山东省临沂市临沂市蒙阴县达标名校2021-2022学年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限内，则点B（b，a）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（　　）

A．AE＝CF B．BE＝DF C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD

3．已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜2

4．某学校举行一场知识竞赛活动，竞赛共有4小题，每小题5分，答对给5分，答错或不答给0分，在该学校随机抽取若干同学参加比赛，成绩被制成不完整的统计表如下．

根据表中已有的信息，下列结论正确的是（　　）

A．共有40名同学参加知识竞赛

B．抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分

C．已知该校共有800名学生，若都参加竞赛，得0分的估计有100人

D．抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分

5．图为小明和小红两人的解题过程．下列叙述正确的是(   )

计算：+

A．只有小明的正确 B．只有小红的正确

C．小明、小红都正确 D．小明、小红都不正确

6．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（　 　）

A．22x=16（27﹣x） B．16x=22（27﹣x） C．2×16x=22（27﹣x） D．2×22x=16（27﹣x）

7．如图所示：有理数在数轴上的对应点，则下列式子中错误的是（      ）

A． B． C． D．

8．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是(　　)

A．2    B．1    C．－2    D．－1

9．反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点A(﹣1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若点P(x，y)在上，则点P′(﹣x，﹣y)也在图象．其中正确结论的个数是(   )

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）

A．13 B．15 C．17 D．19

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____．

12．点(1，–2)关于坐标原点 O 的对称点坐标是_____．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为________． 

14．如图，在菱形ABCD中，于E，，，则菱形ABCD的面积是______．

15．如果点P1(2，y1)、P2(3，y2) 在抛物线上，那么 y1 ______ y2.（填“>”，“<”或“=”）.

16．方程的两个根为、，则的值等于______．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C；抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，与x轴的另一个交点为点A（点A在点B的左侧），对称轴为l1，顶点为D．

（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式．

（2）点M（1，m）为y轴上一动点，过点M作直线l2平行于x轴，与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），且x2＞x1＞1．

①结合函数的图象，求x3的取值范围；

②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，求m的值．

18．（8分）如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向与灯塔Р的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔Р的距离.（结果保留根号）

19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．求证；∠BDC＝∠A．若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．

20．（8分）先化简，再求值：，其中x是从-1、0、1、2中选取一个合适的数．

21．（8分）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：

问题1：单价

该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？

问题2：投放方式

该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．

22．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

23．（12分）某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据有关信息解答：

(1)接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为________°，并补全条形统计图；

(2)若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；

(3)测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率．

24．先化简，再求值：，其中m＝2.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

分析：根据题意得出a和b的正负性，从而得出点B所在的象限．

详解：∵点A在第三象限，  ∴a＜0，－b＜0，  即a＜0，b＞0， ∴点B在第四象限，故选D．

点睛：本题主要考查的是象限中点的坐标特点，属于基础题型．明确各象限中点的横纵坐标的正负性是解题的关键．

2、B

【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，然后由AE=CF，∠EBF=∠FDE，∠BED=∠BFD均可判定四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE//DF，利用排除法即可求得答案．

【详解】

四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
A、∵AE=CF，

∴DE=BF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE//DF，故本选项能判定BE//DF；
B、∵BE=DF，
四边形BFDE是等腰梯形，
本选项不一定能判定BE//DF；
C、∵AD//BC，

∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，

∵∠EBF=∠FDE，

∴∠BED=∠BFD，

四边形BFDE是平行四边形，

∴BE//DF，

故本选项能判定BE//DF；
D、∵AD//BC，

∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，

∵∠BED=∠BFD，

∴∠EBF=∠FDE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE//DF，故本选项能判定BE//DF．
故选B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，注意根据题意证得四边形BFDE是平行四边形是关键．

3、B

【解析】

y<0时，即x轴下方的部分，

∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2.

故选B.

4、B

【解析】
根据频数÷频率=总数可求出参加人数，根据分别求出5分、15分、0分的人数，即可求出平均分，根据0分的频率即可求出800人中0分的人数，根据中位数的定义求出中位数，对选项进行判断即可.

