江苏省如东高级中学、姜堰中学、沭阳高级中学2022届高三下学期4月份月考数学含答案(1)练习题

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如东中学､姜堰中学､沭阳中学2022届高三年级四月份阶段性测试数学试卷一､单项选择题1. 正确表示图中阴影部分的是（   ）A. M∪N B. M∩NC. （M∪N） D. （M∩N）【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图直接分析即可【详解】图中阴影部分为M的补集与集合N相交的部分，即 ，故选：B.【点睛】本题主要考查了韦恩图分析交并补集的问题，属于基础题2. 棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【2题答案】【答案】C【解析】【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．【详解】解：由己知得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．3. 若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（    ）A.  B.  C.  D. 【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据圆锥侧面积和体积公式求解即可.【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则，解得.所以.则圆锥的体积.故选：B4. 的展开式中，的系数为（    ）A. 80 B. 40 C.  D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】的展开式中含的项为，展开式中含的项为，所以的展开式中，的系数为，故选：D5. 在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一个高度为7毫米的零件50次时，所得数据如下：测量值6.8毫米6.9毫米7.0毫米7.1毫米7.2毫米次数51510155根据此数据推测，假如再用游标卡尺测量该零件2次，则2次测得的平均值为7.1毫米的概率为（   ）A. 0.04 B. 0.11 C. 0.13 D. 0.26【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据可知2次测得的平均值为，有两种情况：一次，一次和两次都是，利用古典概型求概率公式计算即可.【详解】2次测得的平均值为，有两种情况：一次，一次，概率；两次都是，概率，，故选：C.6. 设，则（    ）A.  B. C.  D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】分别判断出，，，即可得到答案.【详解】.因为，所以.所以；因为在R上为增函数，所以；因为在上为增函数，且所以，即；所以.故选：D7. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.【详解】因为，且为等边三角形，，所以，所以，所以的最大值为，取等号时，所以，不妨设，所以，所以解得，所以，所以，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.8. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（   ）参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【8题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意抽象概括出去掉的各区间长度为通项公式为的数列，结合题意和等比数列前n项求和法列出不等式，利用对数的运算性质解不等式即可.【详解】第一次操作去掉，设为；第二次操作去掉，设为；第三次操作去掉，设为，
 依次类推，.故，整理，得，，，故n的最小值为7.故选：B.二､多项选择题9. 某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中（    ）A. 众数可为3 B. 中位数可为2 C. 极差可为2 D. 最大点数可为5【9题答案】【答案】AC【解析】【分析】根据方差、平均数、众数、中位数的定义进行逐项判断.【详解】解：对于选项A：如果五次都为，满足题意，众数为，符合题意，故A正确；对于选项B：若中位数，则出现这组情况方差最小，但此时方差大于，故不符合题意，故B错误；对于选项C：这种情况下方差为，故C正确；对于选项D：若最大点数为，当方差最小，该组数为，该组数的方差大于，故D错误；故选：AC10. 已知直线y=kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则以下正确的结论有（   ）A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的离心率为C. 双曲线的渐近线方程为y=±2x D. 【10题答案】【答案】BCD【解析】【分析】设出，得到方程组，求出，或，从而得到离心率，及渐近线方程，利用余弦定理及同角三角函数关系得到倾斜角的正切值，从而求出斜率.【详解】以为直径的圆过右焦点，以为直径的圆：设，则，，∴解得：，或，所以，即A错误，B正确.渐近线方程C正确.D选项，不妨设，且点B在第一象限，则，此时同理可得：当时，D正确，故选：BCD.11. 如图，已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，底面圆的直径为，是圆上异于，的一点，为弦的中点，为线段上异于，的点，以下正确的结论有（    ）A. 直线平面B. 与一定为异面直线C. 直线可能平行于平面D. 若，则的最小值为【11题答案】【答案】ABD【解析】【分析】证明，利用线面垂直的判定定理可判断A；由异面直线的定义可判断B；假设平面，可证得平面平面与已知矛盾可判断C；在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，当，，共线时，取得最小值可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：在中，因为，为的中点，所以，又垂直于圆所在的平面，所以，因为，所以平面，所以A正确.对于B：因为面，面，面，，根据异面直线判定定理知与一定为异面直线，所以B正确.对于C：若直线平行于平面，因为，平面，平面，则平面，，所以平面平面与平面和平面相交矛盾，所以C不正确.对于D：在中，，，所以，同理，所以.在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，当，，共线时，取得最小值.又因为，，所以垂直平分，即为的中点，从而，亦即的最小值为，所以D正确.故选：ABD.12. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0<j<k时，，则称是的一个周期为k的周期点.若，下列各值是周期为2的周期点的有（   ）A. 0 B.  C.  D. 1【12题答案】【答案】AC【解析】【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当、、、时的函数周期，进而得出结果.【详解】A：时，，周期为1，周期为2也正确，故A正确；B：时，，所以不是的周期点.故B错误；C：时，，周期为1，周期为2也正确.故C正确；D：时，，不是周期为2的周期点，故D错误.故选：AC.三､填空题13. 抛物线的焦点坐标为，则C的准线方程为______.【13题答案】【答案】【解析】【分析】由抛物线的标准方程及焦点坐标直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以C的准线方程为.故答案为：14. 如图，正八边形ABCDEFGH，其外接圆O半径为1.则___________.
