江阴市要塞中学2022年中考数学模拟预测试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，在已知的△  ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，则下列结论正确的是（　　）

A．CD+DB=AB B．CD+AD=AB C．CD+AC=AB D．AD+AC=AB

2．一元二次方程的根是（ ）

A． B．

C． D．

3．长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为（ ）

A．205万 B． C． D．

4．如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．9

5．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）

A． B． C． D．

6．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（　　）cm

A．1 B．2 C．3 D．4

7．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（　　）

A． B． C． D．

8．下列四个多项式，能因式分解的是(　　)

A．a－1 B．a2＋1

C．x2－4y D．x2－6x＋9

9．若二元一次方程组的解为则的值为（    ）

A．1 B．3 C． D．

10．如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AC上一点，BC=BD=AD,则∠A的大小是（　　　）．

A．36° B．54° C．72° D．30°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB交于点D，连接OD，若点B的坐标为（2，3），则△OAD的面积为_____．

12．对于函数y= ，当函数y﹤-3时，自变量x的取值范围是____________ .

13．若关于x的二次函数y＝ax2+a2的最小值为4，则a的值为______．

14．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是，则一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是____.

15．已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．

16．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：

①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

18．（8分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=1OD，OE=1OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；

（1）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图1．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

19．（8分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措. 二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩(假设生男生女机会均等，且与顺序无关)．

(1)该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好都是女孩的概率；

(2)该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中恰好是2女1男的概率．

20．（8分）已知是关于的方程的一个根，则__

21．（8分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：

信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；

信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：

信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．

信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；

（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中有不重合的两个点与.若Q、P为某个直角三角形的两个锐角顶点，当该直角三角形的两条直角边分别与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“直距”记做，特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即为点Q与点P之间的“直距”．例如下图中，点，点，此时点Q与点P之间的“直距”.

（1）①已知O为坐标原点，点，，则_________，_________；

②点C在直线上，求出的最小值；

（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线上一动点.直接写出点E与点F之间“直距”的最小值．

23．（12分）阅读材料，解答下列问题：

神奇的等式

当a≠b时，一般来说会有a2+b≠a+b2，然而当a和b是特殊的分数时，这个等式却是成立的例如：

（）2+=+，（）2+=+，（）2+=+（）2，…（）2+=+（）2，…

（1）特例验证：

请再写出一个具有上述特征的等式：　   　；

（2）猜想结论：

用n（n为正整数）表示分数的分母，上述等式可表示为：　   　；

（3）证明推广：

①（2）中得到的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

②等式（）2+=+（）2（m，n为任意实数，且n≠0）成立吗？若成立，请写出一个这种形式的等式（要求m，n中至少有一个为无理数）；若不成立，说明理由．

24．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】
作弧后可知MN⊥CB，且CD=DB.

【详解】

由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB.

【点睛】

了解中垂线的作图规则是解题的关键.

2、D

【解析】

试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题．原方程可化为：，因此或，所以．故选D．

考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法．

3、C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】2 050 000将小数点向左移6位得到2.05，

所以2 050 000用科学记数法表示为：20.5×106，

故选C．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4、B

【解析】
直接利用平均数的求法进而得出x的值，再利用中位数的定义求出答案．

【详解】

∵一组数据1，7，x，9，5的平均数是2x，

∴，

解得：，

则从大到小排列为：3，5，1，7，9，

故这组数据的中位数为：1．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出x的值是解题关键．

5、A

【解析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【详解】

解：

∵不等式①得：x＞1，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为1＜x≤2，

在数轴上表示为：，

故选A.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.

6、C

【解析】
由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．

【详解】

如图，由题意得：

DA′＝DA,EA′＝EA，

∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF

＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)

＝AB＋BC＋AC

＝1＋1＋1＝3(cm)

故选C.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系.

7、D

【解析】
如图，∵AD=1，BD=3，

∴，

当时，，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE=∠B，

∴DE∥BC，

而根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，

故选D．

8、D

【解析】

试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．

试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．

故选D．

考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．

9、D

【解析】
先解方程组求出，再将代入式中，可得解.

【详解】

解：

，

得，

所以，

因为

所以.

故选D.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型．

10、A

【解析】
由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x．在△ABC中，用内角和定理列方程求解．

【详解】

解：∵BD=BC=AD，∴△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x．

又∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得：x=36°，即∠A=36°．

故选A．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、．

【解析】
由点B的坐标为（2，3），而点C为OB的中点,则C点坐标为（1，1.5），利用待定系数法可得到k=1.5，然后利用k的几何意义即可得到△OAD的面积.