【详解】

∵5÷0.1=50（名），有50名同学参加知识竞赛，故选项A错误；

∵成绩5分、15分、0分的同学分别有：50×0.2=10（名），50×0.4=20（名），50﹣10﹣5﹣20﹣5=10（名）

∴抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为：=10，故选项B正确；

∵0分同学10人，其频率为0.2，

∴800名学生，得0分的估计有800×0.2=160（人），故选项C错误；

∵第25、26名同学的成绩为10分、15分，

∴抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为12.5分，故选项D错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查利用频率估算概率，平均数及中位数的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.

5、D

【解析】
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．

【详解】

解：

＝﹣+

＝﹣+

＝

＝，

故小明、小红都不正确．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．

6、D

【解析】

设分配x名工人生产螺栓,则（27-x）人生产螺母,根据一个螺栓要配两个螺母可得方程2×22x=16（27-x），故选D.

7、C

【解析】
从数轴上可以看出a、b都是负数，且a＜b，由此逐项分析得出结论即可．

【详解】

由数轴可知：a<b<0，A、两数相乘，同号得正，ab＞0是正确的；
B、同号相加，取相同的符号，a+b＜0是正确的；
C、a＜b＜0，，故选项是错误的；
D、a-b=a+（-b）取a的符号，a-b＜0是正确的．
故选：C．

【点睛】

此题考查有理数的混合运算，数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.

8、D

【解析】

试题分析：∵α、β是一元二次方程的两个根，∴αβ==-1，故选D．

考点：根与系数的关系．

9、B

【解析】
根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．

【详解】

解：∵反比例函数的图象位于一三象限，

∴m＞0

故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；

将A(﹣1，h)，B(2，k)代入y＝，得到h＝﹣m，2k＝m，

∵m＞0

∴h＜k

故③正确；

将P(x，y)代入y＝得到m＝xy，将P′(﹣x，﹣y)代入y＝得到m＝xy，

故P(x，y)在图象上，则P′(﹣x，﹣y)也在图象上

故④正确，

故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．

10、B

【解析】

∵DE垂直平分AC，

∴AD=CD，AC=2EC=8，

∵C△ABC=AC+BC+AB=23，

∴AB+BC=23-8=15，

∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.

故选B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、（ ， ）

【解析】
连接AC，根据题意易证△AOC∽△COB，则，求得OC=2，即点C的坐标为（0，2），可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将C点坐标代入求解，最后将解析式化为顶点式即可.

【详解】

解：连接AC，

∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，

∴OA=1，OB=4，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵CO⊥AB，

∴∠ABC+∠BCO=90°，

∴∠CAB=∠BCO，

又∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴，

即=，

解得OC=2，

∴点C的坐标为（0，2），

∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，

∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

把点C的坐标代入得，a（0+1）（0﹣4）=2，

解得a=﹣，

∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣（x2﹣3x﹣4）=﹣（x﹣）2+，

∴此抛物线顶点的坐标为（ ， ）．

故答案为：（ ， ）．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，抛物线的顶点式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，利用相似三角形的性质求得关键点的坐标.

12、（-1,2）

【解析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．

【详解】

A（1，-2）关于原点O的对称点的坐标是（-1，2），
故答案为：（-1，2）．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

13、

【解析】
解：设E(x,x)，

∴B(2,x+2)，

∵反比例函数 (k≠0,x>0)的图象过点B. E.

∴x2=2(x+2)，

，(舍去)，

，

故答案为

14、

【解析】
根据题意可求AD的长度，即可得CD的长度，根据菱形ABCD的面积=CD×AE，可求菱形ABCD的面积．

【详解】

∵sinD=

∴

∴AD=11

∵四边形ABCD是菱形

∴AD=CD=11

∴菱形ABCD的面积=11×8=96cm1．

故答案为：96cm1．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键．

15、>

【解析】

分析：首先求得抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=1，利用二次函数的性质，点M、N在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，得出答案即可．

详解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1．∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，1＜2＜3，∴y1＞y2．

    故答案为＞．

点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．

16、1．

【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.

