拉萨市2022年中考数学考前最后一卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．有一组数据：3，4，5，6，6，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ）

A．4.8，6，6 B．5，5，5 C．4.8，6，5 D．5，6，6

2．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．90°

3．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）

A． B． C． D．

4．如图，等边△ABC内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，则图中的阴影部分面积为（   ）

A．     B．     C．     D．

5．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）．

A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧

C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点

6．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（　 　）

A． B． C． D．

7．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（    ）

A．两车同时到达乙地

B．轿车在行驶过程中进行了提速

C．货车出发3小时后，轿车追上货车

D．两车在前80千米的速度相等

9．已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( )

A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3

10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；其中正确的是（　　）

A．①③ B．②③ C．③④ D．②④

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位置时，则点O到点O′所经过的路径长为_____．

12．如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数y=的图像交于E、F两点，若△DEF的面积为，则k的值_______ ．

13．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是_____．

14．已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．

15．对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为__．

16．如图，在平面直角坐标系中，△的顶点、在坐标轴上，点的坐标是(2,2)．将△ABC沿轴向左平移得到△A1B1C1，点落在函数y=-．如果此时四边形的面积等于，那么点的坐标是________．

17．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是__．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C填空：b＝　  ，c＝　  ，点C的坐标为　  ．如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．

19．（5分）阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．即如图①，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上

请根据阅读材料，解决下列问题：

如图②，直线CD是等边△ABC的对称轴，点D在AB上，点E是线段CD上的一动点（点E不与点C、D重合），连结AE、BE，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合．

（I）旋转中心是点   ，旋转了      （度）；

（II）当点E从点D向点C移动时，连结AF，设AF与CD交于点P，在图②中将图形补全，并探究∠APC的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC的度数；若改变，请说出变化情况．

20．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

求反比例函数和一次函数的解析式；直接写出当x＞0时，的解集．点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

21．（10分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

22．（10分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x=．

23．（12分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

24．（14分） “垃圾不落地，城市更美丽”．某中学为了了解七年级学生对这一倡议的落实情况，学校安排政教处在七年级学生中随机抽取了部分学生，并针对学生“是否随手丢垃圾”这一情况进行了问卷调查，统计结果为：A为从不随手丢垃圾；B为偶尔随手丢垃圾；C为经常随手丢垃圾三项．要求每位被调查的学生必须从以上三项中选一项且只能选一项．现将调查结果绘制成以下来不辜负不完整的统计图．

请你根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；

(2)所抽取学生“是否随手丢垃圾”情况的众数是　   　；

(3)若该校七年级共有1500名学生，请你估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有多少人？谈谈你的看法？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；

而将这组数据从小到大的顺序排列3，4，5，6，6，处于中间位置的数是5，

平均数是：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，

故选C．

【点睛】

本题考查众数；算术平均数；中位数．

2、D

【解析】

已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D．

3、B

【解析】
根据简单概率的计算公式即可得解.

【详解】

一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.

故选B.

考点：简单概率计算.

4、A

【解析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．

∵△ABC是等边三角形，∴BH=AB=，OH=1，∴△OBC的面积= ×BC×OH=，则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积=，由圆周角定理得，∠BOC=120°，∴图中的阴影部分面积==．故选A．

点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．

5、B

【解析】
根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.

【详解】

解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上

则该二次函数的图像与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧

故选B.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.

6、A

【解析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选A．

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

7、D

【解析】试题分析：俯视图是从上面看到的图形．

从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，

故选D．

考点：简单组合体的三视图

8、B

【解析】
①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA和DC的解析式,求得交点坐标即可；③由图象无法求得B的横坐标;④分别进行运算即可得出结论.

【详解】

由题意和图可得，

轿车先到达乙地，故选项A错误，

轿车在行驶过程中进行了提速，故选项B正确，

货车的速度是：300÷5＝60千米/时，轿车在BC段对应的速度是：千米/时，故选项D错误，

设货车对应的函数解析式为y＝kx，

5k＝300，得k＝60，

即货车对应的函数解析式为y＝60x，

设CD段轿车对应的函数解析式为y＝ax＋b，

，得，

即CD段轿车对应的函数解析式为y＝110x－195，

令60x＝110x－195，得x＝3.9，

即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C错误，

故选：B．

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式

9、B

【解析】

试题分析：若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.

考点：函数图像与x轴交点的特点.

