山西省晋中市重点中学2021-2022学年中考数学模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．方程的解是

A．3 B．2 C．1 D．0

2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为(        )

A． B． C． D．

4．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

5．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则sin∠ACB=（　　）

A． B．2 C． D．

7．下列各组单项式中,不是同类项的一组是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和3

8．在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000 km，将13000用科学记数法表示应为( )

A．0.13×105 B．1.3×104 C．1.3×105 D．13×103

9．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为(    )

A． B．或

C． D．或

10．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为

A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1

11．若m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个不同实数根，则代数式m2﹣m+n的值是（　　）

A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．1

12．下列各数中，最小的数是（    ）

A．﹣4    B．3    C．0    D．﹣2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为9m，那么这栋建筑物的高度为_____m．

14．点（-1，a）、（-2，b）是抛物线上的两个点，那么a和b的大小关系是a_______b（填“>”或“<”或“=”）．

15．分解因式：3x3﹣27x＝_____．

16．不等式组的解集为____．

17．如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、.给出下列结论：

①；②；③；④不等式的解集是或.

其中正确结论的序号是__________．

18．若点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k﹣1）x+k的图象不经过第               象限．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，≈1.73)

20．（6分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

21．（6分）计算：

22．（8分）如图，矩形的两边、的长分别为3、8，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点.

若点坐标为，求的值及图象经过、两点的一次函数的表达式；若，求反比例函数的表达式.

23．（8分）小敏参加答题游戏，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，，，第二道单选题有4个选项，，，，这两道题小敏都不会，不过小敏还有一个“求助”机会，使用“求助”可以去掉其中一道题的一个错误选项．假设第一道题的正确选项是，第二道题的正确选项是，解答下列问题：

（1）如果小敏第一道题不使用“求助”，那么她答对第一道题的概率是________；

（2）如果小敏将“求助”留在第二道题使用，用画树状图或列表的方法，求小敏顺利通关的概率；

（3）小敏选第________道题（选“一”或“二”）使用“求助”，顺利通关的可能性更大．

24．（10分）如图，点在线段上，，，.求证：.

25．（10分）如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C．

（1）求点 A 的坐标；

（2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．

27．（12分）某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机．已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元，4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元．

（1）求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元？

（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍．设购进A型无人机x台，总费用为y元．

①求y与x的关系式；

②购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解：去分母得：2x=3x﹣3，解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．故选A．

2、C

【解析】
根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；

当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误；

根据对称轴可得：－=－，则b=3a，根据a<0，b<0可得：a>b；则③正确；

根据函数与x轴有两个交点可得：－4ac>0，则④正确.

故选C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a，b，c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a，b，c之间的关系是解题关键.

3、D

【解析】
根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b，根据二次函数图形与轴的交点个数，判断的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．

【详解】

∵二次函数图象开口方向向上，

∴a>0，

∵对称轴为直线

∴b<0，

二次函数图形与轴有两个交点，则>0，

∵当x=1时y=a+b+c<0，

∴的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，

反比例函数图象在第二、四象限，

只有D选项图象符合.

故选：D.

【点睛】

考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.

4、B

【解析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【详解】

解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形．

故选：B．

【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

5、B

【解析】【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．

【详解】分三种情况：

①当P在AB边上时，如图1，

设菱形的高为h，

y=AP•h，

∵AP随x的增大而增大，h不变，

∴y随x的增大而增大，

故选项C不正确；

②当P在边BC上时，如图2，

y=AD•h，

AD和h都不变，

∴在这个过程中，y不变，

故选项A不正确；

③当P在边CD上时，如图3，

y=PD•h，

∵PD随x的增大而减小，h不变，

∴y随x的增大而减小，

∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，

∴P在三条线段上运动的时间相同，

故选项D不正确，

故选B．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．

6、C

【解析】
如图，由图可知BD=2、CD=1、BC=，根据sin∠BCA=可得答案．

【详解】

解：如图所示，

∵BD=2、CD=1，

∴BC===，

则sin∠BCA===，

故选C．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义和勾股定理．

7、A

【解析】
如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．

【详解】

根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.

故答案选：A.

【点睛】

本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.

8、B

【解析】

试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．将13000用科学记数法表示为：1.3×1．

故选B．

考点：科学记数法—表示较大的数

9、B

【解析】

分析：根据位似变换的性质计算即可．

详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，

则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），

故选B．

点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

10、B

【解析】

试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，

∴2a+b=﹣1．故选B．

11、B

【解析】
把m代入一元二次方程，可得，再利用两根之和，将式子变形后，整理代入，即可求值．

【详解】

解：∵若，是一元二次方程的两个不同实数根，

∴，

∴

∴

故选B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，及一元二次方程的解，熟记根与系数关系的公式．

12、A

【解析】
有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可

【详解】

根据有理数比较大小的方法，可得

﹣4＜﹣2＜0＜3

∴各数中，最小的数是﹣4

故选：A

【点睛】

本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键要明确：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、1

【解析】

分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．

详解：设这栋建筑物的高度为xm，

由题意得，，

解得x=1，

即这栋建筑物的高度为1m．

故答案为1．

点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．

14、＜

【解析】

把点（-1，a）、（-2，b）分别代入抛物线，则有：

a=1-2-3=-4，b=4-4-3=-3，

-4<-3，

所以a<b，

故答案为＜.

