山东省临沂沂水县联考2022年中考数学考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1． “可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（    ）

A．0.8×1011 B．8×1010 C．80×109 D．800×108

2．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（　　）

A．0.5×10﹣4 B．5×10﹣4 C．5×10﹣5 D．50×10﹣3

3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（    ）

A．45° B．85° C．90° D．95°

4．下列判断错误的是（　　）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形

C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，AB=10，BC=8，DE=4.5，则△DEF的周长是（　　）

A．9.5 B．13.5 C．14.5 D．17

6．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

A． B．2 C． D．2

7．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|c﹣a|﹣|a+b|的值等于（　　）

A．c+b B．b﹣c C．c﹣2a+b D．c﹣2a﹣b

8．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（　　）

A．60cm2 B．50cm2 C．40cm2 D．30cm2

9．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在已知的△  ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，则下列结论正确的是（　　）

A．CD+DB=AB B．CD+AD=AB C．CD+AC=AB D．AD+AC=AB

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知二次函数的图像与轴交点的横坐标是和，且，则________．

12．计算：（3+1）（3﹣1）=　   　．

13．方程的解是         ．

14．计算：|﹣5|﹣=_____．

15．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿折叠得到，点落在对角线上．若，，，则的周长为________．

16．数据：2，5，4，2，2的中位数是_____，众数是_____，方差是_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．

(1)判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若AC＝8，cos∠BED＝，求AD的长．

18．（8分）某景区内从甲地到乙地的路程是，小华步行从甲地到乙地游玩，速度为，走了后，中途休息了一段时间，然后继续按原速前往乙地，景区从甲地开往乙地的电瓶车每隔半小时发一趟车，速度是，若小华与第1趟电瓶车同时出发，设小华距乙地的路程为，第趟电瓶车距乙地的路程为，为正整数，行进时间为.如图画出了，与的函数图象．

（1）观察图，其中         ，         ；

（2）求第2趟电瓶车距乙地的路程与的函数关系式；

（3）当时，在图中画出与的函数图象；并观察图象，得出小华在休息后前往乙地的途中，共有      趟电瓶车驶过．

19．（8分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

20．（8分）（问题情境）

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．

小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．

[变式探究]

如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

[结论运用]

如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值；

[迁移拓展]

图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．

（1）求证：FD=CD；

（2）若AE=8，tan∠E=，求⊙O的半径．

22．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．

(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；

(2)若∠ABC＝60°，BD＝6，求DE的长．

23．（12分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．

求证：△ECG≌△GHD；

24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．

（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；

（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：将800亿用科学记数法表示为：8×1．
故选：B．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2、C

【解析】

绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，

0.00005＝，

故选C.

3、B

【解析】
解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，

∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，

∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，

∴∠CAD=∠DBC=45°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，

故选B．

【点睛】

本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

4、C

【解析】
根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，对选项进行判断即可

【详解】

解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确；

B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；

C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误；

D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确．

故选C

【点睛】

此题综合考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定法则才是解题关键

5、B

【解析】
由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【详解】

∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，

∴DE=AC=4.1，DF=BC=4，EF=AB=1，

∴△DEF的周长=（AB+BC+AC）=×（10+8+9）=13.1．

故选B．

【点睛】

考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

6、C

【解析】
通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．

【详解】

过点D作DE⊥BC于点E

.

由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．.

∴AD=a.

∴DE•AD＝a.

∴DE=1.

当点F从D到B时，用s.

∴BD=.

Rt△DBE中，

BE=，

∵四边形ABCD是菱形，

∴EC=a-1，DC=a，

Rt△DEC中，

a1=11+（a-1）1.

解得a=.

故选C．

【点睛】

本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．

7、A

【解析】
根据数轴得到b＜a＜0＜c，根据有理数的加法法则，减法法则得到c-a＞0，a+b＜0，根据绝对值的性质化简计算．

【详解】

由数轴可知，b＜a＜0＜c，

∴c-a＞0，a+b＜0，

则|c-a|-|a+b|=c-a+a+b=c+b，

故选A．

【点睛】

本题考查的是实数与数轴，绝对值的性质，能够根据数轴比较实数的大小，掌握绝对值的性质是解题的关键．

8、D

【解析】
标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出，即，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．

【详解】

解:如图，∵正方形的边DE∥CF，

∴∠B=∠AED，

∵∠ADE=∠EFB=90°，

∴△ADE∽△EFB，

∴，

∴，

设BF=3a，则EF=5a，

∴BC=3a+5a=8a，

AC=8a×=a，

在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，

即（a）1+（8a）1=（10+6）1，

解得a1=，

红、蓝两张纸片的面积之和=×a×8a-（5a）1，

=a1-15a1，

=a1，

=×，

=30cm1．

故选D．

【点睛】

本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.

9、B

【解析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．

【详解】

A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

B. 符合向量的长度及方向，正确；

C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

10、B

【解析】
作弧后可知MN⊥CB，且CD=DB.

【详解】

由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB.

