江西省赣州市兴国县达标名校2021-2022学年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）

A． B． C． D．1

2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

3．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（　　）

A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，30

5．如图所示图形中，不是正方体的展开图的是（　　）

A． B．

C． D．

6．tan45º的值为（ ）

A． B．1 C． D．

7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，点O′在第一象限，⊙O′与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则点O′的坐标是（　　）

A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）

9．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（　　）

A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③ b2－4ac＜0；④ 9a+3b+c＞0;  ⑤ c+8a＜0.正确的结论有（　　）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a，b，c，d之间关系的式子中不正确的是(   )

A．a﹣d＝b﹣c B．a+c+2＝b+d C．a+b+14＝c+d D．a+d＝b+c

12．对于命题“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题的是（　　）

A．∠1＝50°，∠1＝40° B．∠1＝40°，∠1＝50°

C．∠1＝30°，∠1＝60° D．∠1＝∠1＝45°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0＝_____．

14．阅读理解：引入新数，新数满足分配律，结合律，交换律.已知，那么________.

15．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．

16．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有_____个，第n幅图中共有_____个．

17．不等式-2x+3>0的解集是___________________

18．若方程x2﹣4x+1＝0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．

请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．

20．（6分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．

（1）函数y=+1的图象可以由我们熟悉的函数　   　的图象向上平移　   　个单位得到；

（2）函数y=+1的图象与x轴、y轴交点的情况是：　   　；

（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是　   　．

21．（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

22．（8分）如图，在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）．

（1）请在图中画出△ABC的一个以点P（12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′（要求与△ABC同在P点一侧），画出△A′B′C′关于y轴对称的△A′'B′'C′'；

（2）写出点A'的坐标．

23．（8分）庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量（件）之间的关系及成本如下表所示：

（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元；若所有的T恤都能售完，求该商店获得的总利润（元）与乙种T恤的进货量（件）之间的函数关系式；在（2）的条件下，已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能使获得的利润最大？

24．（10分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，1）、C（1，1）．在图中以点O为位似中心在原点的另一侧画出△ABC放大1倍后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标；请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1．

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

26．（12分）如图，在自动向西的公路l上有一检查站A，在观测点B的南偏西53°方向，检查站一工作人员家住在与观测点B的距离为7km，位于点B南偏西76°方向的点C处，求工作人员家到检查站的距离AC．（参考数据：sin76°≈，cos76°≈，tan 76°≈4，sin53°≈，tan53°≈）

27．（12分）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．

如图1，当t=3时，求DF的长．如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、D

【解析】

试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠PBC==1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．

考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．

2、A

【解析】
由三视图的俯视图,从左到右依次找到最高层数,再由主视图和俯视图之间的关系可知,最高层高度即为主视图高度.

【详解】

解：几何体从左到右的最高层数依次为1,2,3,

所以主视图从左到右的层数应该为1,2,3,

故选A.

【点睛】

本题考查了三视图的简单性质,属于简单题,熟悉三视图的概念,主视图和俯视图之间的关系是解题关键.

3、A

【解析】

分析：面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．

详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；

B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；

C、是一个圆台，故本选项错误；

D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；

故选A．

点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．

4、C

【解析】
根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数．

【详解】

捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30，

中间两个数分别为30和30，则中位数是30，

故选C．

【点睛】

本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握．

5、C

【解析】
由平面图形的折叠及正方形的展开图结合本题选项，一一求证解题.

