山东省日照市莒县市级名校2022年中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）

A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90

2．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（  ）

A．2π﹣ B．π+ C．π+2 D．2π﹣2

3．的算术平方根是（　　）

A．4 B．±4 C．2 D．±2

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（　　）

A．（2017，0） B．（2017，）

C．（2018，） D．（2018，0）

5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）

A．140° B．160° C．170° D．150°

6．若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．sin45°的值等于（　　）

A． B．1 C． D．

8．一、单选题

小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

9．如图所示的几何体的主视图正确的是（ ）

A． B． C． D．

10．某大型企业员工总数为28600人，数据“28600”用科学记数法可表示为（　　）

A．0.286×105    B．2.86×105    C．28.6×103    D．2.86×104

11．平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第一象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）

A． B．

C． D．

12．已知代数式x+2y的值是5，则代数式2x+4y+1的值是（　　）

A．6     B．7    C．11    D．12

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标为_____．

14．将一次函数的图象平移，使其经过点（2，3），则所得直线的函数解析式是______．

15．如图，四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AB=BC，CD=4，AC=8，设Q、R分别是AB、AD上的动点，则△CQR 的周长的最小值为_________ ．

16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是         ．

17．化简；÷（﹣1）=______．

18．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.分别写出图中点A和点C的坐标；画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.

20．（6分）淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．

21．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2，3、1．

（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为          ；

（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．

22．（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是　   　度．若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．

23．（8分）先化简，再求代数式（）÷的值，其中x=sin60°，y=tan30°．

24．（10分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.1°，∠PBA=26.1．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）

（参考数据：sin38.1°=0.62，cos38.1°=0.78，tan38.1°=0.80，sin26.1°=0.41，cos26.1°=0.89，tan26.1°=0.10）

25．（10分）如图，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

26．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．

（1）求证：BD=CD；

（2）求证：DC2=CE•AC；

（3）当AC=5，BC=6时，求DF的长．

27．（12分）对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高 线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命 题会正确吗？

（1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”．

①等腰三角形两腰上的中线相等　   ;

②等腰三角形两底角的角平分线相等　   ;

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形　   ;

（2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

试题分析：设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可． 设某种书包原价每个x元，

可得：0.8x﹣10=90

考点：由实际问题抽象出一元一次方程．

2、D

【解析】

分析：观察图形可知，阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.

详解：连接CD．

∵∠C=90°，AC=2，AB=4，

∴BC==2．

∴阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC

=

=

.

故选：D．

点睛：本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式及割补法求图形的面积，根据图形判断出阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC是解答本题的关键.

3、C

【解析】
先求出的值，然后再利用算术平方根定义计算即可得到结果．

【详解】

＝4，

4的算术平方根是2，

所以的算术平方根是2，

故选C．

【点睛】

本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．

4、C

【解析】
本题是规律型：点的坐标；坐标与图形变化-旋转，正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；因为2017÷6=336余1，点F滚动1次时的横坐标为2，纵坐标为，点F滚动7次时的横坐标为8，纵坐标为，所以点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，由此即可解决问题．

【详解】

．解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；

∴2017÷6=336余1，

∴点F滚动1次时的横坐标为2，纵坐标为，点F滚动7次时的横坐标为8，纵坐标为，

∴点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，

∴点F滚动2107次时的横坐标为2017+1=2018，纵坐标为，

∴点F滚动2107次时的坐标为（2018，），

故选C．

【点睛】

本题考查坐标与图形的变化，规律型：点的坐标，解题关键是学会从特殊到一般的探究方法，是中考常考题型．

5、B

【解析】

试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.

考点：角度的计算

6、C

【解析】

首先求出二次函数的图象的对称轴x==2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A（2，）中x=2，知最小，再由B（-3，），C（-1，）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，所以．总结可得．

故选C．

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数的图象性质．

7、D

【解析】
根据特殊角的三角函数值得出即可．

【详解】

解：sin45°=，

故选：D．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．

8、C

【解析】
解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，

可列方程得，

故选C．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．

9、D

【解析】
主视图是从前向后看，即可得图像.

【详解】

主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.

10、D

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可

【详解】

28600=2.86×1．故选D．

【点睛】

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键

11、B

【解析】
根据第二象限中点的特征可得： ，

解得： .

在数轴上表示为：

故选B.

考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征

12、C

【解析】
根据题意得出x+2y=5，将所求式子前两项提取2变形后，把x+2y=5代入计算即可求出值．

【详解】

∵x+2y=5，

∴2x+4y=10，

则2x+4y+1=10+1=1．

故选C．

【点睛】

此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

【解析】
如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A′D、OD的长度，即可解决问题．

【详解】

解：∵四边形OABC是矩形，

∴OA=BC，AB=OC，tan∠BOC==，

∴AB=2OA，

∵，OB=，

∴OA=2，AB=2．∵OA′由OA翻折得到，

∴OA′= OA=2．

如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；

设A′D=a，OD=b；

∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D为梯形；

设AB=OC=a，BC=AO=b；

∵OB=，tan∠BOC=，

∴，

解得： ；

由题意得：A′O=AO=2；△ABO≌△A′BO；

由勾股定理得：x2+y2=2①，

由面积公式得：xy+2××2×2＝(x+2)×(y+2)②；

联立①②并解得：x=，y=．

故答案为（−，）

【点睛】

该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

14、

【解析】

试题分析：解：设y=x+b，

∴3=2+b，解得：b=1．

∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．

考点：一次函数

点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．

15、

【解析】
作C关于AB的对称点G，关于AD的对称点F，可得三角形CQR的周长＝CQ＋QR＋CR＝GQ＋QR＋RF≥GF．根据圆周角定理可得∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CBD＝∠CAD＝30°，由于GF＝2BD，在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，可求BD的长，从而求出△CQR的周长的最小值．

