2022年北京中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年北京中考数学模拟试卷2（含答案解析），共33页。试卷主要包含了已知，则yx＝　 　，因式分解等内容，欢迎下载使用。

2022年北京中考数学模拟试卷2
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2020秋•凤县期末）如图是由下列哪个立体图形展开得到的？（　　）

A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
2．（2分）（2021秋•江州区期末）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里．数字192000000用科学记数法表示为（　　）
A．19.2×107 B．19.2×108 C．1.92×108 D．1.92×109
3．（2分）（2021秋•句容市期末）如图，OA⊥OB于O，直线CD经过O，∠AOD＝35°，则∠BOC的度数是（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°
4．（2分）（2022•中山市一模）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2分）（2022•海淀区校级模拟）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．|a|＜2 B．|b|＜1 C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
6．（2分）（2021•昌平区二模）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）（2021•徐州二模）已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
8．（2分）（2022春•金安区校级月考）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2021秋•邗江区期末）已知，则yx＝　 　．
10．（2分）（2021秋•船山区校级期末）因式分解：﹣x2+xy﹣y2＝　 　．
11．（2分）（2021春•淮阳区校级期末）当x的值是 　 　时，代数式和的值互为相反数．
12．（2分）（2021秋•成华区期末）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为 　 　．

13．（2分）如图，⊙O的半径为3cm，圆外一点P到圆心的距离OP为5cm，PA、PB与⊙O相切于A，B，则点P到⊙O的切线长PA＝　 　cm，∠APO＝∠　 　．

14．（2分）（2021春•兴文县期中）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③DF＝NF；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中正确的结论是 　 　．

15．（2分）（2021春•漳州期末）一组数据方差的计算公式为S2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（xn﹣4）2]，则该组数据的总和是 　 　．
16．（2分）（2022•大渡口区模拟）某食品店推出两款袋装营养早餐配料，甲种每袋装有10克花生，10克芝麻，10克核桃；乙种每袋装有20克花生，5克芝麻，5克核桃．甲、乙两款袋装营养早餐配料每袋成本价分别为袋中花生、芝麻、核桃的成本价之和．已知花生每克成本价0.02元，甲款营养早餐配料的售价为2.6元，利润率为30%，乙款营养早餐配料每袋利润率为20%．若这两款袋装营养早餐配料的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两款袋装营养早餐配料的数量之比是 　 　．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•台儿庄区期末）计算：．
18．（5分）（2022•雁塔区校级二模）解不等式组：．
19．（5分）（2021秋•澄海区期末）化简求值：[（x﹣2y）（x+y）﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝，y＝﹣1．
20．（5分）（2021秋•鄞州区期末）如图，在9×4的方格纸ABCD中，每个小正方形的边长均为1，点E为格点（注：小正方形顶点称为格点）．请仅用无刻度直尺按要求画图．
（1）在CD边上找一点P，连结AP，使△AEP是等腰三角形；
（2）在AB边上找一点Q，使EQ⊥AP，画出线段EQ．

21．（6分）（2022•中山市一模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
22．（6分）（2018秋•雨花区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC＝12，cos∠ABD＝，求BD的长．

23．（5分）（2021秋•金安区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）当x＞﹣2时，对x的每个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围为 　 　．
24．（6分）（2021•洪洞县二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝∠BCE；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长．

25．（5分）（2018春•椒江区校级期中）某校组织了一次关于“金砖5国”的知识竞赛，根据获奖的同学们在竞赛中的成绩制成了如图的频数分布直方图，已知组别95≤x＜100的频率为0.1．请仔细阅读图表解答问题：
（1）计算这次获奖的总人数，并补全分数分布直方图．
（2）获奖的中位数在哪个分数段？
（3）请估算这些获奖同学的成绩平均分．

