2022届江苏地区高考数学模拟试卷（一）（含答案）

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2022届江苏地区高考模拟试卷一一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）集合，0，，，，则　　A． B． C．， D．，2．（5分）已知是虚数单位，若复数，则的虚部是　　A．3 B． C．1 D．3．（5分）祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是　　A． B． C． D．4．（5分）函数　　A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增5．（5分）函数的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　A．12 B．14 C．16 D．186．（5分）已知，则的值为　　A． B． C． D．7．（5分）已知函数，函数，直线分别与两函数交于，两点，则的最小值为　　A． B．1 C． D．28．（5分）在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立．在某局打成后，甲先发球，则乙以获胜的概率为　　A．0.15 B．0.26 C．0.35 D．0.4二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）一组数据按从小到大排列为2，3，3，，7，10，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法正确的是　　A． B．众数为3 C．中位数为4 D．方差为10．（5分）在中，，，为的中点，则以下结论正确的是　　A． B． C． D．11．（5分）设点，，若在圆上存在点，使得，则的值可以是　　A． B． C． D．212．（5分）在梯形中，，将沿折起，使到的位置与不重合），，分别为线段，的中点，在直线上，那么在翻折的过程中　　A．与平面所成角的最大值为 B．在以为圆心的一个定圆上 C．若平面，则 D．当平面时，四面体的体积取得最大值三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）写出一个定义域为，周期为的偶函数　　．14．（5分）如图所示，已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，则的最小值是 　　，此时点坐标为 　　．15．（5分）设，，为不超过20的正整数，对不同的，，，当表达式，，取到最小值时，　　．16．（5分）对于数列，定义为的“优值“，现在已知某数列的“优值，则　　；记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　　．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．        18．（12分）某同学参加冬奥会知识有奖问答竞赛，竞赛共设置，，三道题目．已知该同学答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为．假设他回答每道题目正确与否是相互独立的．（1）求该同学所有题目都答对的概率；（2）设该同学答对题目总数为，求随机变量的分布列与数学期望；（3）若答对，，三题分别得1分，2分，3分，答错均不得分，求该同学总分为3分的概率．        19．（12分）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点是边的中点，．（1）证明：；（2）求．        20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于和，侧棱底面，为的中点，且，．（1）求证：平面；（2）求四棱锥体积；（3）求面与面所成二面角的余弦值．        21．（12分）若，是双曲线的两个焦点．（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到点一个焦点距离；（2）如图若是双曲线上一点，且，求△的面积．                    22．（12分）已知函数．（1）判断的单调性，并说明理由；（2）若数列满足，，求证：对任意，．                             参考答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．解：集合，0，，，，，，．故选：．2．解：，的虚部是1．故选：．3．解：由题意可知，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积为：．故选：．4．解：的周期为，，，函数在区间上单调递增，故选：．5．解：由题意可知，，即，，当且仅当，即时取到等号．故选：．6．解：由于：，．故选：．7．解：由题意：两个函数的图象如图：作出的平行线，使得直线与函数相切，则直线分别与两函数交于，两点，此时取得最小值，设切点，则，切线的斜率为：，解得，切点为，即则，，则的最小值为：．故选：．8．解：由题意，还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场，最后两场乙赢，其中发球方分别是甲、乙、甲、乙，所以乙以获胜的概率为．故选：．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．解：一组数据按从小到大排列为2，3，3，，7，10，这组数据的平均数是中位数的倍，，解得，故错误；众数为3，故正确；中位数为，故正确；平均数为：，方差为：，故正确．故选：．10．解：在中，，，为的中点，，错；，对；，对；，，不一定成立；故选：．11．解：如图，点，在直线上，设直线与圆的切点为，若在圆上存在点，使得，则，，解得：，且．结合选项可得，的值可以是，．故选：．12．解：如图，在梯形中，因为，，所以得到，，，在将沿翻折至的过程中，与的大小保持不变，由线面角的定义可知，与平面所成角的最大值为，故选项正确；因为大小不变，所以在翻折的过程中，的轨迹在以为轴的一个圆锥的底面圆周上，而是的中位线，所以点的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点，故选项不正确；当平面时，，因为，所以，所以，故选项正确；在翻折的过程中，△的面积不变，故当平面时，四面体的体积取得最大值，故选项正确．故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．解：根据题意，要求函数的一个定义域为，周期为，可以考虑三角函数，又由要求函数为偶函数，则要求函数可以为，故答案为：（答案不唯一）．14．解：将代入抛物线方程，得，，在抛物线内部．设抛物线上的点到准线的距离为，由定义知，所以当时，最小，最小值为4，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以点的坐标为．故答案为：4；．15．解：令，当，时，即当时，在，上无最大值，所以，，无意义．当，时，即当时，，当，时，，单调增加，又因为，所以，当，时，，单调减少，又因为，所以，所以在处取最大值，所以，，，因为要求，，不相同，为不超过20的正整数，所以当，，时，，，取最小值，所以，故答案为40．16．解：由题意可知，则时，，两式相减得：，，又，即，满足，，，显然数列是等差数列，要使中最大，则，解得：，故答案为：，，．四．解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）因为，所以，又，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以．（2）当时，，，所以数列的前项和为．18．解：（1）该同学所有题目都答对的概率为．（2）的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123数学期望．（3）该同学总分为3分的情况有：只答对或只答对，则该同学总分为3分的概率为．19．解：（1）证明：根据正弦定理，由得，又，，；（2）在和中，，，又，得，．20．（1）证明：平面，平面平面，平面平面，，平面，又平面，，，为中点，，．平面．（2）解：．（3）解：以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示平面直角坐标系，得，设平面的法向量为，则，即得，，，平面的法向量为，0，，，令平面和平面所成的二面角为，．21．解：（1）双曲线的，，，若在双曲线的左支上，则：若在双曲线的右支上，则，由题意可设在双曲线的左支上，，由双曲线的定义可得，则；（2）由在双曲线的左支上，可得，又，可得，所以，可得，所以△的面积为．22．（1）解：，令，，在上递增，，，在上单调递增．（2）证明：由，要证，只需证，即证：，，，，先证左边：，令证，即证，令，，在上递增，，得证．再证右边：，即证，，令，，在上递减，，也得证．综上：对，，．