山东省日照市2022届高三下学期5月校际联合考试（二模）数学试题（Word版含解析）

日照市2022届高三下学期5月校际联合考试（二模）

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

2．，互为共轭复数，，则（    ）．

A．   B．2   C．    D．

3．若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（    ）．

A．   B．   C．   D．

4．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ）．

A．充要条件        B．充分不必要条件

C．必要不充分条件      D．既不充分也不必要条件

5．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（    ）．

A．    B．    C．    D．

6．设，则（    ）．

A．      B．

C．      D．

7．王大爷养了5只灰兔子和3只白兔子，晚上关在同一间兔舍里，清晨打开门，若这些兔子随机逐一向外走，则恰有2只白兔子相邻走出兔舍的概率为（    ）．

A．    B．    C．    D．

8．设，若，，，…，，…，则数列（    ）．

A．是递增的        B．是递减的

C．奇数项递增，偶数项递减    D．偶数项递增，奇数项递减

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．已知向量，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

10．关于函数，下列说法正确的是（    ）．

A．若，则

B．的图像关于点对称

C．在上单调递增

D．的图像向右平移个单位长度后所得图像关于y轴对称

11．传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等．因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若，则（    ）．

A．          B．的展开式中的的系数为56

C．的展开式中的各项系数之和为0   D．，其中i为虚数单位

12．已知数列满足，，则下列说法正确的有（    ）．

A．        B．

C．若，则    D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设是定义在R上的奇函数，当时，，则______．

14．已知第一象限的点在直线上，则的最小值是______．

15．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为______．

16．在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点．若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为______．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知等差数列的公差为正数，与的等差中项为8，且．

（1）求的通项公式；

（2）从中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断938是不是数列中的项？并说明理由．

18．（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，的面积为，求a．

19．（12分）

如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且．

（1）证明：平面平面ADC；

（2）若M为PD上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求二面角的余弦值．

20．（12分）

2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”．某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．

