江苏省无锡市阳山中学2022年中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）

A． B． C． D．

2．港珠澳大桥目前是全世界最长的跨海大桥，其主体工程“海中桥隧”全长35578米，数据35578用科学记数法表示为（　　）

A．35.578×103 B．3.5578×104

C．3.5578×105 D．0.35578×105

3．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）

A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6

4．已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜2

5．2017年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到17200吉比特每秒．将17200用科学记数法表示应为（　　）

A．172×102 B．17.2×103 C．1.72×104 D．0.172×105

6．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（ ）

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2

7．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（　　）

A．23° B．46° C．67° D．78°

8．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是

A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

9．下列各数中是无理数的是（     ）

A．cos60° B． C．半径为1cm的圆周长 D．

10．如图，在⊙O中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①AB⊥CD； ②∠AOB=4∠ACD；③弧AD=弧BD；④PO=PD，其中正确的个数是（　　）

A．4 B．1 C．2 D．3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．从-5，-，-，-1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为______．

12．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠DBC=56°，则∠1=_____°．

13．抛物线y＝x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______．

14．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为_______．

15．函数y＝中，自变量x的取值范围是_________．

16．如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=_____________ .

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：DE=BF．

18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．

（1）求证：FD=CD；

（2）若AE=8，tan∠E=，求⊙O的半径．

19．（8分）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率．

20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD=，求⊙O的直径．

21．（8分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．

22．（10分）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？

23．（12分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

24．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.

【详解】

画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．

故选C．

2、B

【解析】
科学计数法是a×，且，n为原数的整数位数减一．

【详解】

解：35578= 3.5578×，

故选B．

【点睛】

本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数，属于基础题型．理解科学计数法的表示方法是解题的关键．

3、B

【解析】

试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，

∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，

∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD===，

∴⊙C的半径为，故选B．

考点：圆的切线的性质；勾股定理．

4、B

【解析】

y<0时，即x轴下方的部分，

∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2.

故选B.

5、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：将17200用科学记数法表示为1.72×1．
故选C．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6、B

【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD

∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE

∴△DEF∽△BAF

∴

∵，

∴DE：AB=2：5

∵AB=CD，

∴DE：EC=2：3

故选B

7、B

【解析】
根据圆的半径相等可知AB=AC，由等边对等角求出∠ACB，再由平行得内错角相等，最后由平角180°可求出∠1.

【详解】

根据题意得：AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=67°，

∵直线l1∥l2，

∴∠2=∠ABC=67°，

∵∠1+∠ACB+∠2=180°，

∴∠ACB=180°-∠1-∠ACB=180°-67°-67°=46º．

故选B．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练根据这些性质得到角之间的关系是关键.

8、A

【解析】
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况即是判断函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝4交点的情况．

【详解】

∵函数的顶点的纵坐标为4，

∴直线y＝4与抛物线只有一个交点，

∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根，

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键.

9、C

【解析】

分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.

详解：

A选项中，因为，所以A选项中的数是有理数，不能选A；

B选项中，因为是无限循环小数，属于有理数，所以不能选B；

C选项中，因为半径为1cm的圆的周长是cm，是个无理数，所以可以选C；

D选项中，因为，2是有理数，所以不能选D.

故选.C.

点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.

10、D

【解析】
根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断．

【详解】

∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径．

∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，故①正确，③正确；

∠AOB=2∠AOD=4∠ACD，故②正确．

P是OD上的任意一点，因而④不一定正确．

故正确的是：①②③．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键．平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
七个数中有两个负整数，故随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：

【详解】

这七个数中有两个负整数：-5，-1
所以，随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：

故答案为

【点睛】

本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件的概率计算公式是关键．

12、62

【解析】
根据折叠的性质得出∠2=∠ABD，利用平角的定义解答即可．

【详解】

解:如图所示：

由折叠可得：∠2=∠ABD，

∵∠DBC=56°，

∴∠2+∠ABD+56°=180°，

解得：∠2=62°，

∵AE//BC，

∴∠1=∠2=62°，

故答案为62.