【详解】

∵点B的坐标为（2，3），点C为OB的中点，

∴C点坐标为（1，1.5），

∴k=1×1.5=1.5，即反比例函数解析式为y=，

∴S△OAD=×1.5=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 .

12、-<x<0

【解析】
根据反比例函数的性质：y随x的增大而减小去解答.

【详解】

解：函数y= 中，y随x的增大而减小，当函数y﹤-3时

又函数y= 中，

故答案为：-<x<0.

【点睛】

此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键.

13、1．

【解析】
根据二次函数的性质列出不等式和等式，计算即可．

【详解】

解：∵关于x的二次函数y=ax1+a1的最小值为4，
∴a1=4，a＞0，
解得，a=1，
故答案为1．

【点睛】

本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．

14、

【解析】
根据数据x1，x2，…，xn的平均数为=（x1+x2+…+xn），即可求出数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数．

【详解】

数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数=（x1+1+x2+1+…+xn+1）=（x1+x2+…+xn）+1=+1．

故答案为+1．

【点睛】

本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．

15、或．

【解析】
联立方程可得，设，从而得出的图象在上与x轴只有一个交点，当△时，求出此时m的值；当△时，要使在之间有且只有一个公共点，则当x=-2时和x=2时y的值异号，从而求出m的取值范围；

【详解】

联立

可得：，

令，

抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，

即的图象在上与x轴只有一个交点，

当△时，

即△

解得：，

当时，

当时，

，满足题意，

当△时，

令，，

令，，

，

令代入

解得：，

此方程的另外一个根为：，

故也满足题意，

故的取值范围为：或

故答案为: 或.

【点睛】

此题考查的是根据二次函数与一次函数的交点问题，求函数中参数的取值范围，掌握把函数的交点问题转化为一元二次方程解的问题是解决此题的关键．

16、2

【解析】
过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，

【详解】

解：连接OB，OA′，AA′，

∵AA′关于直线MN对称，

∴

∵∠AMN=40°，

∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，

∴∠A′OB=120°，

过O作OQ⊥A′B于Q，

在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=

即PA+PB的最小值.

【点睛】

本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x﹣1；（3）P（）或P（﹣4.5，0）；当t=时，S△MDN的最大值为．

【解析】
（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；
（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D(4,−5)，求得

设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x=−4.5,即可得到或P(−4.5,0)；
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF 求得求得 由于于是得到即可得到结果．

【详解】

(1)由题意知： 

解得 

∴二次函数的表达式为

(2)在 中,令y=0,则

解得： 

∴B(3,0)，

由已知条件得直线BC的解析式为y=−x+3，

∵AD∥BC，

∴设直线AD的解析式为y=−x+b，

∴0=1+b，

∴b=−1，

∴直线AD的解析式为y=−x−1；

(3)①∵BC∥AD，

∴∠DAB=∠CBA，

∴只要当：或时,△PBC∽△ABD，

解得D(4,−5)，

∴

设P的坐标为(x,0)，

即或

解得或x=−4.5,

∴或P(−4.5,0)，

②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，

在Rt△AFB中, 

∴sin∠BAF

∴

∴

∵

又∵

∴

∴当时,的最大值为

【点睛】

属于二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，锐角三角形函数，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大.

18、（1）见解析；（1）30°或150°，的长最大值为，此时．

【解析】
（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；

（1）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；

②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+1，此时α=315°．

【详解】

(1)如图1,延长ED交AG于点H,

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

(1)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时，

∵OA=OD=OG=OG′，

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD,OA⊥AG′，

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，

即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°−30°=150°.

综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.

②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴OA=OD=OC=OB=，

∵OG=1OD，

∴OG′=OG=，

∴OF′=1，

∴AF′=AO+OF′=+1，

∵∠COE′=45°，

∴此时α=315°.

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．

19、（1）P(两个小孩都是女孩)＝；（2）P(三个小孩中恰好是2女1男)＝.

【解析】
（1）画出树状图即可解题,（2）画出树状图即可解题.

【详解】

(1)画树状图如下：

由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好都是女孩的有1种可能，

∴P(两个小孩都是女孩)＝.

(2)画树状图如下：

由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，其中这三个小孩中恰好是2女1男的有3种结果，

∴P(三个小孩中恰好是2女1男)＝.

