山西省蒲县2022年初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列各类数中，与数轴上的点存在一一对应关系的是（　　）

A．有理数    B．实数    C．分数    D．整数

2．若直线y=kx+b图象如图所示，则直线y=−bx+k的图象大致是(    )

A． B． C． D．

3．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．60° C．120° D．150°

5．如图，PB切⊙O于点B，PO交⊙O于点E，延长PO交⊙O于点A，连结AB，⊙O的半径OD⊥AB于点C，BP=6，∠P=30°，则CD的长度是（　　）

A． B． C． D．2

6．轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求港和港相距多少千米. 设港和港相距千米. 根据题意，可列出的方程是（    ）.

A． B．

C． D．

7．如图所示的几何体的俯视图是(    )

A． B． C． D．

8．下列函数是二次函数的是（    ）

A． B． C． D．

9．下列几何体是棱锥的是(  )

A． B． C． D．

10．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（　　）

A．在A的左边 B．介于A、B之间

C．介于B、C之间 D．在C的右边

11．如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   )

A．4 B．3 C．2 D．1

12．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是(    )

A．10 B．12 C．20 D．24

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．已知直线m∥n，将一块含有30°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1=20°，则∠2=_____度．

14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC=_____cm

15．若二次函数y＝－x2－4x＋k的最大值是9，则k＝______．

16．下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是                  ．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（-1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为___．

18．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B－C－D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是(      )

A． B． C． D．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．

（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD的长；

（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM=BM．

20．（6分）如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是，棚高，长，棚顶与地面的夹角为．求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）

21．（6分）如图，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

22．（8分）“不出城郭而获山水之怡，身居闹市而有林泉之致”，合肥市某区不断推进“园林城市”建设，今春种植了四类花苗，园林部门从种植的这批花苗中随机抽取了2000株，将四类花苗的种植株数绘制成扇形统计图，将四类花苗的成活株数绘制成条形统图.经统计这批2000株的花苗总成活率为90%，其中玉兰和月季的成活率较高，根据图表中的信息解答下列问题：扇形统计图中玉兰所对的圆心角为                   ，并补全条形统计图；该区今年共种植月季8000株，成活了约                  株；园林部门决定明年从这四类花苗中选两类种植，请用列表法或画树状图求恰好选到成活率较高的两类花苗的概率.

23．（8分）如图，抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于点C（0，2），直线经过点A，C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接PO，交AC于点E，求的最大值；

②过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24．（10分）抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），抛物线的顶点为．

（1）抛物线的对称轴是直线________；

（2）当时，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，直线：经过抛物线的顶点，直线与抛物线有两个公共点，它们的横坐标分别记为，，直线与直线的交点的横坐标记为，若当时，总有，请结合函数的图象，直接写出的取值范围．

25．（10分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表：

（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各进多少盏．

（2）若设商场购进A型台灯m盏，销售完这批台灯所获利润为P，写出P与m之间的函数关系式．

（3）若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型台灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元．

26．（12分）解方程组：

27．（12分）已知：在△ABC中，AC=BC，D，E，F分别是AB，AC，CB的中点.

　　求证：四边形DECF是菱形.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、B

【解析】
根据实数与数轴上的点存在一一对应关系解答．

【详解】

实数与数轴上的点存在一一对应关系，

故选：B．

【点睛】

本题考查了实数与数轴上点的关系，每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每个点都表示一个唯一的实数，也就是说实数与数轴上的点一一对应.

2、A

【解析】
根据一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，再根据k，b的取值范围确定一次函数y=−bx+k图象在坐标平面内的位置关系，即可判断．

【详解】

解：∵一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，
∴-b＞1，

∴一次函数y=−bx+k的图象过一、二、三象限，与y轴的正半轴相交，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜1；函数值y随x的增大而增大⇔k＞1；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞1，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜1，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1．

3、D

【解析】
∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；

当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．

故选B．

4、C

【解析】

如图：

∵∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，

又∵a∥b，

∴∠2+∠3=180°，

∴∠2=120°，

故选C.

点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.

5、C

【解析】
连接OB，根据切线的性质与三角函数得到∠POB=60°，OB=OD=2，再根据等腰三角形的性质与三角函数得到OC的长，即可得到CD的长.

