2022年福建省青少年“大梦杯”数学水平测试试卷含解析

福建省青少年“大梦杯”数学水平测试试卷

一、单选题

1．已知二次函数 的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若 ，且△ABC的面积为3，则a+b（　　） 

A．3 B．-5 C．3 D．5

2．已知实数x，y满足 且 ，则 的值为（　　） 

A． B． C． D．2

3．将形如3m和 （m，n为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为 若第k个数 ，则k的值为（　　） 

A．682 B．683 C．684 D．685

4．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（　　）

A． B． C． D．

5．已知正整数a，b，c，d满足：a<b<c<d，a+b+c+d=2022， ，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（　　） 

A．251组 B．252组 C．502组 D．504组

二、填空题

6．若正数a，b，c满足abc=1， ，则 　     　. 

7．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为　     　.

8．若素数p，使得 是一个完全平方数，则p=　     　.（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.） 

9．如果对任意的n个不大于1的非负实数 总有 成立，则正整数n的最大值为　     　. 

三、解答题

10．同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积，即如果存在三个正有理数a，b，c，使得 ，且 ，则称n为同余数.如果正整数n为同余数，则称n为整同余数.由于5是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，6是三边长分别为3，4，5的直角三角形的面积，7是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，所以5，6，7都是同余数，且是整同余数.如何判断一个正整数是否为同余数至今尚未完全解决.关于同余数的第一个重要结论是费马（Fermat）在17世纪证明的1不是同余数.在 ， 中，令 ， ，得 .因此，若正整数n是同余数，则二元三次不定方程 有有理数解；若正整数n使得二元三次不定方程 有有理数解，则n是同余数.这样，古老的同余数问题与现代的椭圆曲线 的有理点（横、纵坐标均为有理数的点）之间建立了联系.阅读上述材料，请你写出椭圆曲线 上的一个有理点坐标(x，y)=　                       　.

11．已知开口向上的抛物线 与直线：y=ax+c，y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点. 

（1）求 的最大值； 

（2）当 取最大值时，设直线 交抛物线 于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值. 

12．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F，过点B作AC的垂线，垂足为H.求证：E，H，F三点共线.

13．将1，2，3，…，16这16个数分成8组 若 .求 的最小值. 

必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 ， 为两组实数， 是 的任一排列，则 .

14．已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数.

（1）在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；

（2）在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）.

答案解析部分

【解析】【解答】解：依题意 为方程 的两根，且 .

所以 ， .

所以 ，

所以 面积 .

解得 ，经检验符合题意，

.

因为函数 的图象与x轴有两个不同交点，因此 ， ， 符合要求.

所以 .

故答案为：C.

【分析】易得x1+x2=4，x1x2=，则AB=|x1-x2|= ，根据三角形的面积公式可得a的值，然后求出b的值，据此计算.

【解析】【解答】解：∵ ，得 ，

即 .

∴ 或 .

即 或 .

∵ ，所以 ， .

故答案为：A.

【分析】原方程可变形为x6-26x3y3-27y6=0，给方程两边同时除以y6，求出的值，根据x2≠y2可得=3，给分式的分子、分母同时除以y2，然后将=3代入计算即可.

【解析】【解答】解：易知形如 和 ( ， 为正整数)的正整数不可能相等.

考虑在从小到大排列的形如 ( 为正整数)的正整数3，6，9，27，…中，从小到大添加形如 ( 为正整数)的数.

由 知，将形如 ( 为正整数)的正整数从小到大排列，2022是第674个数.

由于 ， ，所以有10个形如 ( 为正整数)的数小于2022，这10个数排在2022前面.

所以 .

故答案为：C.
【分析】由2022=3×674知，将形如3m的正整数从小到大排列，2022是第674个数，根据210=1024，211=2048可得有10个形如2n的数小于2022，这10个数排在2022前面，据此解答.

【解析】【解答】解：设 ，则 ， .

作 于 ，

则 .

所以 .

所以 ，

即 ，

解得 .

于是 ， .

所以 ，

.

又 ，

所以 .

因此 .

所以 .

故答案为：B.
【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算.

【解析】【解答】解：因为 ， ， ， 为正整数，且 ，

所以 .

所以 .

因此 ， ，即 ， .

所以 ，因此 .

又 ，所以 ，因此 .

所以符合条件的4元数组 为 ，其中 .

所以符合条件的4元数组有504组.

故答案为：D.

【分析】根据题意可得a+3≤b+2≤c+1≤d，则2022=d2-c2+b2-a2≥(d+c)+(b+a)=2022，推出d-c=1，b-a=1，a+c=1010，结合a+2≤c可得a的范围，据此解答.

【解析】【解答】解：由 ，得 ，

因此 ， .

由此可得 ， .

所以

故答案为： .