26．（6分）（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．

27．（7分）（2021秋•凉山州期末）如图，在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°．△FDE中，∠DFE＝60°，将△FDE的顶点F与△ABC的顶点A重合，边FD从AB边开始绕点A逆时针旋转，旋转过程中FD与直线BC的交点为N，FE与直线BC的交点为M．
（1）点P在线段BC上，连接AP．如图（1），△FDE在旋转过程中，当FD平分∠BAP时，求证：FE平分∠CAP；
（2）△FDE在旋转过程中，如图（2），当∠BAN＝45°时，探究线段BN，MN，MC之间的数量关系，并用你所学的知识证明你的结论．

28．（7分）（2021•临安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、EF．
（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；
（2）求证：∠BAC＝∠CEF；
（3）是否存在点D，使得△CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．


2022年北京中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2020秋•凤县期末）如图是由下列哪个立体图形展开得到的？（　　）

A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【考点】几何体的展开图．
【专题】几何图形；空间观念．
【分析】三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形．
【解答】解：由图可得，该展开图是由三棱柱得到的，
故选：C．
【点评】此题主要考查了几何体展开图，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
2．（2分）（2021秋•江州区期末）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里．数字192000000用科学记数法表示为（　　）
A．19.2×107 B．19.2×108 C．1.92×108 D．1.92×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：192000000＝1.92×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2021秋•句容市期末）如图，OA⊥OB于O，直线CD经过O，∠AOD＝35°，则∠BOC的度数是（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由垂线的定义可知∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝55°，由于∠BOC＝180°﹣∠BOD，从而可求出答案．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD
＝90°﹣35°
＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD
＝180°﹣55°
＝125°，
故选：B．
【点评】本题考查垂线的定义，解题的关键正确运用垂线的定义求出相关的角的度数，本题属于基础题型．
4．（2分）（2022•中山市一模）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6，
故选：A．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算是解答此题的关键．
5．（2分）（2022•海淀区校级模拟）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．|a|＜2 B．|b|＜1 C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】由题知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，进而解决此题．
【解答】解：由题知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1．
∴|a|＞2，|b|＜1，a+b＜0，b﹣a＞0，
∴B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．
6．（2分）（2021•昌平区二模）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有4个等可能的结果，小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的结果有2个，
∴小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2分）（2021•徐州二模）已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】先估算出的范围，即可求得答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解题关键．
8．（2分）（2022春•金安区校级月考）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），列出方程组，推导出p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.6125，由此能得到最佳加工时间．
【解答】解：由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），
代入得：，
解得：，
∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，
∴得到最佳加工时间为3.75分钟．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2021秋•邗江区期末）已知，则yx＝　16　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
∴yx＝（﹣4）2＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（2分）（2021秋•船山区校级期末）因式分解：﹣x2+xy﹣y2＝　﹣（x﹣y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：﹣x2+xy﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）
＝﹣（x﹣y）2，
故答案为：﹣（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11．（2分）（2021春•淮阳区校级期末）当x的值是 　3　时，代数式和的值互为相反数．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【分析】根据相反数的概念列出方程，然后将分式方程转化为整式方程，解方程，注意结果要进行检验．
【解答】解：由题意可得：，
去分母，得：x﹣5﹣（4﹣2x）＝0，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣8≠0，
∴x＝3是原分式方程的解，
故答案为：3．
【点评】本题考查解分式方程，理解互为相反数的两个数和为零，掌握解分式方程的步骤是解题关键．注意分式方程的结果要进行检验．
12．（2分）（2021秋•成华区期末）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为 　　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得∴A（k，），然后根据勾股定理得到（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．
【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD＝OE＝1，
把y＝1代入y＝，求得x＝k，
∴B（k，1），
∴OD＝k，
∵OC＝OD，
∴OC＝k，
∵AC⊥x轴于点C，
把x＝k代入y＝得，y＝，
∴AE＝AC＝，
∵OC＝EF＝k，AF＝﹣1＝，
在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，
∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，
∵在第一象限，
∴k＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，表示出线段的长度是解题的关键．
13．（2分）如图，⊙O的半径为3cm，圆外一点P到圆心的距离OP为5cm，PA、PB与⊙O相切于A，B，则点P到⊙O的切线长PA＝　4　cm，∠APO＝∠　APB　．