10、D

【解析】
①错误．由题意a＞1．b＞1，c＜1，abc＜1；
②正确．因为y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y2=mx+n（m≠1）交于A，B两点，当ax2+bx+c＜mx+n时，-3＜x＜-1；即不等式ax2+（b-m）x+c-n＜1的解集为-3＜x＜-1；故②正确；
③错误．抛物线与x轴的另一个交点是（1，1）；
④正确．抛物线y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y=-3只有一个交点，方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根，故④正确．

【详解】

解：∵抛物线开口向上，∴a＞1，
∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜1，
∵对称轴在y轴左边，∴- ＜1，
∴b＞1，
∴abc＜1，故①错误．
∵y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y2=mx+n（m≠1）交于A，B两点，
当ax2+bx+c＜mx+n时，-3＜x＜-1；
即不等式ax2+（b-m）x+c-n＜1的解集为-3＜x＜-1；故②正确，
抛物线与x轴的另一个交点是（1，1），故③错误，
∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y=-3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根，故④正确．
故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】
点O到点O′所经过的路径长分三段，先以A为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长，再平移了AB弧的长，最后以B为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长．根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：∵扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，

∴AB弧长=

∴点O到点O′所经过的路径长=

故答案为:

【点睛】

本题考查了弧长公式：．也考查了旋转的性质和圆的性质．

12、1

【解析】
利用对称性可设出E、F的两点坐标，表示出△DEF的面积，可求出k的值．

【详解】

解：设AF＝a（a＜2），则F（a，2），E（2，a），

∴FD＝DE＝2−a，

∴S△DEF＝DF•DE＝＝，

解得a＝或a＝（不合题意，舍去），

∴F（，2），

把点F（，2）代入

解得：k＝1，

故答案为1．

【点睛】

本题主要考查反比例函数与正方形和三角形面积的运用，表示出E和F的坐标是关键．

13、71

【解析】

分析：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．

详解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则

x2=4y2+52，

∵△BCD的周长是30，

∴x+2y+5=30

则x=13，y=1．

∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=71．

故答案是：71．

点睛：本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题．

14、x≥1．

【解析】

试题分析：根据题意得当x≥1时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥1．

故答案为x≥1．

考点： 一次函数与一元一次不等式．

15、1≤a≤1

【解析】
根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围．

【详解】

解：∵二次函数y＝x1﹣4x+4＝（x﹣1）1，

∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x＝﹣，

把y＝0代入解析式可得：x＝1，

把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x1＝1，

所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，

故可得：1≤a≤1，

故答案为：1≤a≤1．

【点睛】

此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

16、 (-5, )

【解析】

分析：依据点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，可得点B2的纵坐标为2，再根据点B2落在函数y=﹣的图象上，即可得到BB2=AA2=5=CC2，依据四边形AA2C2C的面积等于，可得OC=，进而得到点C2的坐标是（﹣5，）．

详解：如图，∵点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，∴点B2的纵坐标为2．又∵点B2落在函数y=﹣的图象上，∴当y=2时，x=﹣3，∴BB2=AA2=5=CC2．又∵四边形AA2C2C的面积等于，∴AA2×OC=，∴OC=，∴点C2的坐标是（﹣5，）．

    故答案为（﹣5，）．

点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．

17、m＞2

【解析】

试题分析：根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣2＞2．

解：因为抛物线y=（m﹣2）x2的开口向上，

所以m﹣2＞2，即m＞2，故m的取值范围是m＞2．

考点：二次函数的性质．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（3）3， 2，C（﹣2，4）；（2）y＝﹣m2+m ，PQ与OQ的比值的最大值为；（3）S△PBA＝3．

【解析】
（3）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y=4便可得C点坐标．
（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到，设点P坐标为（m，-m2+m+2），Q点坐标（n，-n+2），表示出ED、OD等长度即可得y与m、n之间的关系，再次利用即可求解．
（3）求得P点坐标，利用图形割补法求解即可．

