陕西省西安临潼区骊山初级中学2022年中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．的倒数是（　　）

A．﹣ B．2 C．﹣2 D．

2．若二次函数y=-x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m-6，0）,该函数图像向下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是（    ）

A．3 B．6 C．9 D．36

3．在数轴上到原点距离等于3的数是(   )

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．不知道

4．某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（    ）.

A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差

5．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（　　）

A．85° B．105° C．125° D．160°

7． “a是实数，|a|≥0”这一事件是（ ）

A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件

8．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　  　）

A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6

9．如图，已知，用尺规作图作．第一步的作法以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，第二步的作法是（    ）

A．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点

B．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点

C．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点

D．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点

10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（　　）

A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝_____．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是____．

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AC与BD相交于点E，AC=BC，DE=3，AD=5，则⊙O的半径为___________．

14．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为______ cm1．

15．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠ABC=114°，则∠ADC的度数为_______°．

16．分解因式x2﹣x=_______________________

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）对于平面直角坐标系中的点，将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“理想值”，记作．如的“理想值”．

（1）①若点在直线上，则点的“理想值”等于_______；

②如图，，的半径为1．若点在上，则点的“理想值”的取值范围是_______．

（2）点在直线上，的半径为1，点在上运动时都有，求点的横坐标的取值范围；

（3），是以为半径的上任意一点，当时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

18．（8分）如图，，，，，交于点．求的值．

19．（8分）（问题情境）

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．

小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．

[变式探究]

如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

[结论运用]

如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值；

[迁移拓展]

图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

20．（8分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．

（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若 PA=3，PC=4，则 PB=     ．

（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）

①求∠CPD 的度数；

②求证：P 点为△ABC 的费马点．

21．（8分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：

信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；

信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：

信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．

信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；

（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？

22．（10分）如图，有长为14m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm1．求S与x的函数关系式及x值的取值范围；要围成面积为45m1的花圃，AB的长是多少米？当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？

23．（12分）按要求化简：（a﹣1）÷，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．

小聪计算这一题的过程如下：

解：原式＝（a﹣1）÷…①

＝（a﹣1）•…②

＝…③

当a＝1，b＝1时，原式＝…④

以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_____步（填序号），原因：_____；

还有第_____步出错（填序号），原因：_____．

请你写出此题的正确解答过程．

24．济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．

（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m，他需要多少时间才能到达终点？将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．

【详解】

解：∵×1＝1

∴的倒数是1．

故选B．

【点睛】

本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2、C

【解析】
设交点式为y=-（x-m）（x-m+6），在把它配成顶点式得到y=-[x-（m-3）]2+1，则抛物线的顶点坐标为（m-3，1），然后利用抛物线的平移可确定n的值．

【详解】

设抛物线解析式为y=-（x-m）（x-m+6），

∵y=-[x2-2（m-3）x+（m-3）2-1]

=-[x-（m-3）]2+1，

∴抛物线的顶点坐标为（m-3，1），

∴该函数图象向下平移1个单位长度时顶点落在x轴上，即抛物线与x轴有且只有一个交点，

即n=1．

故选C．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

3、C

【解析】
根据数轴上到原点距离等于3的数为绝对值是3的数即可求解.

【详解】

绝对值为3的数有3，-3.故答案为C.

【点睛】

本题考查数轴上距离的意义，解题的关键是知道数轴上的点到原点的距离为绝对值.

4、B

【解析】

分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．

详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．

故选B．

点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数

5、B

【解析】
根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.

【详解】

解: A. x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根,

B. , △=36-144=-1080,∴原方程没有实数根,

C. , , △=10,∴原方程有两个不相等的实数根,

D. , △=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根,

故选B.

【点睛】

本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.

