2021长春清蒲中学高一下学期（昆山路校区）期中考试数学试题含答案

长春市清蒲中学（昆山路校区）期中试卷

数学学科

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

4.考试时间：120分钟。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数的虚部是（    ）

A．i B． C．1 D．6

2．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若，都是单位向量，则；

③若，则或；

则所有正确命题的号是（    ）

A．③ B．① C．①③ D．①②

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，则在方向上的投影为（    ）

A．           B．         C．          D．

5．（    ）

A． B． C． D．

6．在中，为边上的中线，E为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

7．向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．5

8．在中，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．某人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为（    ）

A． B． C． D．

10．△ABC中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则（    ）

A． B． C． D．3

11．将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．设△ABC的三边分别为、、，若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径为（    ）

A． B． C． D．2

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．化简：cos x＋sin x＝________.

14．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝_____.

15．设平面上有四个互异的点，若，则△ABC的形状一定是_______.

16．如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为       海里．

三、解答题（本题共6小题，共70分）

17．已知，求下列各式的值.

（1）；

（2）.

18．知向量与的夹角为120°，且，，求：

（1）(2－)·(＋3)；

（2）.

19．已知函数，它的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式.

（2）若，求函数在上的值域.

20．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．

（1）求c；

（2）求cos2B的值．

21．已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

22．已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）若，求的值.

参考答案

1．D

2．B

3．A

4．C

5．A

6．B

7．C

8．B

9．B

10．D

11．A

12．A

13．或

14．

15．等腰三角形

16．

17．（1）；（2）.

【详解】

由已知得

（1）原式

（2）原式

18．（1）0；（2）.

【详解】

(1) (2－)·(＋3)＝22＋6·－·－32

＝2||2＋5·－3||2＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.

(2) |3－4| 2＝(3－4)2＝92－24·＋162

＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，

∴|3－4|＝4.

19．（1）；（2）.

【详解】

（1）由函数的图象知：过且，即，又，

∴，由知：，且有，

又∵，可得，

∴.

（2）由，

∴时，，即，

∴.

20．（1）c＝2；（2）﹣．

【详解】

解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），

整理得，c2+4c﹣12＝0，

解得c＝2或﹣6（舍负），

故c＝2．

（2）∵cosA＝﹣，且A∈(0，π），

∴sinA＝，

由正弦定理知，，即，

∴sinB＝，

∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．

21．（1）；（2）6．

【详解】

（1）因为

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以．

因为，

所以．

（2）因为，的面积为，

所以，

解得，

由余弦定理，

得，

所以，

所以．

所以的周长为6．

22．（1）；（2）

【详解】

（1）

，

∴.

（2）∵，，，

∴.