【点睛】

本题考查了画树状图求解概率,中等难度,画出树状图找到所有可能性是解题关键.

20、10

【解析】
利用一元二次方程的解的定义得到，再把 变形为，然后利用整体代入的方法计算 ．

【详解】

解：是关于的方程的一个根，

，

，

．

故答案为 10 ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．

21、（1）生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；（2）小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．

【解析】
（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．
（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．

【详解】

（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．

由题意得：，

解这个方程组得：，

答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．

（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分．

则生产甲种产品件，生产乙种产品件．

∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x=-0.04x+1680，

又≥60，得x≥900，

由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元），

则小王该月收入最多是1644+1900=3544（元），

此时甲有=60（件），

乙有：=555（件），

答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．

【点睛】

考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

22、（1）①3，1；②最小值为3；（1）

【解析】
（1）①根据点Q与点P之间的“直距”的定义计算即可；

②如图3中，由题意，当DCO为定值时，点C的轨迹是以点O为中心的正方形（如左边图），当DCO＝3时，该正方形的一边与直线y＝－x＋3重合（如右边图），此时DCO定值最小，最小值为3；

（1）如图4中，平移直线y＝1x＋4，当平移后的直线与⊙O在左边相切时，设切点为E，作EF∥x轴交直线y＝1x＋4于F，此时DEF定值最小；

【详解】

解：（1）①如图1中，

观察图象可知DAO＝1＋1＝3，DBO＝1，

故答案为3，1．

②（i）当点C在第一象限时（），根据题意可知，为定值，设点C坐标为，则，即此时为3；

（ii）当点C在坐标轴上时（，），易得为3；

（ⅲ）当点C在第二象限时（），可得；

（ⅳ）当点C在第四象限时（），可得；

综上所述，当时，取得最小值为3；

（1）如解图②，可知点F有两种情形，即过点E分别作y轴、x轴的垂线与直线分别交于、；如解图③，平移直线使平移后的直线与相切，平移后的直线与x轴交于点G，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，观察图象，此时即为点E与点F之间“直距”的最小值.连接OE，易证，∴，在中由勾股定理得，∴，解得，∴.

【点睛】

本题考查一次函数的综合题，点Q与点P之间的“直距”的定义，圆的有关知识，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义，解决问题，属于中考压轴题．

失分原因

第（1）问    （1）不能根据定义找出AO、BO的“直距”分属哪种情形；

（1）不能找出点C在不同位置时， 的取值情况，并找到 的最小值第（1）问    （1）不能根据定义正确找出点E与点F之间“直距” 取最小值时点E、F         的位置；

（1）不能想到由相似求出GO的值

23、（1）（）1+=+（）1；；（1）（）1+=+（）1；；（3）①成立,理由见解析；②成立,理由见解析．

【解析】
（1）根据题目中的等式列出相同特征的等式即可；

（1）根据题意找出等式特征并用n表达即可；

（3）①先后证明左右两边的等式的结果，如果结果相同则成立；

②先证明等式是否成立，如果成立再根据等式的特征写出m,n至少有一个为无理数的等式.

【详解】

解：（1）具有上述特征的等式可以是（）1+=+（）1，

故答案为（）1+=+（）1；

（1）上述等式可表示为（）1+=+（）1，

故答案为（）1+=+（）1；

（3）①等式成立，

证明：∵左边=（）1+=+=，

右边=+（）1=，

∴左边=右边，

∴等式成立；

②此等式也成立，例如：（）1+=+（）1．

【点睛】

本题考查了规律的知识点，解题的关键是根据题目中的等式找出其特征.

24、（2）证明见试题解析；（2）．

【解析】
（2）过点O作OM⊥AB于M，证明OM=圆的半径OD即可；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，得到四边形OMBN是矩形，在直角△OBM中利用三角函数求得OM和BM的长，进而求得BN和ON的长，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．

【详解】

解：（2）过点O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O与AC相切于点D，

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠DAO=∠MAO，

∴OM=OD，

∴AB与⊙O相切；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．

∵O是BC的中点，

∴OB=2．在直角△OBM中，∠MBO=60°，

∴∠MOB=30°， BM=OB=2，

 OM=BM =，

∵BE⊥AB，

∴四边形OMBN是矩形，

∴ON=BM=2，BN=OM=．

∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=．

考点：2．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题．