6、C

【解析】
首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．

【详解】

根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．

7、A

【解析】

根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，由a是实数，得|a|≥0恒成立，因此，这一事件是必然事件．故选A．

8、D

【解析】

试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

9、D

【解析】
根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．

【详解】

解：用尺规作图作∠AOC=2∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点F为圆心，EF长为半径画弧．
故选：D．

【点睛】

本题考查的是作图-基本作图，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．

10、A

【解析】
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．

【详解】

∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，

∴A点与C点是对应点，

∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，

∴点C的坐标为：（4，4）

故选A．

【点睛】

本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、5或1

【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．

【详解】

由被开方数是非负数，得

，

解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，

当a＝1时，a+b＝1+4＝5，

当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝1，

故答案为5或1．

【点睛】

本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12、

【解析】
过点B作BD⊥AC于D，设AH=BC=2x，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=BC=x，利用勾股定理列式表示出AC，再根据三角形的面积列方程求出BD，然后根据锐角的正弦=对边：斜边求解即可．

【详解】

如图，过点B作BD⊥AC于D，设AH=BC=2x，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=BC=x，

根据勾股定理得，AC==x，

S△ABC=BC•AH=AC•BD，

即•2x•2x=•x•BD，

解得BC=x，

所以，sin∠BAC=．

故答案为．

13、

【解析】
如图，作辅助线CF；证明CF⊥AB（垂径定理的推论）；证明AD⊥AB，得到AD∥OC，△ADE∽△COE；得到AD：CO=DE：OE，求出CO的长，即可解决问题．

【详解】

如图，连接CO并延长，交AB于点F；

∵AC=BC，

∴CF⊥AB（垂径定理的推论）；

∵BD是⊙O的直径，

∴AD⊥AB；设⊙O的半径为r；

∴AD∥OC，△ADE∽△COE，

∴AD：CO=DE：OE，

而DE=3，AD=5，OE=r-3，CO=r，

∴5：r=3：（r-3），

解得：r=，

故答案为．

【点睛】

该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、垂径定理的推论等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，灵活运用有关定来分析、判断．

14、

【解析】
利用勾股定理求得圆锥的母线长,则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径的平方+底面周长×母线长÷1.

【详解】

底面半径为4cm,则底面周长=8πcm,底面面积=16πcm1;

由勾股定理得,母线长=,

圆锥的侧面面积,

∴它的表面积=(16π+4 )cm1= cm1 ,

故答案为:.

【点睛】

本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(1)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

15、48°

【解析】
如图，在⊙O上取一点K，连接AK、KC、OA、OC，由圆的内接四边形的性质可求出∠AKC的度数，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，由切线性质可知∠OAD=∠OCB=90°，可知∠ADC+∠AOC=180°，即可得答案.

【详解】

如图，在⊙O上取一点K，连接AK、KC、OA、OC．

∵四边形AKCB内接于圆，

∴∠AKC+∠ABC=180°，

∵∠ABC=114°，

∴∠AKC=66°，

∴∠AOC=2∠AKC=132°，

∵DA、DC分别切⊙O于A、C两点，

∴∠OAD=∠OCB=90°，

∴∠ADC+∠AOC=180°，

∴∠ADC=48°

故答案为48°．

【点睛】

本题考查圆内接四边形的性质、周角定理及切线性质，圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆的切线垂直于过切点的直径；熟练掌握相关知识是解题关键.

16、x(x-1)

【解析】

x2﹣x

= x(x-1).

故答案是：x(x-1).

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）①﹣3；②；（2）；（3）

【解析】
（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与轴夹角越大，可得直线与相切时理想值最大，与x中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨论与轴及直线相切时，LQ 取最小值和最大值，求出点横坐标即可；（3）根据题意将点转化为直线，点理想值最大时点在上，分析图形即可．

【详解】

（1）①∵点在直线上，

∴，

∴点的“理想值”=-3，

故答案为：﹣3.

②当点在与轴切点时，点的“理想值”最小为0.

当点纵坐标与横坐标比值最大时，的“理想值”最大，此时直线与切于点，

设点Q（x，y），与x轴切于A，与OQ切于Q，

∵C（，1），

∴tan∠COA==，

∴∠COA=30°，

∵OQ、OA是的切线，

∴∠QOA=2∠COA=60°，

∴=tan∠QOA=tan60°=，

∴点的“理想值”为，

故答案为：.