（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下表数据：

经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？

（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．

参考数据：（其中）

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

21．（12分）

已知抛物线过点，O为坐标原点．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求的面积；

（3）抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

22．（12分）

已知函数，其中．

（1）当时，求的最小值；

（2）讨论方程根的个数．

2019级高三校际联合考试

数学答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．B 3．A 4．C 5．B

6．A

【解析】因为，

所以，，，

所以．故选A．

7．D

【解析】兔子走出房门，共有种不同的方案，其中恰有2只白兔子相邻走出房子的方案为：

先排5只灰兔子，会产生6个空隙，再从3只白兔子中选2只捆绑排列，

最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有：种方案，

故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为：．故选D．

8．C

【解析】作的图像，在图像上取点，，，，

由，知，即A、B、D错，选C．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．答案：BD

【解析】由，，

A：若，由，故A错误；

B：若，则，符合题意，故B正确；

C：若，由，故C错误；

D：，，故D正确．故选BD．

10．答案：BD

【解析】A．由知

，是图象的两个对称中心，

则是的整数倍（T是函数的最小正周期），

即，所以结论A错误；

B．因为，所以是的对称中心，所以结论B正确；

由解得，

当时，在上单调递增，

则在上单调递增，在上单调递减，所以结论C错误；

D．的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，是偶函数，

所以图象关于y轴对称，所以结论D正确．故选BD．

11．【答案】AC

设内切球的半径为r，则圆柱的高为，

∴，，A正确；

则，∴；

对于B，展开式通项公式为：，

令，解得，∴的展开式中的的系数为，B错误；

对于C，，即展开式的各项系数之和为0，C正确；

对于D，，D错误．故选AC．

12．答案：BCD

【解析】，，

则，

又，所以，A错误；

令函数，则，

则在上单调递减，在上单调递增，

，即，

又易得是递增数列，，故，

所以，B正确；

易知是递增数列，所以，

则，，

则，即，

所以，即，

所以，所以，

而当时，则有，C正确；

令函数，则，

所以在上单调递减，

所以当时，，则，

所以，，

，，

，

所以，D正确．故选BCD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．

【解析】，．

14．

15．

【解析】如图，连接，，则，A，C和，B，D都三点共线，

设，则．

由，得，

又，则，，，

因此，即，

则，，．故．

16．

【解析】延长DA，交于点N，连接NQ交AB于点E，

则线段EQ为平面与平面ABCD的公共点M的集合，

当Q运动到点D时，E与A重合；当Q运动到点C时，设此时E点运动到F点，

则梯形FADC即为点M构成的区域，因为∽，所以，

所以，所以．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解析】（1）设等差数列的公差为d，

根据等差中项的性质可得与的等差中项为，所以，

又因为，即．

所以，，因为公差为正数，所以．则，则．

∴的通项公式．

（2）结合（1）可知．

令，即，符合题意，即．

所以938是数列中的项．

18．解：（1）由已知及正弦定理得．

即．

由，可得，因为，所以．

（2）由面积公式，可得，

根据余弦定理可得．

因为，，所以．

19．【解析】（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，

则由BC平行且等于AN知ABCN为平行四边形，所以，

由知C点在以AD为直径的圆上，所以．

又，，所以面PAC．

又因为面ADC，所以平面平面ADC．

（2）取AC中点O，连接PO，由，可知，

再由面面ACD，AC为两面交线，所以面ACD，

以O为原点，OA为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP为z轴建立直角坐标系，

令，则，，，，

由，得，

所以，

设平面ACM的法向量为，

则由得，

取得，，所以，

而平面PAC的法向量，所以．

又因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为．

20．【解析】（1）由题意，，

令，设y关于t的线性回归方程为，

则，

则．∴，

又，∴y关于x的回归方程为，故时，．

∴经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为150秒．

（2）设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负．

当时，小明4∶1胜，∴；

当时，小明4∶2胜，∴；

当时，小明4∶3胜，∴．

∴小明最终赢得比赛的概率为．

21．解析：（1）抛物线过点，

，抛物线方程．

（2）设直线l的斜率为k，则，

由，得，

∵直线l与抛物线有两个交点A，B，所以， ①

∴设，则可得，，

于是

，

由， ②，

由①②解得，直线l的方程为．

原点O到直线l距离，的面积为．

（3）已知O，M的坐标分别为，．抛物线方程，

假设抛物线上存在点（且），

使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线．

设经过O，M，N三点的圆的方程为，

则．

整理得．  ①

∵函数的导数为，∴抛物线在点处的切线的斜率为，

∴经过O，M，N三点的圆C在点处的切线斜率为．

∵，∴直线NC的斜率存在．∵圆心的坐标为，∴

即．  ②

∵，由①②消去E，得．

即．∵，∴．

故满足题设的点N存在，其坐标为．

22．解析：（1）时，．

①时，，

，

显然此时，即在时单调递减；

②时，．

显然此时，即在时单调递增；

故的最小值是．

（2）由题，，

则，即．

所以．

时，；

时，；

所以，在上递减；在上递增．

又因为，所以，当且仅当或．

又，故和不可能同时成立．

所以方程根的个数是

两函数和的零点个数之和，其中．

法一：

当时，函数的零点个数转换为直线与函数图像的交点个数，

，易知时，单调递减，时，单调递增；

在处取得最小值为e，

所以时，直线与函数图像无交点，函数无零点；

时，直线与函数图像有一个交点，函数有一个零点；

时，直线与函数图像有2个交点函数，有两个零点．

同理：函数的零点个数转化为直线与函数图像交点个数，

易知，函数单调递增，且在处的值为0，

所以故时，在上必有一个零点．综上所述，时，方程有一个根；

时，方程有二个根；时，方程有三个根．

法二：

，

时，，递增，，无零点．

时，令，得，故在上递减；在上递增．

当时，，此时无零点．

当时，，此时有一个零点．

当时，，，

，令，，

故，所以，

由零点存在性定理，在和上各有一个零点，

此时有两个零点．，，在上递增．

又，，

故时，在上必有一个零点．综上所述，时，方程有一个根；

时，方程有二个根；时，方程有三个根．