【详解】

解：如图，连接OB，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°，

∵BP=6，∠P=30°，

∴∠POB=60°，OD=OB=BPtan30°=6×=2，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∵OD⊥AB，

∴∠OCB=90°，

∴∠OBC=30°，

则OC=OB=，

∴CD=.

故选：C．

【点睛】

本题主要考查切线的性质与锐角的三角函数，解此题的关键在于利用切线的性质得到相关线段与角度的值，再根据圆和等腰三角形的性质求解即可.

6、A

【解析】
通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可．

【详解】

解：设A港和B港相距x千米，可得方程：

故选：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．

7、D

【解析】

试题分析：根据俯视图的作法即可得出结论．

从上往下看该几何体的俯视图是D．故选D．

考点：简单几何体的三视图.

8、C

【解析】
根据一次函数的定义，二次函数的定义对各选项分析判断利用排除法求解．

【详解】

A. y=x是一次函数，故本选项错误；

B. y=是反比例函数，故本选项错误；

C.y=x-2+x2是二次函数，故本选项正确；

D.y= 右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误.

故答案选C.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.

9、D

【解析】

分析：根据棱锥的概念判断即可.

A是三棱柱，错误;

B是圆柱，错误；

C是圆锥，错误;

D是四棱锥,正确.

故选D.

点睛：本题考查了立体图形的识别，关键是根据棱锥的概念判断.

10、C

【解析】

分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3，c=b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为1、1，即可得出a=±1、b=±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．

解析：∵|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，

∴b=a+3，c=b+5，

∵原点O与A、B的距离分别为1、1，

∴a=±1，b=±1，

∵b=a+3，

∴a=﹣1，b=﹣1，

∵c=b+5，

∴c=1．

∴点O介于B、C点之间．

故选C．

点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a、b、c的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．

11、C

【解析】
用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE，求出相关线段的长；易证△GAB≌△DBC，求出相关线段的长；再证AG∥BC，求出相关线段的长，最后求出△ABC和△BDF的面积，即可作出选择．

【详解】

解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，

设AB＝BC＝2，则AC＝2，

∵点D是AB的中点，

∴AD＝BD＝1，

在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理）

∵BG⊥CD，

∴∠DEB＝∠ABC＝90°，

又∵∠CDB＝∠BDE，

∴△CDB∽△BDE，

∴∠DBE＝∠DCB， ,即

∴DE＝ ，BE＝,

在△GAB和△DBC中，

∴△GAB≌△DBC(ASA)

∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝，

∵∠GAB+∠ABC＝180°，

∴AG∥BC，

∴△AGF∽△CBF，

∴，且有AB＝BC，故①正确，

∵GB＝，AC＝2，

∴AF＝＝，故③正确，

GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误，

S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确．

故选B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难度,注意合理的运用特殊值法是解题关键．

12、B

【解析】
根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．

【详解】

解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为：×4×6=12.

故选：B.

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、1

【解析】
根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，据此进行计算即可．

【详解】

解：∵直线m∥n，

∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=1°，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

14、

【解析】
根据三角形的面积公式求出＝，根据等腰三角形的性质得到BD＝DC＝BC，根据勾股定理列式计算即可．

【详解】

∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，

∴AB•CE＝BC•AD，

∵AD＝6，CE＝8，

∴＝，

∴＝，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC＝BC，

∵AB2−BD2＝AD2，

∴AB2＝BC2＋36，即BC2＝BC2＋36，

解得：BC＝．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，根据三角形的面积公式求出腰与底的比是解题的关

15、5

【解析】y=−(x−2)2+4+k，

∵二次函数y=−x2−4x+k的最大值是9，

∴4+k=9，解得：k=5，

故答案为：5.

16、n1＋n＋1．

【解析】

试题解析：仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，

分别为：

第一个图有：1+1+1个，

第二个图有：4+1+1个，

第三个图有：9+3+1个，

…

第n个为n1+n+1.

