安徽省安庆市九年级下学期综合素质调研数学试卷含解析

 九年级下学期综合素质调研数学试卷

一、单选题

1．下列二次函数中，对称轴为直线x = 1的是（　　）

A．y=-x2+1 B．y= (x–1) 2

C．y= (x+1) 2 D．y =-x2-1

2．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．

3．在中，，，则的值为（　　）

A． B． C． D．

4．若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（　　）  

A． B． C． D．

5．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　） 

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

6．如图，在 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 ，交AD于点F，过点E作 ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

7．某气球内充满了一定质量 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （单位： ）是气体体积 （单位： ）的反比例函数： ，能够反映两个变量 和 函数关系的图象是（　　）

A． B．

C． D．

8．已知如图：，且，则的大小是（　　）

A．45° B．50° C．55° D．65°

9．如图，在中，，，D、E在斜边AB边上，，若，则的面积为（　　）

A．6 B． C．4 D．

10．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（　　） 

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．抛物线的顶点在x轴上，那么　     　.

12．反比例函数图象与正比例函数图象交于，，则的值为　     　.

13．如图，在扇形AOB中，，点E在弧AB上，点F在OB上，，若，，则扇形AOB半径为　     　.

14．如图.直线与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上、连结OP，且满足，则当　     　度时，线段OQ的最小值为　     　.

三、解答题

15．计算：.

16．如图，已知直钱与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，点B的坐标为，求该抛物线对应的函数表达式.

17．如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝   (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点. 

（1）求反比例函数的解析式；  

（2）在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝   (k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围.  

18．如图，在正方形 中， 为边 的中点，点 在边 上，且 ，延长 交 的延长线于点 ． 

（1）求证：△ ∽△ ．  

（2）若 ，求 的长．  

19．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)

20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，.

（1）请作出绕O点逆时针旋转90°的，并求出线段AB扫过的面积.

（2）以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，在y轴的左侧.

21．如图，AB是的弦，点C是在过点B的切线上，且且交AB于点P.

（1）求证：

（2）若的半径为，求证：为等边三角形.

22．已知函数（m为常数），问：

（1）无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上某一定点，该定点坐标为　         　；

（2）求证：无论m为何值，该函数的图象顶点都在函数图象上：

（3）若抛物线与x轴有两个交点A、B，且，求线段AB的最大值.

23．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.

（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作，求证：.

（2）如图②，若，过点O作分别交BC、AD于点E，F.求证：.

（3）如图③，若OC平分，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作交OA于一点N，若，，直接写出线段MN长度.

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：A、y=-x2+1的对称轴为x=0，故选项A错误；

B、y= (x–1) 2的对称轴为x=1，故选项B正确；

C、y= (x+1) 2的对称轴为x=﹣1，故选项C错误；

D、y =-x2-1对称轴为x=0，故选项D错误.

故答案为：B.

【分析】y=ax2+h（a≠0）的对称轴为直线x=0，据此判断A、D；y=a(x-h)2+k（a≠0）的对称轴为直线x=h，据此判断B、C.

2．【答案】D

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴.

故答案为：D.

【分析】由已知条件可得x= y，然后代入 中化简即可.

3．【答案】A

【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，

∴设BC= 、AC= ，

∴，

∴.

故答案为：A.

【分析】根据正切三角函数的概念可设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理可得AB=5x，然后根据正弦函数的概念进行计算.

4．【答案】C

【解析】【解答】将A，B，C三点分别代入 ，可求得 ，比较其大小可得： ．

故答案为：C．

【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解 ，然后直接比较大小即可．

5．【答案】C

【解析】【解答】根据相似三角形的判定可得△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△CBH，共4对．故答案选C．
【分析】熟记相似三角形的判定是解答的关键.

6．【答案】C

【解析】【解答】解：∵ ，

∴△AEF∽△ACD，

∴ ，A不符合题意；

∴ ，

∵ ，

∴△CEG∽△CAB，

∴ ，

∴ ，B不符合题意； ，D不符合题意；

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，符合题意C．

故答案为：C．

【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．

7．【答案】B

【解析】【解答】解：当m一定时， 与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件可知 与V之间成反比例函数，由此可得答案.

