江西省景德镇市乐平市达标名校2021-2022学年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E给好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（　　）

A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE

2．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）

A． B． C． D．

4．下列计算正确的是（　　）

A．（a）＝a B．a+a＝a

C．（3a）•（2a）＝6a D．3a﹣a＝3

5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(     )

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

6．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）

A．平行四边形 B．圆 C．等边三角形 D．正六边形

7．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-5m+3=0有一个根为1，则m的值为

A．1 B．3 C．0 D．1或3

8．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

9．2018年春运，全国旅客发送量达29.8亿人次，用科学记数法表示29.8亿，正确的是（　　）

A．29.8×109 B．2.98×109 C．2.98×1010 D．0.298×1010

10．下列命题是真命题的是(     )

A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

D．若三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，则该三角形是正三角形

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为_____．

12．方程的根是__________．

13．计算：＝____．

14．计算：=_________ .

15．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．

16．鼓励科技创新、技术发明，北京市2012－2017年专利授权量如图所示．根据统计图中提供信息，预估2018年北京市专利授权量约______件，你的预估理由是______．

17．计算a10÷a5=_______．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)

19．（5分）（1）计算：﹣22+|﹣4|+（）-1+2tan60°

（2） 求 不 等 式 组的 解 集 ．

20．（8分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？

21．（10分）计算：（﹣2）2+20180﹣

22．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．求此抛物线的表达式；如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

23．（12分）根据图中给出的信息，解答下列问题：

放入一个小球水面升高     ，，放入一个大球水面升高     ；如果要使水面上升到50，应放入大球、小球各多少个？

24．（14分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）若DE=13，BD=12，求线段AB的长．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
利用旋转的性质得BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，再通过判断△ABD为等边三角形得到AD=AB，∠BAD=60°，则根据平行线的性质可判断AD∥BC，从而得到∠DAC=∠C，于是可判断∠DAC=∠E，接着利用AD=AB，BE=BC可判断AD+BC=AE，利用∠CBE=60°，由于∠E的度数不确定，所以不能判定BC⊥DE．

【详解】

∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，

∴BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，

∴△ABD为等边三角形，

∴AD=AB，∠BAD=60°，

∵∠BAD=∠EBC，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠C，

∴∠DAC=∠E，

∵AE=AB+BE，

而AD=AB，BE=BC，

∴AD+BC=AE，

∵∠CBE=60°，

∴只有当∠E=30°时，BC⊥DE．

故选C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．

2、D

【解析】
到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．

【详解】

满足条件的有：

（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；

（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．

如图所示，

故选D．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．

3、B

【解析】

试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是.

故选B.

考点：概率.

4、A

【解析】
根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；

B．a2+a2=2a2，故本选项错误；

C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；

D．3a﹣a=2a，故本选项错误．

故选A．

【点睛】

本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．

5、C

【解析】

试题分析：过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．

考点：等腰三角形的性质；勾股定理．

6、C

【解析】
根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.

【详解】

选项A、平行四边形是中心对称图形；

选项B、圆是中心对称图形；

选项C、等边三角形不是中心对称图形；

选项D、正六边形是中心对称图形；

故选C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.

7、B

【解析】
直接把x=1代入已知方程即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．

【详解】

∵x=1是方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0的一个根，

∴（m﹣1）+1+m2﹣5m+3=0，

∴m2﹣4m+3=0，

∴m=1或m=3，

但当m=1时方程的二次项系数为0，

∴m=3.

故答案选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的运算.

8、A

【解析】

∵∆=12-4×1×（-2）=9>0,

∴方程有两个不相等的实数根.

故选A.

点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.

9、B

【解析】
根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且为这个数的整数位数减1，由此即可解答．

【详解】

29.8亿用科学记数法表示为： 29.8亿=2980000000＝2.98×1．

故选B．

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10、D

【解析】
根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可.