考点：规律型：图形的变化类．

17、（3，2）

【解析】
根据平移的性质即可得到结论．

【详解】

∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），

∵-1+3=2，

∴0+3=3

∴A′（3，2），

故答案为：（3，2）

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．

18、C

【解析】
分出情况当P点在BC上运动，与P点在CD上运动，得到关系，选出图象即可

【详解】

由题意可知，P从B开始出发，沿B—C—D向终点D匀速运动，则

当0＜x≤2，s=x

当2＜x≤3，s=1

所以刚开始的时候为正比例函数s=x图像，后面为水平直线，故选C

【点睛】

本题主要考查实际问题与函数图像，关键在于读懂题意，弄清楚P的运动状态

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、 (1) 2﹣ ;(2)见解析

【解析】

分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得∠ECD=90°-60°=30°，设ED=x，则CD=2x，利用勾股定理得：x=1，求得x的值，可得BD的长；

（2）如图2，连接CM，先证明△ACE≌△BCF，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C、M、B、F四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM．

详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=45°，

∵∠BAD=15°，

∴∠CAE=45°﹣15°=30°，

Rt△ACE中，CE=1，

∴AC=2CE=2，

Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，

∴CD=2ED，

设ED=x，则CD=2x，

∴CE=x，

∴x=1，

x=，

∴CD=2x=，

∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2﹣；

（2）如图2，连接CM，

∵∠ACB=∠ECF=90°，

∴∠ACE=∠BCF，

∵AC=BC，CE=CF，

∴△ACE≌△BCF，

∴∠BFC=∠AEC=90°，

∵∠CFE=45°，

∴∠MFB=45°，

∵∠CFM=∠CBA=45°，

∴C、M、B、F四点共圆，

∴∠BCM=∠MFB=45°，

∴∠ACM=∠BCM=45°，

∵AC=BC，

∴AM=BM．

点睛：本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE≌△BCF是关键．

20、33.3

【解析】
根据解直角三角形的知识先求出AC的值，再根据矩形的面积计算方法求解即可.

【详解】

解：∵AC= ===

∴矩形面积=10≈33.3（平方米）

答：覆盖在顶上的塑料薄膜需33.3平方米

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解题的关键.

21、（1）；（2）（，0）；（3）1，M（2，﹣3）．

【解析】

试题分析：方法一：

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．

方法二：

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．

（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点．

试题解析：解：方法一：

（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：　0=16a﹣×1﹣2，即：a=，∴抛物线的解析式为：．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=1，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（1，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=，即：，且△=0；

∴1﹣1×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣1；

∴直线l：y=x﹣1．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：

即 M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×1=1．

方法二：

（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：　0=16a﹣×1﹣2，即：a=，∴抛物线的解析式为：．

（2）∵y=（x﹣1）（x+1），∴A（﹣1，0），B（1，0）．C（0，﹣2），∴KAC= =﹣2，KBC= =，∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（，0）．

（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（1，0），C（0，﹣2），∴lBC：y=x﹣2，设H（t，t﹣2），M（t，），∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣）（1﹣0）=﹣t2+1t，∴当t=2时，S有最大值1，∴M（2，﹣3）．

点睛：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．

22、 (1)72°，见解析；(2)7280；(3).

【解析】
（1）根据题意列式计算，补全条形统计图即可；

（2）根据题意列式计算即可；

（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出选到成活率较高的两类树苗的情况数，即可求出所求的概率．

【详解】

(1)扇形统计图中玉兰所对的圆心角为360°×(1-40%-15%-25%)=72°

月季的株数为2000×90%-380-422-270=728(株)，

补全条形统计图如图所示：

(2)月季的成活率为

所以月季成活株数为8000×91%=7280(株).

 故答案为：7280.

(3)由题意知，成活率较高的两类花苗是玉兰和月季，玉兰、月季、桂花、腊梅分别用A、B、C、D表示，画树状图如下：

所有等可能的情况有12种，其中恰好选到成活率较高的两类花苗有2种.