【点睛】

本题考查了折叠变换的知识以及平行线的性质的运用，根据折叠的性质得出∠2=∠ABD是关键．

13、（3，0）

【解析】
把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．

【详解】

把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+中，得m=6，

所以，原方程为y=x2-4x+3，

令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3

∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．

故答案为（3，0）.

【点睛】

本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．

14、64°

【解析】

解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=128°．∵BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=64°．故答案为64°．

点睛：本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

15、x≤1且x≠﹣1

【解析】
由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得结论．

【详解】

根据题意，得：，解得：x≤1且x≠﹣1．

故答案为x≤1且x≠﹣1．

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

16、°

【解析】
通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APB．

【详解】

把△PAB绕B点顺时针旋转90°，得△P′BC，

则△PAB≌△P′BC，

设PA=x，PB=2x，PC=3x，连PP′，

得等腰直角△PBP′，PP′2=（2x）2+（2x）2=8x2，

∠PP′B=45°．

又PC2=PP′2+P′C2，

得∠PP′C=90°．

故∠APB=∠CP′B=45°+90°=135°．

故答案为135°．

【点睛】

本题考查的是正方形四边相等的性质，考查直角三角形中勾股定理的运用，把△PAB顺时针旋转90°使得A′与C点重合是解题的关键．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）作图见解析；（2）证明见解析；

【解析】
（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；

（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得结论．

【详解】

解：（1）如图：

（2）∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵EF垂直平分线段BD，

∴BO=DO，

在△DEO和三角形BFO中，

，

∴△DEO≌△BFO（ASA），

∴DE=BF．

考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．

18、（1）证明见解析；（2）；

【解析】
（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=1，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=2，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长．

【详解】

（1）∵AC 是⊙O 的切线，

∴BA⊥AC，

∴∠CAD+∠BAD=90°，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠CAD=∠B，

∵DA=DE，

∴∠EAD=∠E，

又∵∠B=∠E，

∴∠B=∠EAD，

∴∠EAD=∠CAD，

在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD，

∴△ADF≌△ADC，

∴FD=CD．

（2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G．

∵DE=AE，DG⊥AE，

∴EG=AG=AE=1．

∵tan∠E=，

∴=，即=，解得DG=1．

∴ED==2．

∵∠B=∠E，tan∠E=，

∴sin∠B=，即，解得AB=．

∴⊙O的半径为．

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键．

19、.

【解析】

试题分析：先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况，利用概率公式求出概率.

试题解析：解：画树状图如答图：

∵共有8种不同的涂色方法，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况有4种，

∴P(A，C两个区域所涂颜色不相同)=.

考点：1．画树状图或列表法；2．概率．

20、（1）见解析（2）2

【解析】

解：（1）证明：连接OA，

∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=2．

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=2．

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=3．∴OA⊥PA．

∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=2，

∴PO=2OA=OD+PD．

又∵OA=OD，∴PD=OA．

∵PD=，∴2OA=2PD=2．

∴⊙O的直径为2．．

（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=2，再由AP=AC得出

∠P=2，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．

（2）利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．

21、x≤1，解集表示在数轴上见解析

【解析】
首先根据不等式的解法求解不等式，然后在数轴上表示出解集．

【详解】

去分母，得：3x﹣2（x﹣1）≤3，

去括号，得：3x﹣2x+2≤3，

移项，得：3x﹣2x≤3﹣2，

合并同类项，得：x≤1，

将解集表示在数轴上如下：

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．

22、450m.

【解析】
若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长．

【详解】

解：，，

，

在中，，，

，

．

答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上．

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.

23、（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）

【解析】

分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；

（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；

（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．

详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，

∴A（1，3），

把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，

∴y与x之间的函数关系式为：y=；

（2）∵A（1，3），

∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；

（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，

∴点B的坐标为（4，0），

把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，

∴b=，

∴y2=x+，

令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），

∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

∴CP=BC=，或BP=BC=

∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，

∴P（﹣，0）或（，0）．

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

24、（1）20%；（2）能.

【解析】
（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)(1+x)，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可．

（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可.

【详解】

(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．

答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，

所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．