15、3x（x+3）（x﹣3）．

【解析】
首先提取公因式3x，再进一步运用平方差公式进行因式分解．

【详解】

3x3﹣27x

＝3x（x2﹣9）

＝3x（x+3）（x﹣3）．

【点睛】

本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．

一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

16、x>1

【解析】
分别解出两不等式的解集再求其公共解．

【详解】

由①得：x＞1
由②得：x＞

∴不等式组的解集是x＞1．

【点睛】

求不等式的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了．

17、②③④

【解析】

分析：根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得到-2m=n故②正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=-mx-m，求得P（-1，0），Q（0，-m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确．

详解：由图象知，k1＜0，k2＜0，

∴k1k2＞0，故①错误；

把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得-2m=n，

∴m+n=0，故②正确；

把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得

，

∴,

∵-2m=n，

∴y=-mx-m，

∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，

∴P（-1，0），Q（0，-m），

∴OP=1，OQ=m，

∴S△AOP=m，S△BOQ=m，

∴S△AOP=S△BOQ；故③正确；

由图象知不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确；

故答案为：②③④．

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．

18、一

【解析】

试题分析：首先确定点M所处的象限，然后确定k的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案．

∵点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内， ∴点M（k﹣1，k+1）位于第三象限，

∴k﹣1＜0且k+1＜0， 解得：k＜﹣1，

∴y=（k﹣1）x+k经过第二、三、四象限，不经过第一象限

考点：一次函数的性质

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.

【解析】

解：在Rt△BAE中，∠BAE=680，BE=162米，∴（米）．

在Rt△DEC中，∠DGE=600，DE=176.6米，∴（米）．

∴（米）．

∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．

在Rt△BAE和Rt△DEC中，应用正切函数分别求出AE和CE的长即可求得AC的长．

20、（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．

【解析】
（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．

【详解】

（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，

得：1280（1+x）2=1280+1600，

解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），

答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，

得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，

解得：a≥1900，

答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.

21、-1

【解析】
先化简二次根式、计算负整数指数幂、分母有理化、去绝对值符号，再合并同类二次根式即可得．

【详解】

原式=1﹣4﹣+1﹣=﹣1．

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂的意义、绝对值的意义是解答本题的关键.

22、（1），；（2）.

【解析】

分析：（1）由已知求出A、E的坐标，即可得出m的值和一次函数函数的解析式；

（2）由，得到，由，得到．设点坐标为，则点坐标为，代入反比例函数解析式即可得到结论．

详解：（1）∵为的中点，

∴．

 ∵反比例函数图象过点，

∴．

设图象经过、两点的一次函数表达式为：，

∴，

解得，

∴．

（2）∵，

∴．

 ∵，

∴，

∴．

设点坐标为，则点坐标为．

 ∵两点在图象上，

∴，

解得：，

∴，

∴，

∴．

点睛：本题考查了矩形的性质以及反比例函数一次函数的解析式．解题的关键是求出点A、E、F的坐标．

23、（1）；（2）;（3）一.

【解析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图（用Z表示正确选项，C表示错误选项）展示所有9种等可能的结果数，找出小敏顺利通关的结果数，然后根据概率公式计算出小敏顺利通关的概率；
（3）与（2）方法一样求出小颖将“求助”留在第一道题使用，小敏顺利通关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小敏在答第几道题时使用“求助”．

【详解】

解：（1）若小敏第一道题不使用“求助”，那么小敏答对第一道题的概率=；
故答案为；
（2）若小敏将“求助”留在第二道题使用，那么小敏顺利通关的概率是．理由如下：
画树状图为：（用Z表示正确选项，C表示错误选项）

共有9种等可能的结果数，其中小颖顺利通关的结果数为1，
所以小敏顺利通关的概率=；
（3）若小敏将“求助”留在第一道题使用，画树状图为：（用Z表示正确选项，C表示错误选项）

共有8种等可能的结果数，其中小敏顺利通关的结果数为1，所以小敏将“求助”留在第一道题使用，小敏顺利通关的概率=，
由于＞，
所以建议小敏在答第一道题时使用“求助”．

【点睛】

本题考查了用画树状图的方法求概率，掌握其画法是解题的关键.

24、证明见解析

【解析】
若要证明∠A=∠E，只需证明△ABC≌△EDB，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC，可得∠ABC=∠BDE，因此利用SAS问题得解.

【详解】

∵DE//BC

∴∠ABC=∠BDE

在△ABC与△EDB中

，

∴△ABC≌△EDB（SAS)

∴∠A=∠E

25、（1）；（2）

【解析】
（1）当时，求出点C的坐标，根据四边形为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可；

（2）先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出．

【详解】

解：（1）当时，函数的值为-2，

∴点的坐标为

∵四边形为矩形，

解方程，得．

∴点的坐标为．

∴点的坐标为．

（2）解方程，得．

由图象可知，当时，的取值范围是．

【点睛】

本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的图象与性质．

26、（1）画图见解析；（2）画图见解析，C2的坐标为（﹣6，4）．

【解析】

试题分析：利用关于点对称的性质得出的坐标进而得出答案；
利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．

试题解析：(1)△A1BC1如图所示．

(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－6，4)．

27、（1）一台A型无人机售价800元，一台B型无人机的售价1000元；

（2）①y＝﹣200x+50000；②购进A型、B型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少．

【解析】
（1）根据3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元，4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；

（2）①根据题意可以得到y与x的函数关系式；

②根据①中的函数关系式和B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍，可以求得购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少．

【详解】

解：（1）设一台型无人机售价元，一台型无人机的售价元，

，

解得，，

答：一台型无人机售价元，一台型无人机的售价元；

（2）①由题意可得，

即y与x的函数关系式为；

②∵B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍，

，

解得，，

，

∴当时，y取得最小值，此时，

答：购进型、型无人机各台、台时，才能使总费用最少．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．