【点睛】

了解中垂线的作图规则是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、－12

【解析】
令y=0，得方程，和即为方程的两根，利用根与系数的关系求得和，利用完全平方式并结合即可求得k的值．

【详解】

解：∵二次函数的图像与轴交点的横坐标是和，

令y=0，得方程，

则和即为方程的两根，

∴，，

∵，

两边平方得：，

∴，

即，解得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，解题的关键是利用根与系数的关系，整体代入求解．

12、1．

【解析】
根据平方差公式计算即可．

【详解】

原式=（3）2-12

=18-1

=1

故答案为1．

【点睛】

本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．

13、x=1．

【解析】
根据解分式方程的步骤解答即可.

【详解】

去分母得：2x=3x﹣1，

解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解，

故答案为x=1．

【点睛】

本题主要考查了解分式方程的步骤，牢牢掌握其步骤就解答此类问题的关键．

14、1

【解析】

分析：直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案．

详解：原式=5-3

=1．

故答案为1.

点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

15、6.

【解析】
先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE，从而可求出的周长.

【详解】

解：∵四边形是平行四边形，

∴BC=AD=5,

∵，

∴AC= ==4

∵沿折叠得到，

∴AF=AB=3，EF=BE，

∴的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF

=BC+AC-AF

=5+4-3=6

故答案为6.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键.

16、2    2    1.1．   

【解析】
先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；找出这组数据中最多的数则是众数；先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]进行计算即可．

【详解】

解：把这组数据从小到大排列为：2，2，2，4，5，最中间的数是2，

则中位数是2；

众数为2；

∵这组数据的平均数是(2+2+2+4+5)÷5=3，

∴方差是： [(2−3)2+(2−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=1.1.

故答案为2，2，1.1.

【点睛】

本题考查了中位数、众数与方差的定义，解题的关键是熟练的掌握中位数、众数与方差的定义.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）AC与⊙O相切，证明参见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由于OC⊥AD，那么∠OAD+∠AOC=90°，又∠BED=∠BAD，且∠BED=∠C，于是∠OAD=∠C，从而有∠C+∠AOC=90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC=90°，即AC是⊙O的切线；（2）连接BD，AB是直径，那么∠ADB=90°，在Rt△AOC中，由于AC=8，∠C=∠BED，cos∠BED=，利用三角函数值，可求OA=6，即AB=12，在Rt△ABD中，由于AB=12，∠OAD=∠BED，cos∠BED=，同样利用三角函数值，可求AD．

试题解析：（1）AC与⊙O相切．∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧，∴∠BAD=∠BED，∵OC⊥AD，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠BED+∠AOC=90°，即∠C+∠AOC=90°，∴∠OAC=90°，∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切；（2）连接BD．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，在Rt△AOC中，∠CAO=90°，∵AC=8，∠ADB=90°，cos∠C=cos∠BED=，∴AO=6，∴AB=12，在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=，∴AD=AB•cos∠OAD=12×=．

考点：1.切线的判定；2.解直角三角形．

18、（1）0.8；2.1；（2）；（2）图像见解析，2

【解析】
（1）根据小华走了4千米后休息了一段时间和小华的速度即可求出a的值，用剩下的路程除以速度即可求出休息后所用的时间，再加上1.5即为b的值；

（2）先求出电瓶车的速度，再根据路程=两地间距-速度×时间即可得出答案；

（2）结合的图象即可画出的图象，观察图象即可得出答案．

【详解】

解：（1），

故答案为：0.8；2.1．

（2）根据题意得：

电瓶车的速度为

∴．

（2）画出函数图象，如图所示．

观察函数图象，可知：小华在休息后前往乙地的途中，共有2趟电瓶车驶过．

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用，能够从图象上获取有效信息是解题的关键．

19、

【解析】
过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CBD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=2，进而求出PE=4，AE=5，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．

【详解】

解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，

∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°．

在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，

∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°．

∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=1．

∴0.75PD﹣0.50PD=1，解得PD=2．

∴BD=PD•tan26.6°≈2×0.50=3．

∵OB=220，∴PE=OD=OB﹣BD=4．

∵OE=PD=2，∴AE=OE﹣OA=2﹣200=5．

∴．

20、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；[变式探究]见解析；[结论运用]PG+PH的值为1；[迁移拓展]（6+2）dm

【解析】
小军的证明：连接AP，利用面积法即可证得；

小俊的证明：过点P作PG⊥CF，先证明四边形PDFG为矩形，再证明△PGC≌△CEP，即可得到答案；

[变式探究]小军的证明思路：连接AP，根据S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，即可得到答案；

小俊的证明思路：过点C，作CG⊥DP，先证明四边形CFDG是矩形，再证明△CGP≌△CEP即可得到答案；

[结论运用] 过点E作EQ⊥BC，先根据矩形的性质求出BF，根据翻折及勾股定理求出DC，证得四边形EQCD是矩形，得出BE＝BF即可得到答案；

[迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，证明△ADE∽△BCE得到FA=FB，设DH＝x，利用勾股定理求出x得到BH＝6，再根据∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点即可得到答案.