 【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据平面向量的基本运算，将转换为有关的表达式计算即可【详解】易得的夹角为，再由图可得.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算与数量积运算，属于基础题15. 设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.【15题答案】【答案】【解析】【分析】利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.【详解】因为，则有或，，，解得或，，，又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，所以，，，，，，…，故，，所以，即，则，解得，故.故答案为：.16. 《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列.今年，尽管受新冠疫情影响，但我国制造业在高科技领域仍显示出强劲的发展势头.某市质检部门对某新产品的某项质量指标随机抽取100件检测，由检测结果得到如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为，该产品质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.设表示从该种产品中随机抽取10件，其质量指标值位于的件数，则的数学期望____.（精确到0.01）注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差；②若，则，.【16题答案】【答案】6.83【解析】【分析】计算，由所给条件判断，从而得到的概率，由抽取每一件的概率抽取10件的期望值.【详解】计算得，由条件，从而.故从该种产品中随机抽取1件，其质量指标值位于的概率是0.6826，所以抽取10件的期望值为：所以.故答案为：.四､解答题17. 已知数列{an}的前n项和Sn，a1=1，an≠0，满足anan+1=λSn-1，其中λ为常数.若S10=100，求{an}的通项公式.【17题答案】【答案】【解析】【分析】根据题意给的关系式变形计算、化简可得，即数列的奇数项､偶数项分别为公差的等差数列，进而得出等差数列的通项公式，利用等差数列前项求和公式求出即可.【详解】由题设知，.两式相减得.由于，所以.所以数列的奇数项､偶数项分别为公差的等差数列，因为，可得，所以，因为，所以，解得.所以数列的通项公式为，即.18. 现有下列三个条件：①函数的最小正周期为；②函数的图象可以由的图象平移得到；③函数图象相邻两条对称轴之问的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量，，，函数.且满足_________.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，求的值.【18题答案】【答案】（1）不能选②，，或或；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；（2）结合（1），求得，根据正弦定理以及题中条件，求得，根据平方关系求得，结合诱导公式以及三角形内角和，求得的值.【详解】（1）因为，，所以.若满足条件①：，所以，故.因为，无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选②.若满足条件③：因为，所以，故，即.综上，无论选条件①或③，所求.因为，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在闭区间上的解为或或.（2）由（1）知，所以，，即，.因为，所以，，.又，由正弦定理，得，整理得.因为，所以，所以.又，得，所以.19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且.（1）求二面角F-AE-P的余弦值；（2）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.【19题答案】【答案】（1）    （2）直线不在平面内，理由见解析【解析】【分析】（1）过作的垂线交于点，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量后可求二面角的余弦值；（2）求得平面的法向量，再计算是否为0即可判断【小问1详解】过作的垂线交于点.因为平面平面，所以，以为坐标原点如图建立空间直角坐标系.则，因为为的中点，所以，所以，所以.设平面的法向量为，则即，令，则，故，又平面的法向量为，所以，二面角平面角余弦值为.