【详解】

解：A、B、D都是正方体的展开图，故选项错误；

C、带“田”字格，由正方体的展开图的特征可知，不是正方体的展开图．

故选C．

【点睛】

此题考查正方形的展开图，难度不大，但是需要空间想象力才能更好的解题

6、B

【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可得tan45º=1，

故选B．

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值．

7、A

【解析】

∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2-x）2，
解得x=，
∴sin∠BED=sin∠CDF=．
故选：A．

8、D

【解析】
过O'作O'C⊥AB于点C，过O'作O'D⊥x轴于点D，由切线的性质可求得O'D的长，则可得O'B的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△O'BC中，由勾股定理可求得O'C的长，从而可求得O'点坐标．

【详解】

如图，过O′作O′C⊥AB于点C，过O′作O′D⊥x轴于点D，连接O′B，

∵O′为圆心，

∴AC=BC，

∵A(0,2),B(0,8)，

∴AB=8−2=6，

∴AC=BC=3，

∴OC=8−3=5，

∵⊙O′与x轴相切，

∴O′D=O′B=OC=5，

在Rt△O′BC中,由勾股定理可得O′C===4，

∴P点坐标为(4,5)，

故选：D.

【点睛】

本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握切线的性质和坐标计算.

9、C

【解析】

如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，

则点O即是该圆弧所在圆的圆心．

∵点A的坐标为（﹣3，2），

∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．

故选C．

10、C

【解析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：抛物线开口向下，得：a＜0；抛物线的对称轴为x=-=1，则b=-2a，2a+b=0，b=-2a，故b＞0；抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0.

∴abc＜0, ①正确；

2a+b=0，②正确；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故③错误；

由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误；

观察图象得当x=-2时，y＜0，

即4a-2b+c＜0

∵b=-2a，

∴4a+4a+c＜0

即8a+c＜0，故⑤正确.

正确的结论有①②⑤，

故选:C

【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

11、A

【解析】
观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．

【详解】

解：依题意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．

A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，

∴a﹣d≠b﹣c，选项A符合题意；

B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，

∴a+c+2＝b+d，选项B不符合题意；

C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，

∴a+b+14＝c+d，选项C不符合题意；

D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，

∴a+d＝b+c，选项D不符合题意．

故选：A．

【点睛】

考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b，c，d是解题的关键．

12、D

【解析】
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．

【详解】

“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题为∠1＝∠1＝45°．

故选：D．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、3.

【解析】

试题分析：分别根据零指数幂，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

原式=4-1=3.

考点：负整数指数幂；零指数幂．

14、2

【解析】
根据定义即可求出答案．

【详解】

由题意可知：原式=1-i2=1-（-1）=2

故答案为2

【点睛】

本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义．

15、1

【解析】
根据△EBD由△ABC旋转而成，得到△ABC≌△EBD，则BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出.

【详解】

解：∵△EBD由△ABC旋转而成，

∴△ABC≌△EBD，

∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，

∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，

∴；

故答案为：1．

【点睛】

此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．

16、7    2n﹣1   

【解析】
根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2-1=3个，第3幅图中有2×3-1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．

【详解】

解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2-1=3个．
第3幅图中有2×3-1=5个．
第4幅图中有2×4-1=7个．
…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有（2n-1）个．
故答案为7；2n-1．

点睛：考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．

17、x<

【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．

【详解】

移项，得：-2x＞-3，

系数化为1，得：x＜，

故答案为x＜．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

18、5

【解析】

由题意得， ，.

∴原式

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）见解析；（2）图见解析；.

【解析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．

（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．

【详解】

解：（1）△A1B1C1如图所示．

（2）△A2B2C2如图所示．

∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为．

∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．

20、（1），1；（2）与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；（3）答案不唯一，如：y=﹣+1.

【解析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

（3）根据点的坐标满足函数解析式，可得答案．

【详解】

（1）函数的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移1个单位得到，

故答案为：，1；

（2）函数的图象与x轴、y轴交点的情况是：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点，

故答案为：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；

（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是：y=﹣+1，  答案不唯一，

故答案为：y=﹣+1．

【点睛】

本题考查了函数图像的平移变换，函数自变量的取值范围，函数图象与坐标轴的交点等知识，利用函数图象的平移规律是解题关键．

21、30元

【解析】

试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．

解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

2×=，

解得 x=30

经检验，x=30是原方程的根．

答：第一批盒装花每盒的进价是30元．

考点：分式方程的应用．

22、（1）见解析；（2）点A'的坐标为（-3，3）

【解析】
解：(1)，△A′'B′'C′'如图所示．

（2）点A'的坐标为（-3，3）.