【详解】

解：根据题意得，，

所以===1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（2）y=x2﹣4x+3；（2）①2＜x3＜4，②m的值为或2．

【解析】
（2）由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得抛物线的顶点坐标为D（2，﹣2），当直线l2经过点D时求得m=﹣2；当直线l2经过点C时求得m=3，再由x2＞x2＞2，可得﹣2＜y3＜3，即可﹣2＜﹣x3+3＜3，所以2＜x3＜4；②分当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.

【详解】

（2）在y=﹣x+3中，令x=2，则y=3；

令y=2，则x=3；得B（3，2），C（2，3），

将点B（3，2），C（2，3）的坐标代入y=x2+bx+c

得：，解得

∴y=x2﹣4x+3；

（2）∵直线l2平行于x轴，

∴y2=y2=y3=m，

①如图①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣2，

∴顶点为D（2，﹣2），

当直线l2经过点D时，m=﹣2；

当直线l2经过点C时，m=3

∵x2＞x2＞2，

∴﹣2＜y3＜3，

即﹣2＜﹣x3+3＜3，

得2＜x3＜4，

②如图①，当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间，

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PQ=QN．

∵x2＞x2＞2，

∴x3﹣x2=x2﹣x2，

即 x3=2x2﹣x2，

∵l2∥x轴，即PQ∥x轴，

∴点P、Q关于抛物线的对称轴l2对称，

又抛物线的对称轴l2为x=2，

∴2﹣x2=x2﹣2，

即x2=4﹣x2，

∴x3=3x2﹣4，

将点Q（x2，y2）的坐标代入y=x2﹣4x+3

得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3

∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，

∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）

即 x22﹣x2﹣4=2，解得x2=，（负值已舍去），

∴m=（）2﹣4×+3=

如图②，当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间，

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PN=NQ．

由上可得点P、Q关于直线l2对称，

∴点N在抛物线的对称轴l2：x=2，

又点N在直线y=﹣x+3上，

∴y3=﹣2+3=2，即m=2．

故m的值为或2．

【点睛】

本题是二次函数综合题，

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、线段的中点及分类讨论思想等知识．在（2）中注意待定系数法的应用；在（2）①注意利用数形结合思想；在（2）②注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

18、海里

【解析】
过点P作，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB．

【详解】

解：如图，过点P作，垂足为点C.

∴，，海里.

在中，，

∴（海里）．

在中，，

∴（海里）.

∴此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是海里．

【点睛】

解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

19、（1）详见解析；（2）1+

【解析】
（1）连接OD，结合切线的性质和直径所对的圆周角性质，利用等量代换求解（2）根据勾股定理先求OC，再求AC.

【详解】

（1）证明：连结．如图，

与相切于点D，

是的直径，

即

（2）解：在中，

.

【点睛】

此题重点考查学生对圆的认识，熟练掌握圆的性质是解题的关键.

20、.

【解析】
先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可．

【详解】

,

=

=

=

=，

当x=0时，原式=.

21、问题1：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：a的值为1

【解析】
问题1：设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，

依题意得50x+50（x+10）=7500，

解得x=70，

∴x+10=80，

答：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；

问题2：由题可得，×1000+×1000=10000，

解得a=1，

经检验：a=1是分式方程的解，

故a的值为1．

22、 (1) 4800元；(2) 降价60元.

【解析】

试题分析：（1）先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．

试题解析：

（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；

（2）设每件商品应降价x元，

由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，

解得x1＝8，x2＝60.

要更有利于减少库存，则x＝60.

即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.

点睛：本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．

23、 (1)80，135°，条形统计图见解析；(2)825人；（3）图表见解析，（抽到1男1女）．

【解析】

试题分析：(1)、根据“中”的人数和百分比得出总人数，然后求出优所占的百分比，得出圆心角的度数；(2)、根据题意得出“良”和“优”两种所占的百分比，从而得出全校的总数；(3)、根据题意利用列表法或者树状图法画出所有可能出现的情况，然后根据概率的计算法则求出概率.

试题解析：(1)80，135°； 条形统计图如图所示

(2)该校对安全知识达到“良”程度的人数：（人）

（3）解法一：列表如下:

所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，

所以（抽到1男1女）．

解法二：画树状图如下:

所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，

所以（抽到1男1女）．

24、，原式.

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值.

【详解】

原式，

当m＝2时，原式.

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.