【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据切线可得∠PAO＝90°，根据勾股即可求出PA；再证明△PAO≌△PBO即可得出答案．
【解答】解：∵PA、PB与⊙O相切于A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵OP＝OP，OA＝OB，
∴△OAP≌△OBP（HL），
∴∠APO＝∠BPO，
∴∠APO＝∠APB，
∵OA＝3cm，OP＝5cm，
∴AP＝＝4cm，
故答案为：4；APB．
【点评】本题考查切线的性质，熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一性质是解题关键．
14．（2分）（2021春•兴文县期中）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③DF＝NF；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中正确的结论是 　①②④　．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；DE＝BF；根据平行四边形的性质得到EM∥FN，故②正确；根据平行线的性质得到∠FDN＝∠AED，推出AM⊥DE，而AN不一定等于MN，得到DF≠FN，故③错误；根据平行四边形的判定定理得到四边形DEBF是平行四边形，根据等边三角形的性质得到∠ADO＝∠DAN＝60°，推出四边形DEBF是菱形；故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∴∠DNF＝∠DEM，
∵DC∥AB，
∴∠FDN＝∠AED，
∵AM⊥DE，而AN不一定等于MN，
∴∠AED≠∠DEM，
∴∠FDN≠∠FND，
∴DF≠FN，故③错误；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
故答案为：①②④．

【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
15．（2分）（2021春•漳州期末）一组数据方差的计算公式为S2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（xn﹣4）2]，则该组数据的总和是 　32　．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【分析】样本方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解．
【解答】解：由S2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（xn﹣4）2]知共有8个数据，这8个数据的平均数为4，
则该组数据的总和为：8×4＝32；
故答案为：32．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．
16．（2分）（2022•大渡口区模拟）某食品店推出两款袋装营养早餐配料，甲种每袋装有10克花生，10克芝麻，10克核桃；乙种每袋装有20克花生，5克芝麻，5克核桃．甲、乙两款袋装营养早餐配料每袋成本价分别为袋中花生、芝麻、核桃的成本价之和．已知花生每克成本价0.02元，甲款营养早餐配料的售价为2.6元，利润率为30%，乙款营养早餐配料每袋利润率为20%．若这两款袋装营养早餐配料的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两款袋装营养早餐配料的数量之比是 　13：30　．
【考点】二元一次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据两款营养早餐的利润率及配料组成，可求出两款早餐的成本价及售价，设该公司销售甲款袋装营养早餐配料x袋，销售乙款袋装营养早餐配料y袋，根据这两款袋装营养早餐配料的销售利润率达到24%，即可得出关于x，y的二元一次方程组，化简后即可得出结论．
【解答】解：甲款营养早餐的成本价为2.6÷（1+30%）＝2（元）
1克芝麻和1克核桃的成本价之和为（2﹣0.02×10）÷10＝0.18（元），
乙款营养早餐的成本价为0.02×20+0.18×5＝1.3（元），
乙款营养早餐的售价为1.3×（1+20%）＝1.56（元）．
设该公司销售甲款袋装营养早餐配料x袋，销售乙款袋装营养早餐配料y袋，
依题意得：×100%＝24%，
化简得：30x＝13y，
∴x：y＝13：30．
故答案为：13：30．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•台儿庄区期末）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【分析】首先计算零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝2+3×﹣（2﹣）+1+[8×（﹣0.125）]2022
＝2+﹣2++1+（﹣1）2022
＝4﹣2+1+1
＝4．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
18．（5分）（2022•雁塔区校级二模）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x﹣2）≤2x﹣5，得：x≤1，
解不等式﹣＜1，得：x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）（2021秋•澄海区期末）化简求值：[（x﹣2y）（x+y）﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝，y＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式中括号里利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[（x2+xy﹣2xy﹣2y2）﹣（x2﹣4y2）]÷（﹣2y）
＝（x2+xy﹣2xy﹣2y2﹣x2+4y2）÷（﹣2y）
＝（﹣xy+2y2）÷（﹣2y）
＝x﹣y，
当x＝，y＝﹣1时，
原式＝×+1
＝+1
＝．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
20．（5分）（2021秋•鄞州区期末）如图，在9×4的方格纸ABCD中，每个小正方形的边长均为1，点E为格点（注：小正方形顶点称为格点）．请仅用无刻度直尺按要求画图．
（1）在CD边上找一点P，连结AP，使△AEP是等腰三角形；
（2）在AB边上找一点Q，使EQ⊥AP，画出线段EQ．

