山东省沂水四十里中学2021-2022学年中考数学考前最后一卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为(    )

A． B． C．1 D．

2．若分式 有意义，则x的取值范围是

A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0

3．如图，已知AB∥CD，DE⊥AF，垂足为E，若∠CAB=50°，则∠D的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

4．据报道，南宁创客城已于2015年10月开城，占地面积约为14400平方米，目前已引进创业团队30多家，将14400用科学记数法表示为（　　）

A．14.4×103 B．144×102 C．1.44×104 D．1.44×10﹣4

5．方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．

A．k≥1 B．k≤1 C．k>1 D．k<1

6．方程＝的解为(   )

A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5

7．正比例函数y=（k+1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　）

A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1

8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．

9．﹣的绝对值是（　　）

A．﹣ B． C．﹣2 D．2

10．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，5）    B．（﹣2，﹣5）    C．（2，5）    D．（2，﹣5）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，则这个多边形的边数是_______________

12．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是　　．

13．如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么的正切值为___．

14．一个扇形的弧长是，它的面积是，这个扇形的圆心角度数是_____．

15．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为1 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm1．

16．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．

（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；

（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．

19．（8分）作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）

20．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．

（1）求证：AC=CE；

（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；

（1）已知⊙O的半径为1．

①若=，求BC的长；

②当为何值时，AB•AC的值最大？

21．（8分）某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10%，总支出比去年节约20%，按计划今年总收入将比总支出多100万元．今年的总收入和总支出计划各是多少万元？

22．（10分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若OF=4，求AC的长度．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：△ADE～△ABC；

（2）当AC＝8，BC＝6时，求DE的长．

24．如图，是5×5正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．

（1）在图（1）中画出一个等腰△ABE，使其面积为3.5；

（2）在图（2）中画出一个直角△CDF，使其面积为5，并直接写出DF的长．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．

【详解】

试题分析：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAH=45°，

∴△AMH为等腰直角三角形，

∴AH=MH=AM=×2=，

∵CM平分∠ACB，

∴BM=MH=，

∴AB=2+，

∴AC=AB=（2+）=2+2，

∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，

∵BD⊥AC，

∴ON∥MH，

∴△CON∽△CHM，

∴，即，

∴ON=1．

故选C．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

2、C

【解析】
分式分母不为0，所以，解得.

故选：C.

3、B

【解析】

试题解析：∵AB∥CD，且

∴在中， 

故选B．

4、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【详解】

14400=1.44×1．

故选C．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5、D

【解析】

当k=1时，原方程不成立，故k≠1，

当k≠1时，方程为一元二次方程．

∵此方程有两个实数根，

∴，解得：k≤1．

综上k的取值范围是k＜1．故选D．

6、C

【解析】

方程两边同乘（x-1）(x+3)，得

x+3-2(x-1)=0，

解得：x=5，

检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，

所以x=5是原方程的解，

故选C.

7、D

【解析】
根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1＜0，然后解不等式即可．

【详解】

解：∵正比例函数 y=（k+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，

∴k+1＜0，

解得，k＜-1；

故选D．

【点睛】

本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．

8、C

【解析】

分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．

详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数 (x<0)的图象上，

∴当x=−1时，y=2，

∴A(−1,2).

∵此矩形向右平移3个单位长度到的位置，

∴B1(2,0)，

∴A1(2,2).

∵点A1在函数 (x>0)的图象上，

∴k=4，

∴反比例函数的解析式为,O1(3,0)，

∵C1O1⊥x轴，

∴当x=3时, 

∴P

故选C.

点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，利用平移的性质求出点A1的坐标.

9、B

【解析】
根据求绝对值的法则，直接计算即可解答．

【详解】

，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查求绝对值的法则，掌握负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键．

10、C

【解析】
根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.

【详解】

∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，

∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1

【解析】
设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．

【详解】

设这个正多边的外角为x°，由题意得：

x+5x=180，

解得：x=30，

360°÷30°=1．

故答案为：1．

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．

12、1．

【解析】

依据调和数的意义，有－＝－，解得x＝1.

13、

【解析】
延长GF与CD交于点D，过点E作交DF于点M,设正方形的边长为，则解直角三角形可得,根据正切的定义即可求得的正切值

【详解】

延长GF与CD交于点D，过点E作交DF于点M,

设正方形的边长为，则

,

故答案为：

【点睛】

考查正多边形的性质，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键.