23、（1）10750；（2）；（3）最大利润为10750元.

【解析】
（1）根据“利润=销售总额-总成本”结合两种T恤的销售数量代入相关代数式进行求解即可；

（2）根据题意，分两种情况进行讨论：①0<m<200；②200≤m≤400时，根据“利润=销售总额-总成本”即可求得各相关函数关系式；

（3）求出（2）中各函数最大值，进行比较即可得到结论.

【详解】

（1）∵甲种T恤进货250件

∴乙种T恤进货量为：400-250=150件

故由题意得，；

（2）①

②；

故.

（3）由题意，，①，，

②，

综上，最大利润为10750元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，找出题中的等量关系以及根据题意确定二次函数的解析式是解题的关键．

24、（1）A（﹣1，﹣6）；（1）见解析

【解析】

试题分析：（1）把每个坐标做大1倍,并去相反数.(1)横纵坐标对调，并且把横坐标取相反数.

试题解析：

解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A（﹣1，﹣6）；

（1）如图，△A1B1C1为所作．

25、（1）证明见解析（2）3

【解析】
（1）连接，由为的中点，得到，等量代换得到，根据平行线的性质得到，即可得到结论；

（2）连接，由勾股定理得到，根据切割线定理得到，根据勾股定理得到，由圆周角定理得到，即可得到结论.

【详解】

相切，连接，

∵为的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴直线与相切；

方法：连接，

∵，，

∵，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴，

∴，

∵为的中点，

∴，

∵为的直径，

∴，

∴．

方法：∵，

易得，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键.

26、工作人员家到检查站的距离AC的长约为km．

【解析】

分析：过点B作BH⊥l交l于点H，解Rt△BCH，得出CH=BC•sin∠CBH=，BH=BC•cos∠CBH=．再解Rt△BAH中，求出AH=BH•tan∠ABH=，那么根据AC=CH-AH计算即可.

详解：如图，过点B作BH⊥l交l于点H，

∵在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=76°，BC=7km，

∴CH=BC•sin∠CBH≈，

BH=BC•cos∠CBH≈．

∵在Rt△BAH中，∠BHA=90°，∠ABH=53°，BH=，

∴AH=BH•tan∠ABH≈，

∴AC=CH﹣AH=（km）．

答：工作人员家到检查站的距离AC的长约为km．

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

27、（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=；（3）或．

【解析】
（1）当t=3时，点E为AB的中点，

∵A（8，0），C（0，6），

∴OA=8，OC=6，

∵点D为OB的中点，

∴DE∥OA，DE=OA=4，

∵四边形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴DE⊥AB，

∴∠OAB=∠DEA=90°，

又∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°，

∴四边形DFAE是矩形，

∴DF=AE=3；

（2）∠DEF的大小不变；理由如下：

作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：

∵四边形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴四边形DMAN是矩形，

∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，

∴, ，

∵点D为OB的中点，

∴M、N分别是OA、AB的中点，

∴DM=AB=3，DN=OA=4，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDM=∠EDN，

又∵∠DMF=∠DNE=90°，

∴△DMF∽△DNE，

∴，

∵∠EDF=90°，

∴tan∠DEF=；

（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，

设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；

①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，

由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），

∴AF=4+MF=﹣t+，

∵点G为EF的三等分点，

∴G（，），

设直线AD的解析式为y=kx+b，

把A（8，0），D（4，3）代入得： ，

解得： ，

∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，

把G（，）代入得：t=；

②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，

由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），

∴AF=4﹣MF=﹣t+，

∵点G为EF的三等分点，

∴G（，），

代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；

综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.

考点：四边形综合题.