2022届江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学（理）试题及答案

鹰潭市2022届高三第二次模拟考试

数学试题(理科)

命题人：宁美芳  鹰潭一中   审题人：李麟  贵溪一中

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，则 （    ）

A.              B.          C.          D.

2．已知复数满足(i为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内（    ）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

3 ．已知，则向量与的夹角为（    ）

A.              B.              C.              D.

4．已知一组数据，，，的平均数为A，方差为，另一组数据，，，满足，若，，，的平均数为A，方差为，则（       ）

A．             B．         C．         D．

5．在中，，且，则“”是“为锐角三角形”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

6．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球(两个箱子中球的大小和形状完全相同)，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，记事件A表示“从乙箱中取出的球是红球”，则（        ）

A.              B.                C.    D.

7．已知函数的极大值点，极小值点 ，则的取值范围是 （      ）

A．     B．     C．      D．

8．《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（    ）

A. 15           B.          C.            D. 8

9．设抛物线：的焦点为,已知，抛物线上一点A满足，若线段AC的垂直平分线过焦点F，则直线的斜率为（　　）

A．     B．      C.             D．

10．若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如:，则下列说法正确的是（        ）

A．                 B．数列是等差数列

C．     D．数列的前项和为，则

11．已知函数，则下列说法正确的是（     ）

A．是函数的对称轴  

B．函数在区间上单调递增

C．函数的最大值为，最小值为-2 

D．函数在区间上恰有2022个零点，则

12．已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（    ）

①  ②   ③  ④     

A.1       B. 2             C.3       D. 4

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则_______．

14．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为___________．

15．已知双曲线C：，直线与曲线C交于A，B两点（点A在点B的上方），，点E在轴上，且轴，若的内心到轴的距离不小于，则双曲线C离心率的取值范围为___________．

16．已知菱形ABCD，AB=BD=4，现将△ABD沿对角线BD向上翻折，得到三棱锥A-BCD.若点E是AC的中点，△BDE的面积为，三棱锥A-BCD的外接球被平面BDE截得的截面面积为，则的最小值为___________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角；

（2）若，求周长的最大值.

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，AB//CD,AD=CD=BC=AB,点E是以AB为直径的半圆弧的中点，平面ABE⊥平面ABCD,M,N分别为DE,BC的中点．

（1）求证：MN//平面ABE;

（2）求二面角N-AE-D的余弦值．

19．（本小题满分12分）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间［40,100]内，并制成如下所示的频率分布直方图.

（1）估计这200名学生的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值为代表)；

（2）在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为,当为何值时的值最大？

20．（本小题满分12分）

设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.

（1）求动点D的轨迹E的方程；

（2）直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数，

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分

22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）若曲线C与直线l交于A，B两点，且，求直线l的斜率．

23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围．

鹰潭市2022届高三第二次模拟考试数学答案(理科)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1----5   BADCA      6-----10 CBDAD     11----12  DB

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.  243     14. 36      15 ．       16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17（本小题满分12分）解：(1)由，

得，

所以，即.

又由正弦定理有，

又，所以，又，解得. ............6分

(2),，即，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立.

所以周长的最大值为 ............12分

方法二：由(1)得，在△ABC中，所以

周长==

因为，所以，即时周长取最大值. ....12分

  18（本小题满分12分）(1)证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，因为M，F分别为ED和EC的中点，所以，

因为，所以，

因为平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因为，平面，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面..........4分

(2)解：如图所示，过E作交AB于O，

因为平面平面ABCD，平面平面，平面，

所以平面ABCD，E为弧的中点，所以O与AB的中点，取CD的中点G，连接OG，因为，，所以，

因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直，

以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，

设，所以，

可得，，，则，，

设平面的一个法向量，则，可得，

令，则平面的一个法向量为，

同理平面的一个法向量为，由图可知二面角的平面角为锐角,则，

所以二面角角的余弦值为．.........12分

19（本小题满分12分）解：(1)这200名学生的平均成绩为：

（分）........2分

(2)，，的三组频率之比为，

从，，中分别抽取6人，3人，1人，

X所有可能取值为0，1，2，3，则，，

，，

故X的分布列为：

故．........7分

(3)依题意等级的概率为， 且，所以，所以，即，即，解得，因为，所以.  ..........12分

20（本小题满分12分）

解：(1)设点，则，因，则有，又点P在圆上，即，

所以动点D的轨迹E的方程是........3分

(2)当直线的斜率时，直线与椭圆E相切，不符合题意，因此

设直线的方程为：，

因直线与圆相切，则，即，

由消去x并整理得：，

设，

则，而点T是线段AB中点，则有：

，

令，则，

而，当，即时，，

于是得.............12分

 21（本小题满分12分）

解：(1)当时，，则，

则所求切线方程为：即；......2分

（2）由已知可得：方程在有两个不等实根，

函数定义域为且，

，

（Ⅰ）当即时，

则时，单调递增；时，单调递减，

所以，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去. .....3分

（Ⅱ）当即时.，

①若，即时，

则时，单调递减；若，则单调递增，

所以，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去. ......4分

②若，即，则为增函数，

又，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去.......5分

③若即时，

则时，单调递增；时，单调递减：时，单调递增.又，可知，

又,在区间单调递增，由根的存在性定理可得：

存在唯一，使得，又

此时，所求方程有2个不同解，符合题意.......8分

④若即时，

则时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.

又，于是，令，

在区间（0,1）单调递减，在区间单调递增，

在单调递增，由根的存在性定理可得：

存在唯一，使得，

此时，所求方程有2个不同解，符合题意.......11分

综上所述，当 时，函数有两个不同零点. ............12分

22.（本小题满分10分）

解：(1)由得：，由得：，则曲线C的普通方程为........5 分

(2)由可得，直线l的参数方程为，将其代入中得：，由韦达定理得：，，由可得：，所以，则，，直线l的斜率为........10 分

23.（本小题满分10分）

解：(1)如图所示：

联立,联立，易得，则不等式的解集为........5 分

(2)由（1），函数的值域为，又，即函数的值域为.对于任意的，都存在，使得成立，所以........10 分