【详解】

A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;

B、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形,故本选项错误;

C、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧,故本选项错误;

D、∵a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，∴2a2＋2b2＋2c2-2ac-2bc-2ab=0，∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，∴a=b=c，故本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学性质是解答本题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2或

【解析】
分两种情况讨论：（1）当时，，利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；

（2）当时，过点A作于点M，证明列比例式求出，从而得，再利用垂直平分线的性质得．

【详解】

解：（1）当时，

∵垂直平分，

.

（2）当时，过点A作于点，

在与中，

.

故答案为或．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的三线合一性质和线段垂直平分线的性质定理得应用．本题难度中等．

12、1．

【解析】
把无理方程转化为整式方程即可解决问题．

【详解】

两边平方得到：2x﹣1=1，解得：x=1，经检验：x=1是原方程的解．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．

13、1

【解析】
根据算术平方根的定义进行化简，再根据算术平方根的定义求解即可．

【详解】

解：∵12=21，
∴=1，
故答案为：1．

【点睛】

本题考查了算术平方根的定义，先把化简是解题的关键．

14、2

【解析】
利用平方差公式求解，即可求得答案．

【详解】

=（）2-（）2=5-3=2.

故答案为2.

【点睛】

此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意掌握平方差公式的应用．

15、8

【解析】
解：设边数为n，由题意得，

180（n-2）=3603

解得n=8.

所以这个多边形的边数是8.

16、113407，    北京市近两年的专利授权量平均每年增加6458.5件.   

【解析】
依据北京市近两年的专利授权量的增长速度,即可预估2018年北京市专利授权量.

【详解】

解：∵北京市近两年的专利授权量平均每年增加：（件），

∴预估2018年北京市专利授权量约为106948＋6458.5≈113407（件），

故答案为：113407，北京市近两年的专利授权量平均每年增加6458.5件．

【点睛】

此题考查统计图的意义，解题的关键在于看懂图中数据.

17、a1．

【解析】

试题分析：根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．

原式=a10-1=a1，

故答案为a1．

考点：同底数幂的除法．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、37

【解析】

试题分析：过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出,在中, 计算出.

试题解析：如图所示：过点作交于点．

在中，

又∵在中，

答：的长度为

19、（1）1；（2）-1≤x<1.

【解析】

试题分析：(1)、首先根据绝对值、幂、三角函数的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案；(2)、分半求出每个不等式的解，然后得出不等式组的解．

试题解析：解：(1)、

(2)、 由得：x<1，由得：x≥-1，∴不等式的解集：-1≤x<1．

20、客房8间,房客63人

【解析】
设该店有间客房，以人数相等为等量关系列出方程即可.

【详解】

设该店有间客房,则

解得

答:该店有客房8间,房客63人.

【点睛】

本题考查的是利用一元一次方程解决应用题，根据题意找到等量关系式是解题的关键．

21、﹣1

【解析】

分析：首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．

详解：原式=4+1-6=-1．

点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．

22、（1）y＝－(x－3)2＋5（2）5

【解析】
（1）设顶点式y=a（x-3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【详解】

(1)设此抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋5，

将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得

∴此抛物线的表达式为

(2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x＝3，

∴B(5，3)．

令x＝0，则

∴△ABC的面积

【点睛】

考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.

23、详见解析

【解析】
（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可．

（1）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可．

【详解】

解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得2x=21﹣16，解得x=1．

设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得1y=21﹣16，解得：y=2．

所以，放入一个小球水面升高1cm，放入一个大球水面升高2cm．

（1）设应放入大球m个，小球n个，由题意，得

，解得：．

答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个．

24、（3）证明见解析; （3）AB=3.

【解析】
（3）由等腰直角三角形得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，得出∠BCD=∠ACE，根据SAS推出△ACE≌△BCD即可；

（3）求出AD=5，根据全等得出AE=BD=33，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE即可．

【详解】

证明：（3）如图，

∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，

∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（3）由（3）知△BCD≌△ACE，

则∠DBC=∠EAC，AE=BD=33，

∵∠CAD+∠DBC=90°，

∴∠EAC+∠CAD=90°，即∠EAD=90°，

∵AE=33，ED=33，

∴AD==5，

∴AB=AD+BD=33+5=3．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用.

考点：3．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．