【详解】

（3）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（2，4），B（4，2）．

又∵抛物线过B（4，2）

∴c＝2．

把A（2，4）代入y＝﹣x2+bx+2得，

4＝﹣×22+2b+2，解得，b＝3．

∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+2．

令﹣x2+x+2＝4，

解得，x＝﹣2或x＝2．

∴C（﹣2，4）．

（2）如图3，

分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．

设P（m，﹣m2+m+2），Q（n，﹣n+2），

则PE＝﹣m2+m+2，QD＝﹣n+2．

又∵＝y．

∴n＝．

又∵，即

把n＝代入上式得，

整理得，2y＝﹣m2+2m．

∴y＝﹣m2+m．

ymax＝．

即PQ与OQ的比值的最大值为．

（3）如图2，

∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝25°

∠PBA+∠CBO＝25°

∴∠OBP＝∠CBO

此时PB过点（2，4）．

设直线PB解析式为，y＝kx+2．

把点（2，4）代入上式得，4＝2k+2．

解得，k＝﹣2

∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+2．

令﹣2x+2＝﹣x2+x+2

整理得， x2﹣3x＝4．

解得，x＝4（舍去）或x＝5．

当x＝5时，﹣2x+2＝﹣2×5+2＝﹣7

∴P（5，﹣7）．

过P作PH⊥cy轴于点H．

则S四边形OHPA＝（OA+PH）•OH＝（2+5）×7＝24．

S△OAB＝OA•OB＝×2×2＝7．

S△BHP＝PH•BH＝×5×3＝35．

∴S△PBA＝S四边形OHPA+S△OAB﹣S△BHP＝24+7﹣35＝3．

【点睛】

本题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的确定，以及利用待定系数法求解抛物线解析式常数的方法，再者考查了利用数形结合的思想将图形线段长度的比化为坐标轴上点之间的线段长度比的思维能力．还考查了运用图形割补法求解坐标系内图形的面积的方法．

19、B    60   

【解析】

分析：(1)根据旋转的性质可得出结论;(2)根据旋转的性质可得BF=CF，则点F在线段BC的垂直平分线上，又由AC=AB，可得点A在线段BC的垂直平分线上，由AF垂直平分BC,即∠CQP=90，进而得出∠APC的度数.

详解：(1)B,60；

（2）补全图形如图所示；

的大小保持不变,

理由如下：设与交于点

∵直线是等边的对称轴

∴,

∵经顺时针旋转后与重合

∴ ,

∴

∴点在线段的垂直平分线上

∵

∴点在线段的垂直平分线上

∴垂直平分,即

∴

点睛：本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟记旋转的性质及垂直平分线的性质，注意只证明一点是不能说明这条直线是垂直平分线的.

20、（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.

【解析】
（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；

（2）根据图像解答即可；

（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.

【详解】

解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝；

把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；

（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；

∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

设直线AB′的解析式为y＝px+q，

∴，

解得，

∴直线AB′的解析式为，

令y＝0，得，

解得x＝，

∴点P的坐标为（，0）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.

21、15天

【解析】

试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需（x-1）天，乙工程队单独做需（x+6）天，根据题意可得等量关系：乙工程队干x天的工作量+甲工程队干4天的工作量=1，根据等量关系列出方程，解方程即可．

试题解析：设工程期限为x天．

根据题意得，

解得：x=15.

经检验x=15是原分式方程的解．

答：工程期限为15天.

22、6

【解析】

【分析】括号内先通分进行分式加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除运算，化简后代入x的值进行计算即可得.

【详解】原式=

=

=，

当x=，原式==6.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据所给的式子确定运算顺序、熟练应用相关的运算法则是解题的关键.

23、（1）y＝－(x－3)2＋5（2）5

【解析】
（1）设顶点式y=a（x-3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【详解】

(1)设此抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋5，

将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得

∴此抛物线的表达式为

(2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x＝3，

∴B(5，3)．

令x＝0，则

∴△ABC的面积

【点睛】

考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.

24、 (1)补全图形见解析；(2)B；(3)估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有75人，就该年级经常随手丢垃圾的学生人数看出仍需要加强公共卫生教育、宣传和监督．

【解析】
（1）根据被调查的总人数求出C情况的人数与B情况人数所占比例即可；

（2）根据众数的定义求解即可；

（3）该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生=总人数×C情况的比值.

【详解】

(1)∵被调查的总人数为60÷30%=200人，

∴C情况的人数为200﹣（60+130）=10人，B情况人数所占比例为×100%=65%，

补全图形如下：

(2)由条形图知，B情况出现次数最多，

所以众数为B，

故答案为B．

(3)1500×5%=75，

答：估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有75人，就该年级经常随手丢垃圾的学生人数看出仍需要加强公共卫生教育、宣传和监督．

【点睛】

本题考查了众数与扇形统计图与条形统计图，解题的关键是熟练的掌握众数与扇形统计图与条形统计图的相关知识点.