（2）设直线与轴、轴的交点分别为点，点，

当x=0时，y=3，

当y=0时，x+3=0，解得：x=，

∴，．

∴，，

∴tan∠OAB=，

∴．

∵，

∴①如图，作直线．

当与轴相切时，LQ=0，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．

作轴于点，

∴，

∴．

∵的半径为1，

∴．

∴，

∴．

∴．

②如图

当与直线相切时，LQ=，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最小值．

作轴于点，则．

设直线与直线的交点为．

∵直线中，k=，

∴，

∴，点F与Q重合，

则．

∵的半径为1，

∴．

∴．

∴，

∴．

∴．

由①②可得，的取值范围是．

（3）∵M（2，m），

∴M点在直线x=2上，

∵，

∴LQ取最大值时，=，

∴作直线y=x，与x=2交于点N，

当M与ON和x轴同时相切时，半径r最大，

根据题意作图如下：M与ON相切于Q，与x轴相切于E，

把x=2代入y=x得：y=4，

∴NE=4，OE=2，ON==6，

∴∠MQN=∠NEO=90°，

又∵∠ONE=∠MNQ，

∴，

∴，即，

解得：r=.

∴最大半径为.

【点睛】

本题是一次函数和圆的综合题，主要考查了一次函数和圆的切线的性质，解答时要注意做好数形结合，根据图形进行分类讨论．

18、

【解析】

试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形.由∠A=∠ACD，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，从而；再在Rt△ABC和Rt△BCD中分别求出AB和CD的长，代入即可.

解：∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，∴AB=1．

在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，∴CD=，∴．

19、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；[变式探究]见解析；[结论运用]PG+PH的值为1；[迁移拓展]（6+2）dm

【解析】
小军的证明：连接AP，利用面积法即可证得；

小俊的证明：过点P作PG⊥CF，先证明四边形PDFG为矩形，再证明△PGC≌△CEP，即可得到答案；

[变式探究]小军的证明思路：连接AP，根据S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，即可得到答案；

小俊的证明思路：过点C，作CG⊥DP，先证明四边形CFDG是矩形，再证明△CGP≌△CEP即可得到答案；

[结论运用] 过点E作EQ⊥BC，先根据矩形的性质求出BF，根据翻折及勾股定理求出DC，证得四边形EQCD是矩形，得出BE＝BF即可得到答案；

[迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，证明△ADE∽△BCE得到FA=FB，设DH＝x，利用勾股定理求出x得到BH＝6，再根据∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点即可得到答案.

【详解】

小军的证明：

连接AP，如图②

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，

∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，

∵AB＝AC，

∴CF＝PD+PE．

小俊的证明：

过点P作PG⊥CF，如图2，

∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，

∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，

∴四边形PDFG为矩形，

∴DP＝FG，∠DPG＝90°，

∴∠CGP＝90°，

∵PE⊥AC，

∴∠CEP＝90°，

∴∠PGC＝∠CEP，

∵∠BDP＝∠DPG＝90°，

∴PG∥AB，

∴∠GPC＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠GPC＝∠ECP，

在△PGC和△CEP中

，

∴△PGC≌△CEP，

∴CG＝PE，

∴CF＝CG+FG＝PE+PD；

[变式探究]

小军的证明思路：连接AP，如图③，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，

∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，

∵AB＝AC，

∴CF＝PD﹣PE；

小俊的证明思路：

过点C，作CG⊥DP，如图③，

∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，

∴∠CFD＝∠FDG＝∠DGC＝90°，

∴CF＝GD，∠DGC＝90°，四边形CFDG是矩形，

∵PE⊥AC，

∴∠CEP＝90°，

∴∠CGP＝∠CEP，

∵CG⊥DP，AB⊥DP，

∴∠CGP＝∠BDP＝90°，

∴CG∥AB，

∴∠GCP＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠PCE，

∴∠GCP＝∠ECP，

在△CGP和△CEP中，

，

∴△CGP≌△CEP，

∴PG＝PE，

∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．

[结论运用]

如图④

过点E作EQ⊥BC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∵AD＝8，CF＝3，

∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，

由折叠得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，

∴DF＝5，

∵∠C＝90°，

∴DC＝＝1，

∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，

∴四边形EQCD是矩形，

∴EQ＝DC＝1，

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

∵∠BEF＝∠DEF，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF，

由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，

∴PG+PH＝1．

∴PG+PH的值为1．

[迁移拓展]

