2022年北京市丰台区中考数学一模试卷（含解析）

2022年北京市丰台区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是

A. 长方体
B. 三棱柱
C. 圆柱
D. 圆锥

2. 根据国家统计局统计结果，从北京冬奥会申办成功至年月，全国参与冰雪运动的人数达到亿，“带动三亿人参与冰雪运动”的承诺已经实现，这是北京冬奥会最大的遗产成果．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，如果，那么的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

5. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 不透明的袋子中有个小球，其中有个红球，个黄球，个绿球，除颜色外个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 如果，那么代数式的值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，长方体的体积是，底面一边长为记底面另一边长为，底面的周长为，长方体的高为当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是

A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 反比例函数关系，一次函数关系
D. 一次函数关系，反比例函数关系
 

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
10. 分解因式：______．
11. 写出一个比大且比小的无理数______．
12. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，则的值是______．
13. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，，则______
    
    
     

14. 如图，点，，，在一条直线上，，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可．

15. 如图是甲、乙两名射击运动员次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这次射击成绩的方差为，，那么 ______ 填“”，“”或“”

16. 某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工个型零件所需时间如表：

则加工型零件最快的一台车床的编号是______．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若该方程的两个实数根互为相反数，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 周髀算经中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点处立一根杆，记录日出时杆影子的长度，并以点为圆心，以为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点，那么直线表示的方向就是东西方向，的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向．
    上述方法中，点，，的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作的角平分线保留作图痕迹；
    在图中，确定了直线表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
    证明：点，在上，
    ______．
    是等腰三角形．
    平分，
    ______填推理的依据．
    直线表示的方向为东西方向，
    直线表示的方向为南北方向．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在四边形中，，，点在上，，平分．
    求证：四边形为菱形；
    连接，交于点，若，，求的长．
     

22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
    求这个一次函数的解析式；
    当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，是的直径，是上一点，连接过点作的切线，交的延长线于点，在上取一点，使，连接，交于点，连接．
    求证：；
    过点作于点如果，，求，的长．

24. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：

根据上述信息，解决以下问题：
在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．

25. 为了解地铁号线与号线的日客运强度，获得了它们年月份工作日共天日客运强度单位：万人公里的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
    地铁号线年月份工作日日客运强度的数据的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，；
    地铁号线年月份工作日日客运强度的数据在这一组是：
    
    地铁号线与号线年月份工作日日客运强度的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
日客运强度反映了地铁的拥挤程度，小明每天上班均需乘坐地铁，可以选择乘坐地铁号线或乘坐地铁号线．请帮助小明选择一种乘坐地铁的方式，并说明理由；
年一共有个工作日，请估计年全年的工作日中，地铁号线日客运强度不低于万人公里的天数直接写出结果．

26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
    若，求该抛物线的对称轴；
    已知点在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为若，且，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，在中，，，点在边上不与点，重合，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．
    ______；
    取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系中，的半径为，为轴上一点，为平面上一点．给出如下定义：若在上存在一点，使得是等腰直角三角形，且，则称点为的“等直点”，为的“等直三角形”．
    如图，点，，，的横、纵坐标都是整数．
    当时，在点，，，中，的“等直点”是______；
    当时，若是“等直三角形”，且点，都在第一象限，求的值．
    若直线上存在的“等直点”，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆柱．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由图形可得与互余，
，
．
故选：．
根据图形可判断与互余，继而可得出答案．
本题考查了补角和余角的知识，难度一般，解答本题的关键是熟记互余两角之和等于．
 

4.【答案】
 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
，，，，
，，都错误，D正确，
故选D．
先根据数轴上各点的位置判断出，的符号及与的大小，再进行计算即可判定选择项．
此题主要考查了实数的大小的比较．
 

6.【答案】
 

【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中两次摸出的小球都是红球的有种，
则两次摸出的小球都是红球的概率是；
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】
 

【解析】解：

，
，
，
原式

．
故选：．
先将所求式子化简，再由已知得，整体代入即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质将所求式子化简及整体思想的应用．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由底面的周长公式：底面周长长宽，
可得：，
即：．
与的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积长宽高，
可得：，
，
与的关系为：反比例函数关系．
故选：．
根据底面的周长公式“底面周长长宽“可表示出与的关系式，根据长方体的体积公式“长方体体积长宽高”可表示出与，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．
此题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数，二次函数，反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：若代数式有意义，
则，
解得：．  

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

11.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：比大且比小的无理数可以是．
故答案为：答案不唯一．
由于，，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于且小于，并且不是完全平方数即可．
本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
 

12.【答案】
 

【解析】解：把代入得：
，
，
把代入得：
，
，
故答案为：．
先求出，得到的坐标，再代入即可得答案．
本题考查一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法．
 

13.【答案】
 

【解析】解：的直径垂直于弦，
，
，
，
．
故答案为：．
根据垂径定理可得，然后根据圆周角和圆心角的关系可得答案．
此题考查的是圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧、弦的关系等知识，掌握其秘技定理是解决此题的关键．
 