8．【答案】B

【解析】【解答】解：∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB=∠OCA+∠ACB=25° +∠OCA，

∵∠A+∠AOB=∠B+∠ACB= ，

∴.

故答案为：B.

【分析】由等腰三角形性质得∠A=∠OCA，∠B=∠OCB=25°+∠OCA，由外角的性质得∠A+∠AOB=∠B+∠ACB=50°+∠OCA，据此计算.

9．【答案】C

【解析】【解答】解：

∴

∵，

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

故答案为：C.

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠A=∠B=45°，结合内角和定理可得∠ACE=∠CDE，易证△ACE∽△BDC，根据相似三角形的性质可得AC·BC=AE·BD=8，然后借助三角形的面积公式进行计算.

10．【答案】B

【解析】【解答】解：设P点坐标为（a， a2﹣1），则OA＝a，PA＝ a2﹣1，

∴ ，

∴OP﹣PA＝ a2+1﹣（ a2﹣1）＝2．

故答案为：B．

【分析】设P点坐标为（a， a2﹣1），则OA＝a，PA＝ a2﹣1，再利用两点之间的距离公式可得，最后利用线段的和差计算即可。

11．【答案】

【解析】【解答】解：抛物线 的顶点纵坐标为 ，

∵顶点在 轴上，

∴，

解得 ，经检验符合题意

故答案为： .

【分析】根据顶点坐标公式（ ， ）可得抛物线的顶点纵坐标，然后令其等于0即可求出a的值.

12．【答案】－14

【解析】【解答】解：将 ， 分别代入 ，得 ，

∵直线 与双曲线 相交，

∴与 互为相反数，即 ， ，

则 ，

故答案为：-14.

【分析】将A、B的坐标分别代入反比例函数解析式中可得x1y1=7，x2y2=7，根据A、B为反比例函数与正比例函数图象的交点可得y1=-y2，y2=-y1，则x1y2+x2y1=-(x1y1+x2y2)，据此计算.

13．【答案】

【解析】【解答】解：如图，延长EF交圆O于点C，连接OC，

∵∠AEF = 90°

∴AC为OO的直径，

∴A、O、C三点共线，

∵OA= OC, ∠AOB = 90°,

∴BO⊥AC，

∴BO是AC的垂直平分线，

∴AF=CF

在Rt△AEF中，EF =6，AE=8，

∴AF = = = 10

∴CF= AF=10

∴CE=CF + EF =16

∴AC =  =  =

∴OA= AC=

即扇形AOB半径为 .

故答案为： .

【分析】延长EF交圆O于点C，连接OC，易得AC为圆O的直径，BO是AC的垂直平分线，则AF=CF，根据勾股定理可得AF，进而求出CE，利用勾股定理求出AC，据此可得OA的值.

14．【答案】30；2

【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，设OQ=m，PE=n

∵直线 与坐标轴相交于A、B两点，

，

，

，

，

， ，

，

，

，

， ，

，

，

，

在 中, ,

,

在 Rt  中，

，

，

,

整理得, ,

,

,

,

解得, 舍弃 或 ,

的最小值为 2 ,

的最小值为 2 , 此时 ,

,

∴

故答案为：30，2.

【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，设OQ=m，PE=n，易得A（3，0），B（0， ），据此可得OA、OB，利用三角函数的概念可得tan∠OAB的值，得到∠OAB的度数，根据同角的余角相等可得∠OPE=∠PFQ，证明△OEP∽△PFQ，根据三角函数的概念求出AE，QF，AF，利用相似三角形的对应边成比例可得关于n的一元二次方程，结合判别式≥0可得m的范围，进而可得m的最小值，然后求出n、PE、OP的值，利用三角函数的概念求出cos∠POQ的值，进而可得∠POQ的度数.

15．【答案】解：原式

，

【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，根据绝对值的性质、二次根式的性质及0次幂的运算性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.

16．【答案】解：令，，∴，

∵抛物线过，，

∴，

∴ ，

∴该抛物线对应的函数表达式为：.

【解析】【分析】令直线解析式中的x=0，可得y=1，则A（0，1），将A（0，1）、B（1，0）代入y= x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的表达式.

17．【答案】（1）解：∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n）， 

∴n=﹣1+5，解得：n=4，

∴点A的坐标为（1，4）.