【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题，作EA＝EP＝5，连接AP即可；
（2）利用数形结合的思想画出线段EQ即可．
【解答】解：（1）如图，△AEP即为所求；
（2）如图，线段EQ即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21．（6分）（2022•中山市一模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
【考点】根的判别式；矩形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则证明方程计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0，
整理得：x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+k）
＝1＞0；
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0
∴x1＝k，x2＝k+1，
①当x＝k为对角线时，k2＝（k+1）2+32，
解得：k＝﹣5（不符合题意，舍去），
②当x＝k+1为对角线时，（k+1）2＝k2+32，
解得：k＝4，
综上所述，k的值为4．
【点评】本题考查了根的判别式，矩形的性质，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解．
22．（6分）（2018秋•雨花区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC＝12，cos∠ABD＝，求BD的长．

【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【分析】（1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出AE的长，再利用勾股定理得出BD的长，进而求出答案．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BD，AC⊥AE，
∴BD∥AE，
∵AB∥DC，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）∵AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CDB＝∠E，
∴，
设AE＝3k，BC＝5k，
在Rt△EAC中，AC＝＝12，
∴k＝3，
∴AE＝9，
∴BD＝9．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系，正确得出AC的长是解题关键．
23．（5分）（2021秋•金安区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）当x＞﹣2时，对x的每个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围为 　≤m≤1　．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到y＝x﹣1，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y＝x﹣1．
（2）把x＝﹣2代入y＝x﹣1，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝x﹣1的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x﹣1的值，
∴≤m≤1；
故答案为：≤m≤1．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
24．（6分）（2021•洪洞县二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝∠BCE；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长．

【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理的推论得到∠BCD＝90°，根据同角的余角相等证明结论；
（2）根据正弦的定义求出CD，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCE，
由圆周角定理得，∠D＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BCE；
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠D＝60°，
∴∠DBC＝30°，
在Rt△CDE中，sinD＝，
∴CD＝＝＝2，
在Rt△CBD中，∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝4．

【点评】本题考查的是圆周角定理及其推论、特殊角的三角函数值，掌握直径所对的圆周角是直角、同角的余角相等是解题的关键．
25．（5分）（2018春•椒江区校级期中）某校组织了一次关于“金砖5国”的知识竞赛，根据获奖的同学们在竞赛中的成绩制成了如图的频数分布直方图，已知组别95≤x＜100的频率为0.1．请仔细阅读图表解答问题：
（1）计算这次获奖的总人数，并补全分数分布直方图．
（2）获奖的中位数在哪个分数段？
（3）请估算这些获奖同学的成绩平均分．

【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）由组别95≤x＜100的频率和频数可求得获奖总人数，总人数减去后三组人数求出第一组人数，从而补全图形；
（2）由共有50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据均落在85≤x＜90这一组，根据中位数的定义可得答案；
（3）用各组组中值代表这组的得分，根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，这次获奖的总人数为5÷0.1＝50（人），
则组别95≤x＜100的频数为50﹣（20+15+5）＝10（人），
补全图形如下：

（2）∵共有50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据均落在85≤x＜90这一组，
∴获奖的中位数在85≤x＜90这一组；
（3）这些获奖同学的成绩平均分是＝89（分）．
【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是根据95≤x＜100的频率和频数可求得总人数、各组人数之和等于总人数、中位数和加权平均数的定义．
26．（6分）（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）将a＝1，b＝﹣2代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论a＞0与a＜0两种情况．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵1﹣（﹣1）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
（2）把x＝0代入y＝ax2+bx得y＝0，
∴抛物线经过原点（0，0），
①a＞0时，抛物线开口向上，

