上海市虹口区名校2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（ ）

A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位

C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位

2．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（  ）

A． B． C． D．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（　　）

A．2    B．    C．    D．

4．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，a，b，c的取值范围（ ）

A．a<0，b<0，c<0    B．a<0，b>0，c<0

C．a>0，b>0，c<0    D．a>0，b<0，c<0

5．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（　　）

A．2 B．3 C． 4 D．6

7．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（  ）

A． B．

C． D．

8．﹣的绝对值是（　　）

A．﹣ B． C．﹣2 D．2

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°

10．2018年春运，全国旅客发送量达29.8亿人次，用科学记数法表示29.8亿，正确的是（　　）

A．29.8×109 B．2.98×109 C．2.98×1010 D．0.298×1010

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别表有1到6的点数，任意将它抛掷两次，并将两次朝上面的点数相加，则其和小于6的概率是______．

12．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2上有一动点P，直线y=﹣x﹣2上有一动线段AB，当P点坐标为_____时，△PAB的面积最小．

13．已知a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，则an＝_____．（n为正整数）．

14．当a＜0，b＞0时．化简：＝_____．

15．如图，点A（m，2），B（5，n）在函数（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为     ．

16．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△OBC的面积为____．

17．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为_____个．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；

（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

19．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．

（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；

（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．

20．（8分）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．求k和n的值；若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．

21．（10分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x是不等式组的整数解

22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．

若AC=4，BC=2，求OE的长．试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

23．（12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

24．（14分）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C，其中A点的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；

（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；

B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；

C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；

D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；

故选D.

2、B

【解析】
连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2，根据阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD列式计算可得．

【详解】

解：连接OA、OB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，

∴OA=ABcos45°=4×=2，

所以阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD=π×（2）2-4×4=8π-1．

故选B．

【点睛】

本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．

3、C

【解析】

当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，

连接CD，

则∠CDA=90°，

∵A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1，

∴CD=1，AC=2+1=3，

∴AD==2，

∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，

∴△AOE∽△ADC，

∴

即，∴OE=，

∴BE=OB+OE=2+

∴S△ABE=

BE?OA=×（2+）×2=2+

故答案为Ｃ．

4、D

【解析】

试题分析：根据二次函数的图象依次分析各项即可。

由抛物线开口向上，可得，

再由对称轴是，可得，

由图象与y轴的交点再x轴下方，可得，

故选D.

考点：本题考查的是二次函数的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：的正负决定抛物线开口方向，对称轴是，C的正负决定与Y轴的交点位置。

5、C

【解析】
解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，

可列方程得，

故选C．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．

6、B

【解析】
作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，

∴BD∥CE，

∴，

∵OC是△OAB的中线，

∴，

设CE=x，则BD=2x，

∴C的横坐标为，B的横坐标为，

∴OD=，OE=，

∴DE=OE-OD=﹣=，

∴AE=DE=，

∴OA=OE+AE=，

∴S△OAB=OA•BD=×=1．

故选B.

点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

7、A

【解析】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．

【详解】

设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，

由题意得，

故选：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．

8、B

【解析】
根据求绝对值的法则，直接计算即可解答．

【详解】

，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查求绝对值的法则，掌握负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键．

9、B

【解析】
根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，
∴∠C=180°-130°=50°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=25°，
∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，
故选：B．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．

10、B

【解析】
根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且为这个数的整数位数减1，由此即可解答．

【详解】

29.8亿用科学记数法表示为： 29.8亿=2980000000＝2.98×1．

故选B．

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】
列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和小于6的情况占总情况的多少即可．

【详解】

解：列表得：

两个骰子向上的一面的点数和小于6的有10种，
则其和小于6的概率是，
故答案为：．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两步以上完成的事件解题时还要注意是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

12、（-1，2）

【解析】
因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可．

【详解】

因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，

若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点，

设平移后的直线为y=-x-2+b，

∵直线y=-x-2+b与抛物线y=x2+x+2相切，

∴x2+x+2=-x-2+b，即x2+2x+4-b=0，

则△=4-4（4-b）=0，

∴b=3，

∴平移后的直线为y=-x+1，

解得x=-1，y=2，

∴P点坐标为（-1，2），

故答案为（-1，2）．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点是解题的关键．

13、.

【解析】
观察分母的变化为n的1次幂加1、2次幂加1、3次幂加1…，n次幂加1；分子的变化为：3、5、7、9…2n+1．

【详解】

解：∵a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，

∴an＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．

14、

【解析】

分析：按照二次根式的相关运算法则和性质进行计算即可.

详解：

∵，

∴.