延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，

∵AD×CE＝DE×BC，

∴，

∵ED⊥AD，EC⊥CB，

∴∠ADE＝∠BCE＝90°，

∴△ADE∽△BCE，

∴∠A＝∠CBE，

∴FA＝FB，

由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，

设DH＝x，

∴AH＝AD+DH＝3+x，

∵BH⊥AF，

∴∠BHA＝90°，

∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，

∵AB＝2，AD＝3，BD＝，

∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（3+x）2，

∴x＝1，

∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36，

∴BH＝6，

∴ED+EC＝6，

∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，

∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，

∴△DEM与△CEN的周长之和

＝DE+DM+EM+CN+EN+EC

＝DE+AE+BE+EC

＝DE+AB+EC

＝DE+EC+AB

＝6+2，

∴△DEM与△CEN的周长之和（6+2）dm．

【点睛】

此题是一道综合题,考查三角形全等的判定及性质,勾股定理,矩形的性质定理,三角形的相似的判定及性质定理,翻折的性质,根据题中小军和小俊的思路进行证明,故正确理解题意由此进行后面的证明是解题的关键.

20、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；

【解析】

试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；

（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；

②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．

试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，

∴∠PAB=∠PBC，

又∵∠APB=∠BPC=120°，

∴△ABP∽△BCP，

②解：∵△ABP∽△BCP，

∴，

∴PB2=PA•PC=12，

∴PB=2；

（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠CPD=∠6=∠5=60°；

②证明：∵△ADF∽△CFP，

∴AF•PF=DF•CF，

∵∠AFP=∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF=∠ACD=60°，

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，

∴P点为△ABC的费马点．

考点：相似形综合题

21、（1）生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；（2）小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．

【解析】
（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．
（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．

【详解】

（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．

由题意得：，

解这个方程组得：，

答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．

（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分．

则生产甲种产品件，生产乙种产品件．

∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x=-0.04x+1680，

又≥60，得x≥900，

由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元），

则小王该月收入最多是1644+1900=3544（元），

此时甲有=60（件），

乙有：=555（件），

答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．

【点睛】

考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

22、（1）S=﹣3x1+14x，≤x< 8；（1） 5m；（3）46.67m1

【解析】
（1）设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根据墙的最大长度求出x的取值范围；

（1）根据（1）所求的关系式把S=2代入即可求出x，即AB；

（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.

【详解】

解：（1）根据题意，得S＝x（14﹣3x），

即所求的函数解析式为：S＝﹣3x1+14x，

又∵0＜14﹣3x≤10，

∴；

（1）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），

∴﹣3x1+14x＝2．

整理，得x1﹣8x+15＝0，

解得x＝3或5，

当x＝3时，长＝14﹣9＝15＞10不成立，

当x＝5时，长＝14﹣15＝9＜10成立，

∴AB长为5m；

（3）S＝14x﹣3x1＝﹣3（x﹣4）1+48

∵墙的最大可用长度为10m，0≤14﹣3x≤10，

∴，

∵对称轴x＝4，开口向下，

∴当x＝m，有最大面积的花圃．

【点睛】

二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键.

23、①,    运算顺序错误；    ④，    a等于1时，原式无意义．   

【解析】
由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；④当a＝1时，等于0，原式无意义．

【详解】

①运算顺序错误；

故答案为①，运算顺序错误；

④当a=1时，等于0，原式无意义．

故答案为a等于1时，原式无意义．

当时，原式

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，注意运算顺序和分式有意义的条件．

24、（1）20s；（2）

【解析】
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝840时x的值即可得；

（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：（1）∵该抛物线过点（0，0），

∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx，

将（1，4）、（2，12）代入，得：

，

解得：，

所以抛物线的解析式为y＝2x2+2x，

当y＝840时，2x2+2x＝840，

解得：x＝20（负值舍去），

即他需要20s才能到达终点；       

（2）∵y＝2x2+2x＝2（x+）2﹣，

∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y＝2（x+2+）2﹣﹣5＝2（x+）2﹣．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律．