14、120°

【解析】
设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．

【详解】

设扇形的半径为r，圆心角为n°．

由题意：,

∴r＝4，

∴

∴n＝120，

故答案为120°

【点睛】

本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.

15、

【解析】
根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，

∴∠OBC=30°，

∴OC=OB=1

则边BC扫过区域的面积为：

故答案为．

【点睛】

考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.

16、

【解析】
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

列表如下：

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为，

故答案为．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.

【解析】
（1）求出OA=BC=2，将y=2代入求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.

（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标.

【详解】

（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，

∴OA=BC=2.

将y=2代入3得：x=2，∴M（2，2）.

把M的坐标代入得：k=4，

∴反比例函数的解析式是；

（2）.

∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，

∴.

∵AM=2，

∴OP=4.

∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.

18、（1）证明见解析；（1）2

【解析】

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠1，再根据等角的余角相等求出∠BEF=∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE=∠AFD，等量代换即可得解；

    （1）根据中点定义求出BC，利用勾股定理列式求出AB即可．

详解：（1）如图，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠1．

    ∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠1+∠BEF=∠1+∠AFD=90°，∴∠BEF=∠AFD．

    ∵∠BFE=∠AFD（对顶角相等），∴∠BEF=∠BFE；

    （1）∵BE=1，∴BC=4，由勾股定理得：AB===2．

点睛：本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

19、见解析

【解析】
先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．

【详解】

①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；

②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；

③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；

⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；

⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求．

【点睛】

本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．

20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①BC=4；②

【解析】

分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

（1）①设AB=5k、AC=1k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=1k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=1-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=1-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．

详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，

∴∠D=∠BEC，

∵四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴∠A+∠D=180°，

又∠BEC+∠AEC=180°，

∴∠A=∠AEC，

∴AC=CE；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，

∴CF=CG=AC，

∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，

∴∠G+∠AEF=180°，

又∵∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠G=∠BEF，

∵∠EBF=∠GBA，

∴△BEF∽△BGA，

∴，即BF•BG=BE•AB，

∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，

∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；

（1）设AB=5k、AC=1k，

∵BC2﹣AC2=AB•AC，

∴BC=2k，

连接ED交BC于点M，

∵四边形BDCE是菱形，

∴DE垂直平分BC，

则点E、O、M、D共线，

在Rt△DMC中，DC=AC=1k，MC=BC=k，

∴DM=，

∴OM=OD﹣DM=1﹣k，

在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（1﹣k）2+（k）2=12，

解得：k=或k=0（舍），

∴BC=2k=4；

②设OM=d，则MD=1﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，

∴BC2=（2MC）2=16﹣4d2，

AC2=DC2=DM2+CM2=（1﹣d）2+9﹣d2，

由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4（d﹣）2+，

∴当d=，即OM=时，AB•AC最大，最大值为，

∴DC2=，

∴AC=DC=，

∴AB=，此时．

点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．

21、今年的总收入为220万元，总支出为1万元．

【解析】

试题分析：设去年总收入为x万元，总支出为y万元，根据利润=收入-支出即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

试题解析：

设去年的总收入为x万元，总支出为y万元．

根据题意，得，

解这个方程组，得，

∴（1+10%）x=220，（1-20%）y=1．

答：今年的总收入为220万元，总支出为1万元．

22、（1）DE与⊙O相切,证明见解析；（2）AC=8.

【解析】

(1)解：（1）DE与⊙O相切．

证明：连接OD、AD，

∵点D是的中点，

∴=，

∴∠DAO=∠DAC，

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠DAC=∠ODA，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE与⊙O相切．

（2） 连接BC,根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．AC=8

23、（1）见解析;（2）．

【解析】
（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可判定；

（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．

【详解】

（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°．

∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB．

（2）在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB1．

∵DE垂直平分AB，∴AE=EB=2．

∵△AED∽△ACB，∴，∴，∴DE．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

24、 (1)见解析；（2）DF＝

【解析】
（1）直接利用等腰三角形的定义结合勾股定理得出答案；

（2）利用直角三角的定义结合勾股定理得出符合题意的答案．

【详解】

（1）如图（1）所示：△ABE，即为所求；

（2）如图（2）所示：△CDF即为所求，DF=．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形面积求法，正确应用网格分析是解题关键．