故答案为：.

点睛：熟记二次根式的以下性质是解答本题的关键：（1）；（2）=.

15、2．

【解析】

试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A（2，2），∴k=2×2=2．故答案为2．

考点：2．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．

16、6

【解析】
根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC的面积．

【详解】

设点A的坐标为(a,),点B的坐标为(b,)，

∵点C是x轴上一点，且AO=AC，

∴点C的坐标是(2a,0)，

设过点O(0,0),A(a, )的直线的解析式为：y=kx，

∴=k⋅a，

解得k=，

又∵点B(b, )在y=x上，

∴=⋅b,解得, =或=− (舍去)，

∴S△OBC==6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.

17、1

【解析】

分析：类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：万位上的数×64+千位上的数×63+百位上的数×62+十位上的数×6+个位上的数，即1×64+2×63+3×62+0×6+2=1．

详解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1，

故答案为：1．

点睛：本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）作图见解析；；（2）作图见解析.

【解析】

试题分析：（1）通过数格子可得到点P关于AC的对称点，再直接利用勾股定理可得到周长；（2）利用网格结合矩形的性质以及勾股定理可画出矩形.

试题解析：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：；（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．

考点：1轴对称；2勾股定理.

19、（1）见解析（2）不公平。理由见解析

【解析】

解：（1）画树状图得：

所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，，413，421，423，431，432。

（2）这个游戏不公平。理由如下：

∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，

∴甲胜的概率为，乙胜的概率为。

∵甲胜的概率≠乙胜的概率，∴这个游戏不公平。

（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数。

（2）由（1），可求得甲胜和乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案。

20、（1）n=1，k=1．（2）当2≤x≤1时，1≤y≤2．

【解析】

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；

（2）由k=1＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤1时，1≤y≤2．

【详解】（1）当x=1时，n=﹣×1+4=1，

∴点B的坐标为（1，1）．

∵反比例函数y=过点B（1，1），

∴k=1×1=1；

（2）∵k=1＞0，

∴当x＞0时，y随x值增大而减小，

∴当2≤x≤1时，1≤y≤2．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.

21、x=3时，原式=

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果,求出不等式组的解集,找出解集中的整数计算得出到x的值,代入计算即可求出值.

【详解】

解：原式=÷

=×

=，

解不等式组得，2＜x＜，

∵x取整数，

∴x=3，

当x=3时，原式=．

【点睛】

本题主要考查分式额化简求值及一元一次不等式组的整数解．

22、（1）；（2）∠CDE=2∠A．

【解析】
（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO ．再由△AOE∽△ACB，得到OE的长；

（2）连结OC，得到∠1=∠A，再证∠3=∠CDE，从而得到结论．

【详解】

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AB=

=，

∴AO=AB=．

∵OD⊥AB，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

又∵∠A=∠A，

∴△AOE∽△ACB，

∴，

∴OE=

=.

（2）∠CDE=2∠A．理由如下：

连结OC，

∵OA=OC，

∴∠1=∠A，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠2+∠CDE=90°，

∵OD⊥AB，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠CDE．

∵∠3=∠A+∠1=2∠A，

∴∠CDE=2∠A．

考点：切线的性质；探究型；和差倍分．

23、（1）y=2x，OA=，

（2）是一个定值，，

（3）当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

【解析】（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=．

（2）是一个定值，理由如下：

如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时；

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．①①

如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC=OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴，

∴OF=，

∴点F（，0），

设点B（x，），

过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，

∴，

即，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴点B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5       

（求AB也可采用下面的方法）

设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得

k=，b=10，

∴，

∴，

∴（舍去），，

∴B（6，2），

∴AB=5

在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED.

设OE=x，则AE=﹣x （），

由△ABE∽△OED得，

∴

∴（）

∴顶点为（，）

如答图3，

当时，OE=x=，此时E点有1个；

当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

∴当时，E点只有1个

当时，E点有2个

24、（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）；（3）．

【解析】
（1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得；

（2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；

（3）先求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3），然后可得到QD与x的函数的关系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线与x轴的交点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，

∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（1，0），

设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

将点C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，

解得a＝1，

则抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；

（2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．

∵S△POC＝2S△BOC，

∴•OC•|a|＝2×OC•OB，即×3×|a|＝2××3×1，解得a＝±2．

当a＝2时，点P的坐标为（2，21）；

当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，5）．

∴点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）．

（3）如图所示：

设AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．

设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3）．

∴QD＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x2+3x+﹣）＝﹣（x+）2+，

∴当x＝﹣时，QD有最大值，QD的最大值为．

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和应用．