【详解】

解：作C关于AB的对称点G，关于AD的对称点F，则三角形CQR的周长＝CQ＋QR＋CR＝GQ＋QR＋RF＝GF，

在Rt△ADC中，∵sin∠DAC＝，

∴∠DAC＝30°，

∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CBD＝∠CAD＝30°

在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，

BD＝DH＋BH＝4×cos45°＋×cos30°＝，

∵CD＝DF，CB＝BG，

∴GF＝2BD＝，

△CQR的周长的最小值为．

【点睛】

本题考查了轴对称问题，关键是根据轴对称的性质和两点之间线段最短解答．

16、m≤1．

【解析】

试题分析：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1．故答案为m≤1．

考点：根的判别式．

17、-

【解析】
直接利用分式的混合运算法则即可得出.

【详解】

原式，

，

，

.

故答案为.

【点睛】

此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键.

18、.

【解析】
由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,)，从而

表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.

【详解】

如图，连接DC，

∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.

∴△ADC的面积为4.

∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，

∴设A点坐标为 (x,).

∵OC＝2AB，∴OC=2x.

∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.

∴梯形BOCA的面积=，解得.

【点睛】

反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）、（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长．

试题解析：（1）A（0,4）C（3,1）

（2）如图所示：

（3）根据勾股定理可得：AC=3，则．

考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．

20、（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为1元．

【解析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．

【详解】

（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，

根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，

解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．

（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×10（1+2a%）＝30000，

整理得：a2+75a﹣2500＝0，

解得：a1＝25，a2＝﹣1（不合题意，舍去），

∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝1．

答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为1元．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21、（1）；（2）这两个数字之和是3的倍数的概率为．

【解析】
（1）在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，根据概率公式可得；（2）用列表法列出所有情况，再计算概率.

【详解】

解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，

∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，

故答案为；

（2）列表如下：

由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，

所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=．

【点睛】

本题考核知识点：求概率. 解题关键点：列出所有情况，熟记概率公式.

22、（1）50；（2）①6；②1

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；

（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；

②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．

试题解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°．∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°．故答案为50；

（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC．∵AB=8，△MBC的周长是1，∴BC=1﹣8=6；

②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=1．

23、

【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x和y的值并代入进行计算即可

【详解】

原式

∴原式

【点睛】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

24、49.2米

【解析】
设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．

【详解】

解：设PD=x米，

∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°．

在Rt△PAD中，，∴．

在Rt△PBD中，，∴．

又∵AB=80.0米，∴，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米．

∴DB=2x=49.2米．

答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．

25、（1）；（2）（，0）；（3）1，M（2，﹣3）．

【解析】

试题分析：方法一：

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．

方法二：

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．

（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点．

试题解析：解：方法一：

（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：　0=16a﹣×1﹣2，即：a=，∴抛物线的解析式为：．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=1，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（1，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=，即：，且△=0；

∴1﹣1×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣1；

∴直线l：y=x﹣1．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：

即 M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×1=1．

方法二：

（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：　0=16a﹣×1﹣2，即：a=，∴抛物线的解析式为：．

（2）∵y=（x﹣1）（x+1），∴A（﹣1，0），B（1，0）．C（0，﹣2），∴KAC= =﹣2，KBC= =，∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（，0）．

（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（1，0），C（0，﹣2），∴lBC：y=x﹣2，设H（t，t﹣2），M（t，），∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣）（1﹣0）=﹣t2+1t，∴当t=2时，S有最大值1，∴M（2，﹣3）．

点睛：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．

26、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DF=．

【解析】
（1）先判断出AD⊥BC，即可得出结论；

（2）先判断出OD∥AC，进而判断出∠CED=∠ODE，判断出△CDE∽△CAD，即可得出结论；

（3）先求出OD，再求出CD=3，进而求出CE，AE，DE，再判断出，即可得出结论．

【详解】

（1）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD；

（2）连接OD，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE=90°，

由（1）知，BD=CD，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∴∠CED=∠ODE=90°=∠ADC，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴，

∴CD2=CE•AC；

（3）∵AB=AC=5，

由（1）知，∠ADB=90°，OA=OB，

∴OD=AB=，

由（1）知，CD=BC=3，

由（2）知，CD2=CE•AC，

∵AC=5，

∴CE=，

∴AE=AC-CE=5-=，

在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE=,

由（2）知，OD∥AC，

∴，

∴，

∴DF=．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理，判断出△CDE∽△CAD是解本题的关键．

27、（1）①真；②真；③真；（2）逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；见解析.

【解析】
(1)根据命题的真假判断即可；

(2)根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．

【详解】

(1)①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题；

②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题；

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题；

故答案为真；真；真；

(2)逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；

已知：如图，△ABC中，BD，CE分别是AC，BC边上的中线，且BD＝CE，

求证：△ABC是等腰三角形；

证明：连接DE，过点D作DF∥EC，交BC的延长线于点F，

∵BD，CE分别是AC，BC边上的中线，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，

∵DF∥EC，

∴四边形DECF是平行四边形，

∴EC＝DF，

∵BD＝CE，

∴DF＝BD，

∴∠DBF＝∠DFB，

∵DF∥EC，

∴∠F＝∠ECB，

∴∠ECB＝∠DBC，

在△DBC与△ECB中

，

∴△DBC≌△ECB，

∴EB＝DC，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；证明的步骤是：先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证，最后写出证明过程．