【分析】联立已知条件可得a、b、c的值，然后代入c+中进行计算即可.

【解析】【解答】解：如图，连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， .

则 ， .

∵ ，

∴ // ，

∴

∴BE=CD，

∵

∴ .

在Rt△ 中，AB=10，

所以，由勾股定理得，

∴ .

所以圆 的面积为 .

故答案为：41π.
【分析】连接AO，并延长交圆O于点E，连接EB、EC，根据圆周角定理可得AB⊥BE，AC⊥CE，推出BD∥EC，得到BE=CD=8，利用勾股定理可得AE，然后求出OA，接下来根据圆的面积公式进行计算.

【解析】【解答】解：设 ， 为正整数.

则 ，即 .

∴ .

由 为整数， 为正整数，且 ，得

，或 ，或 ，或 .

解得 ，或 ，或 ，或 .

又 为素数，所以 .

所以当素数 时， 是一个完全平方数.

故答案为：11.

【分析】设4p2+p+81=n2（n为正整数），两边同时乘以16，再利用完全平方公式化简可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5×7×37，据此可得n、p的方程组，求出n、p的值，结合P为素数就可得到p的值.

【解析】【解答】解：当 时，取 ， ，

则 .

当 时，取 ， ， 时， ，

则

.

所以 .

当 时，由 ，

得 ， ， ， ， ， ， 中至少有一个数为非负数.不妨设 ，则 .

所以

.

于是 符合要求.

所以正整数 的最大值为7.

故答案为：7.

【分析】当n=8时，取x1=x3=x5=x7=1，x2=x4=x6=x8=0，则S8=8>6；当n≥9时，取x1=x3=x5=x7=1，x2=x4=x6=x8=0，则Sn=8>6，故n≤7；当n=7时，设(x1-x2)(x2-x3)≥0，则(x1-x2)2+(x2-x1)2≤(x1-x3)2≤1，故S7≤1+(x3-x4)2+(x4-x5)2+(x5-x6)2+(x6-x7)2+(x7-x1)2≤6，据此解答.

【解析】【解答】解：根据同余数定义，若 是同余数，则 ( 为正整数)也是同余数.由5是同余数知， 也是同余数.

由5是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，可得 是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，即三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积.

将 ， ， ， 代入 ， ，计算得 ， .

于是 是椭圆曲线 上的一个有理点.

注：将 ， ， ， 代入 ， ，计算得 ， .于是 也是椭圆曲线 上的一个有理点.

故答案为： （25，75）(答案不唯一) .
【分析】根据5是同余数，知20=5×22也是同余数，根据面积为5的直角三角形的三边长可得面积为20的直角三角形的三边长，代入 ， 中可得x、y的值，据此解答.

【解析】【分析】（1）令ax2+bx+c=ax+c求出x，根据抛物线与直线y=ax+c至多有一个公共点，得a=b，由ax2+bx+c=cx+a结合a=b以及△≤0可得的范围，进而可得的最大值；
（2）当取最大值时，得顶点C的坐标，联立抛物线与直线解析式求出x，得AB=，CA=CB，设I为△ABC的内心，D为线段AB中点，则∠DBI=30°，∠ABC=60°，△ABC为等边三角形，CD=3，据此可得a的值.

【解析】【分析】延长BH与直线AD相交于点P，连接CP，易得∠BPA=45°，推出P、A、B、C四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠CBE=∠APC，连接CE，根据圆周角定理可得∠CEA=∠CHB=90°，推出C、E、B、H四点共圆，得到∠CHE=∠CBE，连接CF，同理可得∠APC=180°-∠CHF，据此推出∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF，据此证明.

【解析】【分析】设ai<bi，i=1、2、……8，且a1<a2<……a8，则62=136-2(a1+a2+……+a8)，求出a1+a2+……+a8的值，易得a7≤7，则S=(a1-b1)2+(a2-b2)2+……+(a8-b8)2=(12+22+…+162)-2(a1b1+a2b2+……+a8b8)，当b1、b2、……b8从小到大排列时， S=(1-8)2+(2-10)2+(3-11)2+(4-12)2+(5-13)2+(6-14)2+(7-15)2+(9-16)2，据此计算.

【解析】【分析】（1）将矩形ABCD的每条边向内缩进，得到一个长和宽分别为20和18的矩形A1B1C1D1，则矩形A1B1C1D1的面积为360，对矩形ABCD内任意放入的114个直径为1的圆，分别以这114个圆的圆心为圆心，直径为2作114个新的圆，求出这114个新圆的面积和，据此证明；
（2）将矩形ABCD的每条边向内缩进，得到一个长和宽分别为20和18的矩形A1B1C1D1，则矩形A1B1C1D1的面积为360，在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1和的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧，求出这95个加框的图形的面积和，据此证明.