∵反比例函数y= （k≠0）过点A（1，4），

∴k=1×4=4，

∴反比例函数的解析式为y= .

联立 ，解得： 或 ，

∴点B的坐标为（4，1）

（2）解：观察函数图象，发现： 

当1＜x＜4.时，反比例函数图象在一次函数图象下方，

∴当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y= （k≠0）的值时，x的取值范围为1＜x＜4

【解析】【分析】（1）将点A的坐标（1，4）代入，即可求出反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝ ，即反比例函数的图象在一次函数的图象的下方时自变量的取值范围即可.

18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且

（2）解：∵四边形ABCD为正方形，

点E为AD的中点

在 中，

由（1）知，

，即

故 的长为9．

【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出 ，再加上一组直角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证；（2）先根据正方形的性质、中点的性质求出AE的长，再根据勾股定理求出BE的长，最后根据相似三角形的性质、线段的和差即可得．

19．【答案】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示： 

则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC=5， 设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，

在Rt△DHB中，∠BDH=30°，  ∴DH= （x﹣5），AC=EC﹣EA= （x﹣5）﹣30，

在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC= ，  ∴ =    解得：x= ，

答：建筑物BC的高为 m．

【解析】【分析】过点D作DH⊥BC于点H，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，根据Rt△DHB和Rt△ACB的三角函数值得出答案．

20．【答案】（1）解：∵的三个顶点坐标分别是，，

∴绕O点逆时针旋转90°，得，，

如图所示：

即为所求

∵，

∴，

线段AB扫过的面积；

（2）解：∵的三个顶点坐标分别是，，

∴，，

如图所示，

即为所求.

【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，顺次连接可得△A1B1C1，易得线段AB扫过的面积为：圆心角为90°，半径分别为OB、OA的扇形的面积之差，据此计算；
（2）分别给点A、B、C的横纵坐标乘以-2，可得点A2、B2、C2的坐标，找出对应的位置，然后顺次连接即可.

21．【答案】（1）证明：.∵，

∴，

∴

∵BC切于点B，OB为半径

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（2）证明：如图，作于

∴

∴

∴

∴

∵，

∴ 是等边三角形.

【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AOC=90°，根据切线的性质可得∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，结合等角的余角相等可得∠APO=∠ABC，推出∠CPB=∠CBP，据此证明；
（2）作OD⊥AB于D，根据垂径定理可得AD=BD=3，利用三角函数的概念求出cos∠OBD的值，根据特殊锐角三角函数值得到∠OBD的度数，进而求出∠CBP的度数，然后结合CP=CB以及等边三角形的判定定理进行证明.

22．【答案】（1）（-1,0）

（2）证明：∵，

∴函数的顶点坐标为，

∴当时，，

∴无论m为何值该函数图象的顶点都在图象上；

（3）解：令，，

解得：，，

∴，

令线段AB的长度为z，则，

因为，

所以，

因为z随m增大而增大，

所以当时，，

故线段AB的最大值为3.

【解析】【解答】解：（1）令 ， ，

解得： ， ，

∴无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上的点 ；
故答案为：（-1,0）；

【分析】（1）令y=0，求出x的值，可得定点坐标；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，然后将顶点的横坐标代入y=-(x+1)2中求出y的值，据此判断；
（3）令y=0，求出x的值，然后表示出AB，令线段AB的长度为z，则z=|m-1|，结合m的范围可得m-1>0，则z=m-1，然后根据一次函数的性质进行解答.

23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴O是AC中点，.

∵，

∴，

，

又，

，

，

∴E是BC中点，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∴，

同理，，，

∴，

∴，

即；

（3）解：

【解析】【解答】解：（3）设 ，
∵OC平分∠AOB，NM∥OB，
∴∠AOC=∠BOC=∠NMO
∴ON=MN=x，

，

，

，即 ，

，

即 ，

故 的长度为 .

【分析】（1）根据矩形的性质得O是AC的中点，AB⊥BC，则OE∥AB，根据平行线的性质得∠CAB=∠COE，证△CAB∽△COE，然后结合相似三角形的性质进行证明；
（2）易证△DFO∽△DAB，根据相似三角形的性质可得 ，同理可得 ， ， ，然后根据等式的性质进行证明；
（3）设MN=x，易证△DNM∽△DOE，然后根据相似三角形的性质求解即可.