＝AB＝4，
由折叠性质可得：
HF⊥EN，BE⊥MN，∠MEN＝∠ABC＝90°，∠EHF＝∠NHF，∠BMN＝∠EMN，
∴HF∥ME，
∴∠NHF＝∠EMN，
∴∠EHF＝∠BMN，
∵∠EBN＝90°﹣∠ABE＝∠BMN，
∴∠EHF＝∠EBN，
∵tan∠EBN＝＝＝，
∴tan∠EHF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查图形折叠的性质，矩形的性质，角度的转化等知识点，解题的关键在于推出∠EHF＝∠EBN，
18．（4分）（2018秋•渝北区期末）《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”（译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？）若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡　84　只．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设公鸡买了x只，母鸡买了y只，则小鸡买了（100﹣x﹣y）只，根据总价＝单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数、x≥y且x+y≤20，即可得出x，y的值，再将其代入（100﹣x﹣y）中即可得出结论．
【解答】解：设公鸡买了x只，母鸡买了y只，则小鸡买了（100﹣x﹣y）只，
依题意，得：5x+3y+（100﹣x﹣y）＝100，
∴y＝25﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，．
∵x≥y，且x+y≤20，
∴x＝12，y＝4，
∴100﹣x﹣y＝84．
故答案为：84．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•渝北区校级期中）计算：
（1）（2a﹣b）2﹣b（2a+b）；
（2）（﹣a﹣1）÷．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】计算题；整式；分式；运算能力．
【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后再算加减；
（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣2ab﹣b2
＝4a2﹣6ab；
（2）原式＝[]
＝
＝﹣．
【点评】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式的结构及通分和约分的技巧是解题关键．
20．（10分）（2020•高新区校级三模）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），
七年级10名学生的成绩是：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由．
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？

【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）利用扇形统计图，用1分别减去A、B、C组的百分比可得到a的值；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）利用样本估计总体，把1200乘以样本中七、八年级的优秀率即可．
【解答】解：（1）a%＝1﹣10%﹣20%﹣×100%＝40%，则a＝40；
b＝＝93；
c＝99；
（2）八年级掌握得更好．
理由如下：因为七八年级的平均数、中位数相同，而八年级的众数比七年级高，说明八年级高分的同学更多；八年级方差比七年级小，说明八年级两极分化差距小．
（3）1200×＝780，
所以参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为780名．
【点评】本题考查了方差：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了众数和中位数．
21．（10分）（2020•三水区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上．
（1）过点E作BD的平行线交DC于点G、交AD的延长线于点F．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若＝，BE＝2，求BC的长．

【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可作出图形；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到AF∥BC，由于EF∥BD，推出四边形BDFE是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论根据相似三角形的性质得＝，即＝，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图，GF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，
∵EF∥BD，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BE＝DF；
∵BE＝2，
∴DF＝2，
∵AF∥BC，
∴△DGF∽△CGE，
∴＝，即＝，
∴EC＝4，
∴BC＝BE+EC＝2+4＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）（2021春•商水县期末）小南根据学习函数的经验，对函数y＝a|x﹣2|+b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
n
﹣2
﹣1
…
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 　y＝|x﹣2|﹣3　，自变量x的取值范围为 　x是任意实数；　；
（2）n的值为 　﹣3　；点（，﹣） 　不在　该函数图象上；（填“在”或“不在”）
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：　函数有最小值﹣3　；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象回答，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为 　﹣2＜x＜4　．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，根据表格数据即可求得自变量的取值范围；
（2）把x＝2代入解析式，即可求得n的值，把x＝代入解析式求得函数值，即可判断点（，﹣）是否在该函数图象上；
（3）描点、连线，画出函数图象即可；
（4）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把点（﹣1，0）和（0，﹣1）代入y＝a|x﹣2|+b得，
解得，
∴该函数的解析式为y＝|x﹣2|﹣3，自变量x的取值范围为x是任意实数；
故答案为y＝|x﹣2|﹣3，x是任意实数；
（2）把x＝2代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣3，
∴n＝﹣3；
把x＝代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣≠﹣，
∴点（，﹣） 不在该函数图象上；
故答案为﹣3，不在；
（3）画出函数图象如图：