∵y2＜0，
∴t＞0，
当y3＝y1时，t＝＝，
∵y3＜y1，
∴t＞，
当y2＝0时，t＝＝1，
∴＜t＜1满足题意．
②a＜0时，抛物线开口向下，
∵y2＜0，
∴t＜0，
∴x＞0时，y随x增大而减小，
∴y3＜y2，不符合题意．
综上所述，＜t＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
27．（7分）（2021秋•凉山州期末）如图，在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°．△FDE中，∠DFE＝60°，将△FDE的顶点F与△ABC的顶点A重合，边FD从AB边开始绕点A逆时针旋转，旋转过程中FD与直线BC的交点为N，FE与直线BC的交点为M．
（1）点P在线段BC上，连接AP．如图（1），△FDE在旋转过程中，当FD平分∠BAP时，求证：FE平分∠CAP；
（2）△FDE在旋转过程中，如图（2），当∠BAN＝45°时，探究线段BN，MN，MC之间的数量关系，并用你所学的知识证明你的结论．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由角平分线的性质可得∠PFN＝∠BFN，由角的数量关系可得∠CFM＝∠PFM，可得FE平分∠CAP；
（2）由旋转的性质可得AH＝AM，CM＝BH，∠ACB＝∠ABC，∠MAH＝120°，由“SAS”可证△ANM≌△ANH，可得MN＝NH，∠MNA＝∠ANH，通过证明∠BHN＝90°，可得结论．
【解答】（1）证明：∵FD平分∠BAP，
∴∠PFN＝∠BFN，
∵∠BAC＝120°，∠DFE＝60°，
∴∠CFE+∠BFN＝60°，∠PFN+∠PFM＝60°，
∴∠CFM＝∠PFM，
∴FE平分∠CAP；
（2）解：BN2＝CE2+MN2，理由如下：
如图，将△ACM绕点A顺时针旋转120°，得到△ABH，连接NH，

∴△ACM≌△ABH，
∴AH＝AM，CM＝BH，∠ACB＝∠ABC，∠MAH＝120°，
∴∠HAN＝∠MAH﹣∠MAN＝60°，
∴∠MAN＝∠NAH＝60°，
在△ANM和△ANH中，
，
∴△ANM≌△ANH（SAS），
∴MN＝NH，∠MNA＝∠ANH，
∵∠CAB＝120°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°＝∠ABH，
∴∠NBH＝60°，
∵∠ANM＝∠BAN+∠ABC＝75°，
∴∠ANM＝∠ANH＝75°，
∴∠BNH＝30°，
∴∠BHN＝90°，
∴BN2＝BH2+NH2，
∴BN2＝CM2+MN2．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）（2021•临安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、EF．
（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；
（2）求证：∠BAC＝∠CEF；
（3）是否存在点D，使得△CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．

【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据圆周角定理可证明∠DAC＝∠CDA，进而可得CD的长；
（2）根据直径所对圆周角等于直角即可证明结论；
（3）连接FD，并延长和AB相交于G，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）解：∵∠CDE＝∠CFE＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠CDA＝45°，
∴CD＝AC＝6；

（2）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCB，
∵∠FCB＝∠DEF，
∴∠B＝∠DEF，
又∠BAC+∠B＝90°，
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAC＝∠CEF；
（3）解：存在点D，使得△CFE是CF为底的等腰三角形，则EF＝CE．
如图，连接FD，并延长和AB相交于G，
则∠EFC＝∠ECF，

∵四边形CEDF为圆内接四边形，
∴∠ADG＝∠ECF，
又∵∠CDE＝∠CFE，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∵FC∥AB，
∴∠FGA＝90°，
∴∠FGA＝∠ACD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△ACD（AAS），
∴DG＝CD，AC＝AG＝6，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
在Rt△BDG中，设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，DG＝CD＝x，
∵BG2+DG2＝BD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即CD＝3．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．