【详解】

小军的证明：

连接AP，如图②

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，

∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，

∵AB＝AC，

∴CF＝PD+PE．

小俊的证明：

过点P作PG⊥CF，如图2，

∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，

∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，

∴四边形PDFG为矩形，

∴DP＝FG，∠DPG＝90°，

∴∠CGP＝90°，

∵PE⊥AC，

∴∠CEP＝90°，

∴∠PGC＝∠CEP，

∵∠BDP＝∠DPG＝90°，

∴PG∥AB，

∴∠GPC＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠GPC＝∠ECP，

在△PGC和△CEP中

，

∴△PGC≌△CEP，

∴CG＝PE，

∴CF＝CG+FG＝PE+PD；

[变式探究]

小军的证明思路：连接AP，如图③，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，

∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，

∵AB＝AC，

∴CF＝PD﹣PE；

小俊的证明思路：

过点C，作CG⊥DP，如图③，

∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，

∴∠CFD＝∠FDG＝∠DGC＝90°，

∴CF＝GD，∠DGC＝90°，四边形CFDG是矩形，

∵PE⊥AC，

∴∠CEP＝90°，

∴∠CGP＝∠CEP，

∵CG⊥DP，AB⊥DP，

∴∠CGP＝∠BDP＝90°，

∴CG∥AB，

∴∠GCP＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠PCE，

∴∠GCP＝∠ECP，

在△CGP和△CEP中，

，

∴△CGP≌△CEP，

∴PG＝PE，

∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．

[结论运用]

如图④

过点E作EQ⊥BC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∵AD＝8，CF＝3，

∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，

由折叠得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，

∴DF＝5，

∵∠C＝90°，

∴DC＝＝1，

∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，

∴四边形EQCD是矩形，

∴EQ＝DC＝1，

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

∵∠BEF＝∠DEF，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF，

由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，

∴PG+PH＝1．

∴PG+PH的值为1．

[迁移拓展]

延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，

∵AD×CE＝DE×BC，

∴，

∵ED⊥AD，EC⊥CB，

∴∠ADE＝∠BCE＝90°，

∴△ADE∽△BCE，

∴∠A＝∠CBE，

∴FA＝FB，

由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，

设DH＝x，

∴AH＝AD+DH＝3+x，

∵BH⊥AF，

∴∠BHA＝90°，

∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，

∵AB＝2，AD＝3，BD＝，

∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（3+x）2，

∴x＝1，

∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36，

∴BH＝6，

∴ED+EC＝6，

∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，

∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，

∴△DEM与△CEN的周长之和

＝DE+DM+EM+CN+EN+EC

＝DE+AE+BE+EC

＝DE+AB+EC

＝DE+EC+AB

＝6+2，

∴△DEM与△CEN的周长之和（6+2）dm．

【点睛】

此题是一道综合题,考查三角形全等的判定及性质,勾股定理,矩形的性质定理,三角形的相似的判定及性质定理,翻折的性质,根据题中小军和小俊的思路进行证明,故正确理解题意由此进行后面的证明是解题的关键.

21、（1）证明见解析；（2）；

【解析】
（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=1，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=2，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长．

【详解】

（1）∵AC 是⊙O 的切线，

∴BA⊥AC，

∴∠CAD+∠BAD=90°，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠CAD=∠B，

∵DA=DE，

∴∠EAD=∠E，

又∵∠B=∠E，

∴∠B=∠EAD，

∴∠EAD=∠CAD，

在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD，

∴△ADF≌△ADC，

∴FD=CD．

（2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G．

∵DE=AE，DG⊥AE，

∴EG=AG=AE=1．

∵tan∠E=，

∴=，即=，解得DG=1．

∴ED==2．

∵∠B=∠E，tan∠E=，

∴sin∠B=，即，解得AB=．

∴⊙O的半径为．

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键．

22、（1）证明见解析；（2）.

【解析】
（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，可证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；

（2）过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，可求得BH的长，从而求得BE、DE的长，即可求得答案．

【详解】

（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBE，

∵DE∥AB，

∴∠ABD=∠BDE，

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE；

∵BE=AF，

∴AF=DE；

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：过点E作EH⊥BD于点H．

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠EBD=30°，

∴DH=BD=×6=3，

∵BE=DE，

∴BH=DH=3，

∴BE==，

∴DE=BE=．

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法．

23、见解析

【解析】
依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD．

【详解】

证明：∵AF=FG，

∴∠FAG=∠FGA，

∵AG 平分∠CAB，

∴∠CAG=∠FAG，

∴∠CAG=∠FGA，

∴AC∥FG．

∵DE⊥AC，

∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，

∴DE∥BC，

∴AC⊥BC，

∵F 是 AD 的中点，FG∥AE，

∴H 是 ED 的中点

∴FG 是线段 ED 的垂直平分线，

∴GE=GD，∠GDE=∠GED，

∴∠CGE=∠GDE，

∴△ECG≌△GHD．（AAS）．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．

24、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．

【解析】

【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；

（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，

（3）根据勾股定理逆定理解答即可．

【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，

即OB2+OA12=A1B2，

所以三角形的形状为等腰直角三角形．

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．