【小问2详解】直线不在平面内，理由如下：因为点在上，且，故，所以，由（1）知，平面的法向量，所以，所以直线不在平面内【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明、建立空间直角坐标系求解二面角的问题，同时也考查了线面关系的判断，属于中档题21. 已知函数f（x）=（x-m）（x-n）2，m∈R.（1）若函数f（x）在点A（m，f（m））处的切线与在点B（m+1，f（m+1））处的切线平行，求此切线的斜率；（2）若函数f（x）满足：①m<n；②f（x）-λxf′（x）≥0对于一切x∈R恒成立试写出符合上述条件的函数f（x）的一个解析式，并说明你的理由.【21题答案】【答案】（1）    （2）（答案不唯一），理由见解析【解析】【分析】（1）求得，再根据题意结合导数的几何意义可得，化简得：，再代入化简即可（2）根据题意化简可得（*）恒成立，分析可得的系数为0，进而得到恒成立，再根据二次函数的性质分析即可【小问1详解】，所以因为函数在点处的切线与在点处的切线平行，所以，即，即，故，化简得：.所以在点切线的斜率为【小问2详解】由恒成立，得所以（*）恒成立.当时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负.所以.所以式化为恒成立所以.①若，则.②若，则，即，与矛盾，舍去综上：所以为满足条件的的一个解析式.（答案不唯一）【点睛】本题第一问考查了导数的几何意义与化简等式的技巧，需要把看成整体，第二问考查了多项式的恒成立问题，属于中档题23. 已知椭圆的左顶点为，圆与椭圆交于两点、，点为圆与轴的一个交点，且点在椭圆内，如图所示.
 （1）若直线与的斜率之积，求椭圆的离心率；（2）若，直线与直线交于点，求椭圆和圆的方程.【23题答案】【答案】（1）    （2）椭圆方程为，圆的方程为.【解析】【分析】（1）设点，则，可得出，利用斜率公式结合已知条件可得出，即可求得椭圆的离心率；（2）由（1）知，可设直线，则直线，根据已知条件可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，再将点的坐标代入圆的方程，可求得、的值，即可得出椭圆和圆的方程.【小问1详解】解：设点，则，因为点、在椭圆上，所以，所以，，由，又，得，所以，，则，所以椭圆的离心率.【小问2详解】解：因为，由（1）知，设直线，则直线，因为直线与直线的交点为点，则，，因为点为圆与轴的一个交点，则，，所以，可得，①联立可得，因为直线与椭圆相交于和，所以，即，所以，所以因为在圆上，所以，由①式知，所以②，将①式代入②式得：，，所求椭圆方程为，圆的方程为.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率25. 新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一从名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．①当，，求的值；②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当 取得最大值时，计算所对应的和所对应的 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．（参考数据：，，， ，，计算结果保留整数）【25题答案】【答案】（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性见解析．【解析】【分析】（1）设事件：被病毒感染的人群，随机变量的取值为：0，1，2，…，．得到事件服从二项分布，即可求解．（2）①根据题意，第天新增加人数的数学期望，即可求解的值．②求得，利用导数求得函数的单调性和最值，进而得到，，分别求得和的人数，即可得到结论．【详解】（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为，又每天有位密切关联者与一患者接触，设事件：被病毒感染的人群，随机变量的取值为：0，1，2，…，．显然事件服从二项分布，即，显然．（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，第2天被感染人数增至为：；第3天被感染人数增至为：，…，显然第天被感染人数增至为：，第天被感染人数增至为：，于是根据题意中均值定义，第天新增加人数的数学期望，即，于是．②根据题意函数，求导得：，当且仅当时，，此时单调递增；当时，，即单调递减，于是．此时，，于是（人），（人）．经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，即远大于，于是戴口罩是非常必要的．【点睛】本题以新冠疫情重大突发事件为背景命题，以病毒人传人大事件的预防建立数学模型来考查概率的相关概念、事件的划分、离散型随机变量的期望等概念的应用，同时考查了理性思维、抽象思维及逻辑推理、运算求解能力、读题理解能力、计算能力．