2021-2022学年河南省驻马店市确山县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省驻马店市确山县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列各式：，，，中，一定是二次根式的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数中，能为直角三角形的三条边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 如图，在▱中，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号在“，，，”中选择后，其运算的结果为有理数，则不可能是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在▱中，，，则图中的平行四边形共有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

7. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，接着活动学具成为图所示正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点最终荡到最高点处，若，点与点的高度差米，水平距离米，则点与点的高度差为米．

A.  B.  C.  D.

9. 中国古代数学家刘徽在九章算术注中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形若，，则的面积是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若是整数，则满足条件的自然数的值可以是______写出一个即可．
12. 已知实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为______ ．

13. 如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为______ ．

14. 如图，在矩形中，，点、分别在、上，将矩形沿折叠，使点、分别落在矩形外部的点、处，则整个阴影部分图形的周长为______．
15. 如图，四边形是平行四边形，点的纵坐标为，，，顶点在轴上，边在轴上，设点是边上不与点、重合的一个动点，则当为等腰三角形时点的坐标是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
    在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
    在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
    在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

18. 如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．
    请你只添加一个条件不另加辅助线，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______ ；
    添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面如图所示在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子米靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了米到处米测量得米．求宣传牌的高度结果用根号表示．

20. 已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”．
    与______是关于的“平衡数”，与______是关于的“平衡数”；
    若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在年构造发现了一个新的证法，证法如下：
    把两个全等的直角三角形≌如图放置，，于点，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
    请根据上述图形的面积关系证明勾股定理
    如图，铁路上、两点看作直线上的两点相距千米，为两个村庄看作直线上的两点，，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米．

22. 如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点，直角顶点在射线上移动，另一边交于．

如图，当点在边上时，猜想并写出与所满足的数量关系，并加以证明；

如图，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．






 

已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、与点、，垂足为．

如图，连接、求证四边形为菱形，并求的长；
如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，，中，一定是二次根式的是：，，共个．
故选：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

4.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．
本题主要考查了二次根式的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设与交于点，
在▱中，，，
，，
则图中的四边、、、、、、、都是平行四边形，共个．
故选：．
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，中，连接．

在图中，四边形是正方形，
，，
，
，
在图中，，，
是等边三角形，
，
故选：．
在图，图中，连接在图中，由勾股定理求出，在图中，只要证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】
 

【解析】解：作于，于，
，
，
，
在与中，
，
≌，
米，
设米，
在中，，即，
解得．
则米．
故选：．
作于，于，根据可证≌，根据全等三角形的性质可得米，在中，根据勾股定理可求，可求，再根据线段的和差关系和等量关系可求点与点的高度差．
考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意，，，，
，
，
的边上的高为，
，
故选：．
根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接并延长交于，连接，
四边形是矩形，
，，
，分别是边，的中点，，，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
点是的中点，

故选：．
连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：，
，
是整数，
当时，．
故答案为：．
先确定的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，．
故答案为：．
利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握相关性质是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：过点作，则，
由题目作图知，是的平分线，

则，
为等腰直角三角形，故，
则为等腰直角三角形，故BD，
则，
故答案为：。
由题目作图知，是的平分线，则，进而求解。
本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中。
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据折叠的性质，得
，，．
则阴影部分的周长矩形的周长．
根据折叠的性质，得，，，则阴影部分的周长即为矩形的周长．
此题主要考查了折叠的性质．
 

15.【答案】或或
 

【解析】解：点的纵坐标为，，
，
如图，当时，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
则点的坐标为，
当时，此时，
此时点的坐标为；
当时，此时点的坐标为、此时点不在上，舍去，
当为等腰三角形时点的坐标为或或．
故答案为：或或．
当时根据等腰三角形的性质、勾股定理解答．
本题考查的是平行四边形的性质、勾股定理的应用，掌握平行四边形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；



．
 

【解析】先化简，再算除法，最后算加减即可；
利用平方差公式及完全平方公式进行运算，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】解：如图中，即为所求．
如图中，即为所求．
即为所求．

 

【解析】构造边长，，的直角三角形即可．
构造直角边为，斜边为的直角三角形即可答案不唯一．
构造三边分别为，，的直角三角形即可．
本题考查作图应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：添加条件为：，
故答案为：；
证明：，，
，
，
四边形为平行四边形．
 

【解析】由题意添加条件即可；
证，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意可得：米，米，米，
在中，米，
则米，
在中，米，
故AB米，
答：宣传牌的高度为米．
 

【解析】直接利用勾股定理得出，的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：与是关于的“平衡数”，与是关于的“平衡数”；
故答案为：；；
，
整理得：，
解得：，
则，不是关于的“平衡数”．
利用“平衡数”的定义判断即可；
利用“平衡数”的定义判断即可．
此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：，，，
它们满足的关系式为：，
即；
如图，连接，作于点，

，，
，，
千米，
千米，
两个村庄相距千米．
故答案为：．
根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
连接，作于点，根据，得到，，从而得到千米，利用勾股定理求得两地之间的距离．
此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
 

22.【答案】解：结论：，
理由：如图中，过作，，垂足分别为，．
为正方形对角线上的点，
平分，，
，
四边形为正方形．
，，
，
在和中，
，
≌，
；              

结论：．
理由：如图，过作，，垂足分别为，，
为正方形对角线上的点，
平分，，
，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】结论：，如图中，过作，，垂足分别为，只要证明≌即可．
结论不变，证明方法类似．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
，
设，
则，，
四边形是矩形，
，
在中，
由勾股定理得：，
解得，即；

显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，
以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
，，
，
解得．
以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
 

【解析】根据全等推出，得出平行四边形，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质．