14.【答案】或或
 

【解析】解：，．
当添加时，根据“”可判断≌；
当添加时，根据“”可判断≌；
当添加时，根据“”可判断≌；
故答案为：或或．
根据“”或“”或“”添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由图中知，甲的成绩为，，，，，，，，，，
乙的成绩为，，，，，，，，，，
，
，
甲的方差，
乙的方差，
，
故答案为：．
从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

16.【答案】丙
 

【解析】解：设甲台车床每小时加工零件个，乙台车床每小时加工零件个，丙台车床每小时加工零件个，丁台车床每小时加工零件个，戊台车床每小时加工零件个，依题意有：
，
，
，
，
，
则，
由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
，，
丙台车床每小时加工零件的个数最多，
加工型零件最快的一台车床的编号是丙．
故答案为：丙．
可设甲台车床每小时加工零件个，乙台车床每小时加工零件个，丙台车床每小时加工零件个，丁台车床每小时加工零件个，戊台车床每小时加工零件个，依此可得，，，，，进一步得到，可得，，依此即可求解．
本题考查了多元一次方程组，关键是设出未知数，根据题意得到，．
 

17.【答案】解：原式

．
 

【解析】先计算负整数指数幂，二次根式，零指数，绝对值及特殊角的三角函数值，再合并同类项即可．
此题考查的是负整数指数幂，二次根式，零指数，绝对值及特殊角的三角函数值的运算，掌握它们的法则是解决此题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集是．
 

【解析】先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

19.【答案】证明：

，
该方程总有两个实数根；
解：根据题意得，
解得，
故的值为．
 

【解析】计算根判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；
利用根与系数的关系得到，解关于的方程即可求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】  三线合一
 

【解析】解：如图，射线即为所求；

证明：点，在上，
．
是等腰三角形．
平分，
三线合一．
直线表示的方向为东西方向，
直线表示的方向为南北方向．
故答案为：，三线合一．
利用尺规作出图形即可；
利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，，
，，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形为菱形；
解：四边形为菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
，
．
 

【解析】由已知直接证得四边形为平行四边形，再由角平分线定义和等腰三角形的判定证得，由菱形的判定定理即可证得四边形为菱形；
在中，解直角三角形求出，，根据即可求出．
本题主要考查了菱形判定与性质，直角梯形，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键：熟练掌握菱形的判定方法；解直角三角形求出，．
 

22.【答案】解：一次函数的图象由直线平移得到，
，
将点代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
把点代入，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
．
 

【解析】先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】证明：是直径，
，
，
是的切线，
，
，
；
解：，，
∽，
，，
，
，
，
，即，
．
 

【解析】利用同角的余角相等即可解决问题；
先根据相似三角形的性质得出，再利用∽，可得答案．
本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】
 

【解析】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：

根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：．
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到米才能符合要求．
建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
观察图象即可得出结论；
根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
 

25.【答案】解：地铁号线年月份工作日日客运强度的数据从小到大排列，排在最中间的数是，故；
从中位数、平均数上看，地铁号线的中位数较小，平均数也较小，说明地铁号线的拥挤程度较小，
因此，小明乘坐地铁号线比较合适；
估计年全年的工作日中，地铁号线日客运强度不低于万人公里的天数为：天．
 

【解析】根据中位数的定义解答即可；
从平均数、中位数方面得出结论及相应的理由；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图的意义和制作方法、理解平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确计算的前提．
 

26.【答案】解：点，在抛物线上，，
，
解得：，
抛物线对称轴为直线；
，
抛物线开口向上且经过原点，
，且，
，，
抛物线和轴的个交点，一个为，另外一个在和之间，
抛物线对称轴在直线与直线之间，
．
 

【解析】将点，代入抛物线解析式，再根据得出，再求对称轴即可；
根据，可知抛物线过原点，再根据，且，可知抛物线与轴的另一交点在和之间，从而确定出对称轴的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
 

27.【答案】
 

【解析】解：由旋转可知，
；
故答案为：；
如图，连接并延长，使，连接，；

，；
四边形为平行四边形；
，
即，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
≌，
，
，
线段与的数量关系为：．
由旋转可知，所以得到：；
连接并延长，使，连接，；因为，；可以得到四边形为平行四边形；从而有，再证，继而证明≌，得到，即可得线段与的数量关系．
本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，全等三角形的性质与判定，解题的关键是得出≌．
 

28.【答案】，
 

【解析】解：如图中，观察图象可知点，是，的“等直点”，
故答案为：，；


如图中，连接，．

，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∽，
；
如图中，当点在轴的负半轴上，点在的左侧时，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，．

同法可证∽，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半圆的圆，
当或时，与直线相切，
此时或，
观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”．
如图中，当点在轴的正半轴上，点在的左侧时，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，．

同法可证∽，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半圆的圆，
当或时，与直线相切，
此时或，
观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”．
综上所述，满足条件的的值为：或．
根据“等直点”的定义，利用图象法判断即可；
如图中，连接，证明∽，可得结论；
分两种情形：如图中，当点在轴的负半轴上，点在的左侧时，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，如图中，当点在轴的正半轴上，点在的左侧时，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，判断出点的运动轨迹，再根据直线与圆的位置关系，利用图象法，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，“等直点”和“等直三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．