（4）结合函数的图象，
①写出该函数的一条性质：函数有最小值﹣3；
故答案为函数有最小值﹣3；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象可知，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜4，
故答案为﹣2＜x＜4．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，画出函数图象，数形结合是解题的关键．
23．（10分）（2021•两江新区模拟）运动鞋是根据人们参加运动或旅游的特点设计制造的鞋子，它的鞋底和普通的皮鞋、胶鞋不同，一般都是柔软而富有弹性的，能起一定的缓冲作用，运动时可增强弹性，防止脚踝受伤，所以在进行体育运动时，大家都喜欢穿运动鞋．某商店有A、B两种运动鞋，A种运动鞋每双150元，B种运动鞋每双180元，4月最后一周销售A、B两种运动鞋共50双，总销售额为8100元．
（1）4月最后一周售出A种运动鞋多少双？
（2）五一小长假，该商店为吸引更多顾客，对A、B两种运动鞋进行促销．A种运动鞋的价格在4月最后一周的基础上优惠了a%，B种运动鞋的价格不变．小长假期间，顾客明显增多，结果5月第一周A种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了a%，B种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了a%，总销售额在4月最后一周的基础上增加了a%，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设4月最后一周售出A种运动鞋x双，则售出B种运动鞋（50﹣x）双，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用总销售额＝销售单价×销售数量，结合总销售额在4月最后一周的基础上增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设4月最后一周售出A种运动鞋x双，则售出B种运动鞋（50﹣x）双，
依题意得：150x+180（50﹣x）＝8100，
解得：x＝30．
答：4月最后一周售出A种运动鞋30双．
（2）依题意得：150（1﹣a%）×30（1+a%）+180×（50﹣30）（1+a%）＝8100（1+a%），
整理得：0.036a2﹣1.8a＝0，
解得：a1＝50，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为50．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）（2021秋•渝北区期末）一个三位数a，各数位上数字不全相等且均不为0，将a的个位数字与前两位数字交换位置得到一个新的三位数为a'．记G（a）＝，若G（a）能被8整除，则称该三位数a为“8仙数”．
例如：三位数493，∵G（493）＝＝16，16能被8整除，∴493是“8仙数”；
又如：三位数936，∵G（936）＝＝27，27不能被8整除，∴936不是“8仙数”．
（1）判断635，541是不是“8仙数”？并说明理由；
（2）若一个三位数a是“8仙数”，且个位数字等于百位数字与十位数字之和，求满足条件的所有三位数a．
【考点】因式分解的应用；列代数式．
【专题】新定义；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）设这个三位数a的百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据题意列出代数式，求出所有可能的值即可．
【解答】解：（1）635是“8仙数”，541不是“8仙数”，理由如下：
∵G（635）＝＝8，8能被8整除，
∴635是“8仙数”；
∵G（541）＝＝43，43不能被8整除，
∴541不是“8仙数”；
（2）设这个三位数a的百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则a＝100b+10c+d，
a'＝100d+10b+c，
G（a）＝＝，
∵d＝b+c，
∴G（a）＝＝＝＝b+10c，
∵a是“8仙数”，
∴b+10c能被8整除，
故符合条件的值有：b＝6，c＝1，d＝7；
b＝4，c＝2，d＝6；
b＝2，c＝3，d＝5；
即满足条件的三位数a为617或426或235．
【点评】本题主要考查列代数式的知识，明确“8仙数”的定义是解题的关键．
25．（10分）（2021秋•汉阳区校级月考）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；
（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．