∴P(恰好选到成活率较高的两类花苗)

【点睛】

此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．

23、（1）；（2）①有最大值1；②（2，3）或（，）

【解析】
（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，C点坐标，根据代定系数法，可得函数解析式；

（2）①根据相似三角形的判定与性质，可得，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，求得D（，0），得到DA=DC=DB=，过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC于G，情况一：如图，∠PCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FPC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

（1）当x=0时，y=2，即C（0，2），

当y=0时，x=4，即A（4，0），

将A，C点坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析是为；

   （2）过点P向x轴做垂线，交直线AC于点M，交x轴于点N

，

∵直线PN∥y轴，

∴△PEM～△OEC，

∴

把x=0代入y=-x+2，得y=2，即OC=2，

设点P（x，-x2+x+2），则点M（x，-x+2），

∴PM=（-x2+x+2）-（-x+2）=-x2+2x=-（x-2）2+2，

∴=，

∵0＜x＜4，∴当x=2时，=有最大值1．

②∵A（4，0），B（-1，0），C（0，2），

∴AC=2，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，

∴D（，0），

∴DA=DC=DB=，

∴∠CDO=2∠BAC，

∴tan∠CDO=tan（2∠BAC）=，

过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，

情况一：如图

，

∴∠PCF=2∠BAC=∠PGC+∠CPG，

∴∠CPG=∠BAC，

∴tan∠CPG=tan∠BAC=，

即，

令P（a，-a2+a+2），

∴PR=a，RC=-a2+a，

∴，

∴a1=0（舍去），a2=2，

∴xP=2，-a2+a+2=3，P（2，3）

情况二，∴∠FPC=2∠BAC，

∴tan∠FPC=，

设FC=4k，

∴PF=3k，PC=5k，

∵tan∠PGC=，

∴FG=6k，

∴CG=2k，PG=3k，

∴RC=k，RG=k，PR=3k-k=k，

∴，

∴a1=0（舍去），a2=，

xP=，-a2+a+2=，即P（，），

综上所述：P点坐标是（2，3）或（，）．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用解直角三角形，要分类讨论，以防遗漏．

24、（1）；（2）；（3）

【解析】
（1）根据抛物线的函数表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）根据抛物线的对称轴及即可得出点、的坐标，根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；（3）利用配方法求出抛物线顶点的坐标，依照题意画出图形，观察图形可得出，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，结合的取值范围即可得出的取值范围．

【详解】

（1）∵抛物线的表达式为，

∴抛物线的对称轴为直线．

故答案为：．

（2）∵抛物线的对称轴为直线，，

∴点的坐标为，点的坐标为．

将代入，得：，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为．

（3）∵，

∴点的坐标为．

∵直线y=n与直线的交点的横坐标记为，且当时，总有，

∴x2<x3<x1，

∵x3>0，

∴直线与轴的交点在下方，

∴．

∵直线：经过抛物线的顶点，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（3）依照题意画出图形，利用数形结合找出．

25、（1）应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）P=﹣5m+2000；（3）商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．

【解析】
（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100-x）盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；

（2）根据题意列出方程即可；
（3）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．

【详解】

解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，

根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，

解得x=75，

所以，100﹣75=25，

答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；

（2）设商场销售完这批台灯可获利P元，

则P=（45﹣30）m+（70﹣50）（100﹣m），

=15m+2000﹣20m，

=﹣5m+2000，

即P=﹣5m+2000，

（3）∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍，

∴100﹣m≤4m，

∴m≥20，

∵k=﹣5＜0，P随m的增大而减小，

∴m=20时，P取得最大值，为﹣5×20+2000=1900（元）

答：商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程的应用.

26、

【解析】
设=a， =b，则原方程组化为，求出方程组的解，再求出原方程组的解即可．

【详解】

设=a， =b，

则原方程组化为：，

①+②得：4a=4，

解得：a=1，

把a=1代入①得：1+b=3，

解得：b=2，

即，

解得：，

经检验是原方程组的解，

所以原方程组的解是．

【点睛】

此题考查利用换元法解方程组，注意要根据方程组的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

27、见解析

【解析】
证明：∵D、E是AB、AC的中点

　　∴DE=BC，EC=AC

　　∵D、F是AB、BC的中点

　　∴DF=AC，FC=BC

　　∴DE=FC=BC，EC=DF=AC

　　∵AC=BC

　　∴DE=EC=FC=DF

　　∴四边形DECF是菱形