【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）设OA＝m，m＞0，由题意得：A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，3m），再利用待定系数法即可；
（2）如图2，过点H作HM∥y轴交FG于点M，设直线EH的解析式为y＝px+7，根据题意得：关于x的方程x2+（p﹣2）x+4＝0的根的判别式等于0，即可求得p＝﹣2，再利用根与系数关系可求得xG﹣xF＝＝＝，进而可得S△FGH＝×（xG﹣xF）×HM＝4，再运用二次函数最值求法得出答案；
（3）当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，使∠EPF＝90°，当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），使∠EPF＝90°，当⊙R与x轴相离时，不存在点P即可求解．
【解答】解：（1）设OA＝m，m＞0，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝OC＝3m，
∴A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，3m），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b经过A、B、C三点，
∴，
解得：，
∴抛物抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图2，过点H作HM∥y轴交FG于点M，
∵直线EH与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，
设直线EH的解析式为y＝px+7，
则px+7＝﹣x2+2x+3，
整理得：x2+（p﹣2）x+4＝0，
∴Δ＝（p﹣2）2﹣4×1×4＝0，
解得：p＝﹣2或p＝6（舍去），
∴y＝﹣2x+7，
∴﹣2x+7＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝x2＝2，
∴H（2，3），M（2，﹣5），
∴HM＝3﹣（﹣5）＝8，
由题意得：kx﹣2k﹣5＝﹣x2+2x+3，
整理得：x2+（k﹣2）x﹣2k﹣8＝0，
∴xF+xG＝2﹣k，xF•xG＝﹣2k﹣8，
∴xG﹣xF＝＝＝，
∴S△FGH＝×（xG﹣xF）×HM＝4＝4，
∴当k＝﹣2时，△FGH面积最小，△FGH面积的最小值为16；
（3）当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，使∠EPF＝90°，
当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），使∠EPF＝90°，当⊙R与x轴相交，经过点（，0）时，在x轴上存在一个点P（即另一个交点），当⊙R与x轴相离时，不存在点P．
①如下图，⊙R与x轴相切时，切点为P，
设：点E、F的坐标分别为：（x1，y1）、（x2，y2），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴原抛物线顶点为D（1，4），
∵将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿直线l：y＝2x﹣1方向平移，平移后的抛物线顶点D′横坐标为m，
∴DD′∥l，
设直线DD′的解析式为y＝2x+d，将D（1，4）代入，得4＝2×1+d，
解得：d＝2，
∴直线DD′的解析式为y＝2x+2，
∴平移后的抛物线顶点为D′（m，2m+2），
∴平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+2m+2，
将上式与y＝2x﹣1联立并整理得：x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3＝0，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m﹣3，
∴y1+y2＝2（x1+x2）﹣2＝4m﹣6，
∴R（m﹣1，2m﹣3），
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
PR＝EF，即：EF2＝4PR2，
EF2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5×16＝4PR2＝4（2m﹣3）2，
解得：m＝，
②当⊙R与x轴交于点（，0）时，如图4，
则﹣（﹣m）2+2m+2＝0，
解得：m＝﹣或；
故m的值是：﹣或或或．




【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数图象和性质、二次函数的最值、根的判别式运用、圆的基本知识、根与系数关系的运用、图形的平移等，利用辅助圆是解题关键．
26．（8分）（2019秋•金湖县期末）问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：
△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　135　°
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　13　．
拓展延伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．
②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．

【考点】几何变换综合题．
【专题】综合题；运算能力；推理能力．
【分析】简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，再根据勾股定理得出PP'＝CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论；
拓展延伸：①先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：简单应用：（1）如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将
△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，
∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，
∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，
根据勾股定理得，PP'＝CP＝4，
∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，
∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，
∴∠BPP'＝90°，
∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，
故答案为：135；

（2）如图3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，
∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，
根据勾股定理得，BP'＝＝13，
∴CP＝13，
故答案为：13；

拓展延伸：①如图4，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，
∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCD'＝180°，
∴点D'在DC的延长线上，
∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，
在Rt△DBD'中，DD'＝BD，
∴BD＝CD+AD；

②如图5，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，
∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，
AB与CD的交点记作G，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝90°，
∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＝∠BAD'，
∴点D'在AD的延长线上，
∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，
在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝．




【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三点共线，利用旋转作出辅助线是解本题的关键．